Roots and coefficients of a quadratic equation Content Additional information

FP1.4：二次方程的根与系数

欢迎来到进阶数学中最强大且最令人满意的课题之一！本章将向你展示如何直接将定义二次方程的数字（系数）与方程解的属性（根）联系起来，甚至无需真正解出方程。

这项技能对于 FP1 的解题至关重要。我们将学习如何处理涉及根的复杂表达式，并利用这些处理后的结果来构建全新的二次方程。

1. 核心纽带：根的和与积

每一个形如 \(ax^2 + bx + c = 0\)（其中 \(a \neq 0\)）的二次方程都有两个根。在进阶数学中，我们习惯将这两个根称为 \(\alpha\)（alpha）和 \(\beta\)（beta）。

关键公式

如果 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是方程 \(ax^2 + bx + c = 0\) 的根，那么根与系数之间的关系为：

• 根的和： \(\alpha + \beta = -\frac{b}{a}\)
• 根的积： \(\alpha\beta = \frac{c}{a}\)

记忆窍门： 可以联想 S.A.P.（Sum, a, minus b）和 P.C.A.（Product, c, a）。根的和公式中始终包含来自第二个系数（\(b\)）的负号。

关键点： 在处理根与系数的问题时，第一步永远是先确定 \(\alpha + \beta\) 和 \(\alpha\beta\) 的值。

2. 处理对称表达式

本章的核心技能是将涉及 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 的复杂表达式（例如 \(\alpha^2 + \beta^2\) 或 \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\)）重写为仅由基本模块 \(\alpha + \beta\) 和 \(\alpha\beta\) 组成的表达式。这些被称为对称表达式，因为交换 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 的位置不会改变表达式的值。

逐步推导

我们利用代数恒等式来实现这种变形。

A. 平方和： \(\alpha^2 + \beta^2\)

我们知道和的平方展开式： \((\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2\)。
我们需要 \(\alpha^2 + \beta^2\)，因此通过恒等式变形得到：

\[ \mathbf{\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta} \]

类比： 把 \(\alpha + \beta\) 看作一个标准包 (S)，把 \(\alpha\beta\) 看作另一个标准包 (P)。你只需要使用这两个标准包就能构建出复杂的结构。

B. 涉及倒数（分数）的表达式

要处理类似 \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\) 的表达式，我们先通分：

\[ \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\beta}{\alpha\beta} + \frac{\alpha}{\alpha\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} \]

这样它就完全由“和”与“积”表示出来了，计算起来非常方便。

C. 立方和： \(\alpha^3 + \beta^3\) （一个常见且具有挑战性的例子）

立方和的关键恒等式是：

\[ (\alpha + \beta)^3 = \alpha^3 + 3\alpha^2\beta + 3\alpha\beta^2 + \beta^3 \]

我们将中间项合并：

\[ (\alpha + \beta)^3 = (\alpha^3 + \beta^3) + 3\alpha\beta(\alpha + \beta) \]

变形以求出 \(\alpha^3 + \beta^3\)（教学大纲要求）：

\[ \mathbf{\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)} \]

关键点： 任何涉及 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 的对称表达式都可以完全用 \((\alpha + \beta)\) 和 \((\alpha\beta)\) 来表示。务必先对复杂表达式进行代数变形，最后再代入数值。

3. 构建新的二次方程

你经常会被要求找出一个新的二次方程，其根与原方程的根相关（例如，如果原根是 \(\alpha, \beta\)，新根可能是 \(\alpha^2, \beta^2\) 或 \(\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}\)）。

反向推导过程

一个一般的二次方程，若根为 \(\gamma\) 和 \(\delta\)，总可以写作：

\[ x^2 - (\gamma + \delta)x + (\gamma\delta) = 0 \]

因此，要找到新方程，你只需要两步：

1. 计算新和 (\(\gamma + \delta\))。
2. 计算新积 (\(\gamma\delta\))。

步骤示例：根为 \(\alpha^2\) 和 \(\beta^2\)

假设原方程为 \(x^2 - 4x + 3 = 0\)。(此时， \(\alpha + \beta = 4\) 且 \(\alpha\beta = 3\))。我们想求一个根为 \(\gamma = \alpha^2\) 和 \(\delta = \beta^2\) 的新方程。

第 1 步：计算新和
新和 \( = \gamma + \delta = \alpha^2 + \beta^2 \)
利用第 2 节的恒等式：

\[ \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (4)^2 - 2(3) = 16 - 6 = 10 \]

第 2 步：计算新积
新积 \( = \gamma\delta = \alpha^2\beta^2 \)
因为 \(\alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2\)：

\[ \alpha^2\beta^2 = (3)^2 = 9 \]

第 3 步：构建新方程
使用模板 \(x^2 - (\text{新和})x + (\text{新积}) = 0\)：

\[ \mathbf{x^2 - 10x + 9 = 0} \]

教学大纲练习示例

教学大纲特别要求掌握构建根如 \(\alpha^2, \beta^2\)、\(\alpha^3, \beta^3\)、\(\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}\) 以及复合分数形式如 \(\frac{2}{\beta} + \frac{2}{\alpha}\) 的方程。请记住，所有这些根都必须先简化为 \((\alpha + \beta)\) 和 \((\alpha\beta)\) 的组合。

示例：根为 \(\frac{1}{\alpha}\) 和 \(\frac{1}{\beta}\)

• 新和： \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}\) （原和与原积之比）
• 新积： \(\frac{1}{\alpha} \times \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha\beta}\) （原积的倒数）

如果一开始觉得棘手也不必担心，通过多加练习，这些变形会变得像本能一样熟练！

4. 关键恒等式总结

请随身备好这些基本的代数恒等式，它们是你处理 FP1 根问题的利器：

令 \(S = \alpha + \beta\) 且 \(P = \alpha\beta\)：

• \(\alpha^2 + \beta^2 = S^2 - 2P\)
• \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{S}{P}\)
• \(\alpha^3 + \beta^3 = S^3 - 3PS\)
• \(\alpha - \beta\) (或 \(\beta - \alpha\)) 通常通过以下恒等式求出： \((\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = S^2 - 4P\)

你知道吗？ 你正在学习的这些属性是韦达定理（Vieta's Formulas）的最简单情况。韦达定理建立了多项式（三次、四次等）根与系数之间的关系。在 FP1 中，我们仅限于研究二次方程！