欢迎来到离散均匀分布的世界！
你好，未来的进阶数学家！在 OxfordAQA 进阶数学的 FS1 统计模块中，你对离散概率模型的研究将从离散均匀分布 (Discrete Uniform Distribution) 开始。这是你将会遇到的分布中最简洁、最直观的一个！
我们称之为“均匀”，是因为每个可能的离散结果出现的概率都是均等的。在 FS1.2 节中，你将学习使用此模型的条件、如何计算概率，以及如何利用标准求和恒等式对其期望与方差进行正式的代数推导。
引言重点总结
离散均匀分布用于模拟有限个离散结果出现的概率完全相同的情况。
1. 理解离散均匀分布 (FS1.2: 应用条件)
当随机变量 \(X\) 以相等的概率取一组有限的离散数值时，它便服从离散均匀分布。
使用它的条件是什么？
若离散随机变量 \(X\) 在整数 \(1, 2, \dots, n\) 上服从离散均匀分布，需满足以下条件：
1. \(X\) 是一个拥有有限个可能值 \(n\) 的离散随机变量。
2. 每个结果皆为互斥，且拥有相同的发生概率，即 \(P(X = x) = \frac{1}{n}\)。
标准模型：在标准形式中，\(X\) 取值为 \(x \in \{1, 2, 3, \dots, n\}\)，使得：
\(P(X = x) = \frac{1}{n}\quad \text{其中 } x = 1, 2, \dots, n\)
经典范例：一枚普通均匀骰子
掷一枚均匀的 6 点骰子时，点数 \(X\) 可以是 \(1, 2, 3, 4, 5,\) 或 \(6\)。每个结果的概率都是 \(\frac{1}{6}\)。这里 \(n = 6\)，因此对于 \(x = 1, 2, \dots, 6\)，\(P(X = x) = \frac{1}{6}\)。
离散均匀分布是公平随机抽样、随机数表，以及像公平骰子和具有等大扇区的转盘等经典博弈装置的基础。
第一节重点总结
对于由 \(1\) 至 \(n\) 的 \(n\) 个机会均等的连续整数，每个单一结果的概率就是 \(\frac{1}{n}\)。
2. 计算概率 (FS1.2: 概率的计算)
由于所有结果都是离散且互斥的，要找出 \(X\) 落在任何数值子集内的概率，只需将各个单独的概率相加即可。
一般概率法则
对于任何有利结果的集合 \(A \subseteq \{1, 2, \dots, n\}\)：
\(P(X \in A) = \sum_{x \in A} P(X = x) = \frac{\text{有利结果的数目}}{n}\)
例如，若 \(X\) 在 \(\{1, 2, \dots, n\}\) 上均匀分布，则取值介于 \(a\) 和 \(b\) 之间（包含两者，其中 \(1 \le a \le b \le n\)）的概率为：
\(P(a \le X \le b) = \frac{b - a + 1}{n}\)
步骤范例
一个公平的 10 面转盘具有标号为 \(1\) 至 \(10\) 的扇区。设 \(X\) 为转出的数字。
1. 写出分布：\(X\) 在 \(\{1, 2, \dots, 10\}\) 上服从离散均匀分布，故 \(n = 10\) 且 \(P(X = x) = \frac{1}{10}\)。
2. 求 \(P(X \ge 7)\)：结果为 \(7, 8, 9, 10\)（共 4 个结果）。
\(P(X \ge 7) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\)
3. 求 \(P(3 \le X \le 8)\)：结果的数目为 \(8 - 3 + 1 = 6\)。
\(P(3 \le X \le 8) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)
避免常见错误！
请记住，对于离散变量，严格不等式非常重要！\(P(X < 4) = P(X \le 3)\)，这并不包含 4。请务必仔细计算离散值的个数。
第二节重点总结
对于离散均匀变量，概率的计算直接由有利整数的数目除以总结果数 \(n\) 得出。
3. 期望与方差 (FS1.2: 期望与方差 - 要求掌握及推导)
OxfordAQA 课程大纲明确指出，对于离散均匀分布的期望与方差要求掌握其数值及推导过程。你必须有信心使用标准求和公式来证明这些结果。
必备标准求和公式
・前 \(n\) 个正整数之和：\(\sum_{r=1}^n r = \frac{n(n+1)}{2}\)
・前 \(n\) 个正整数的平方和：\(\sum_{r=1}^n r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
3.1 期望 \(E(X)\) 的推导
根据离散随机变量期望值的定义：
\(E(X) = \sum_{x=1}^n x P(X=x) = \sum_{x=1}^n x \left(\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n} \sum_{x=1}^n x\)
代入求和恒等式 \(\sum_{x=1}^n x = \frac{n(n+1)}{2}\)：
\(E(X) = \frac{1}{n} \left( \frac{n(n+1)}{2} \right) = \frac{n+1}{2}\)
要求结果： \(E(X) = \frac{n+1}{2}\)
3.2 方差 \(Var(X)\) 的推导
要找出 \(Var(X)\)，我们使用恒等式 \(Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\)。
首先，推导 \(E(X^2)\)：
\(E(X^2) = \sum_{x=1}^n x^2 P(X=x) = \frac{1}{n} \sum_{x=1}^n x^2\)
代入恒等式 \(\sum_{x=1}^n x^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)：
\(E(X^2) = \frac{1}{n} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right) = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}\)
现在将 \(E(X^2)\) 和 \(E(X)\) 代入方差公式：
\(Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \left(\frac{n+1}{2}\right)^2\)
\(Var(X) = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}\)
提出公因式 \(\frac{n+1}{12}\)：
\(Var(X) = \frac{n+1}{12} \left[ 2(2n+1) - 3(n+1) \right]\)
展开并化简方括号内的式子：
\(2(2n+1) - 3(n+1) = 4n + 2 - 3n - 3 = n - 1\)
将因式相乘：
\(Var(X) = \frac{(n+1)(n-1)}{12} = \frac{n^2 - 1}{12}\)
要求结果： \(Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12}\)
速查：离散均匀分布公式
概率质量函数： \(P(X = x) = \frac{1}{n}\)
期望： \(E(X) = \frac{n+1}{2}\)
方差： \(Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12}\)
标准差： \(\sigma = \sqrt{\frac{n^2 - 1}{12}}\)
4. 范例详解与标准差
让我们将这些结果应用于一个标准考试题型中。
范例
一枚公平的 8 面骰子，各面分别标有数字 \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\)。掷一次后的点数记为 \(X\)。
1. 计算期望值 \(E(X)\)：
这里 \(n = 8\)。
\(E(X) = \frac{n+1}{2} = \frac{8+1}{2} = \frac{9}{2} = 4.5\)
2. 计算方差 \(Var(X)\)：
\(Var(X) = \frac{n^2-1}{12} = \frac{8^2 - 1}{12} = \frac{64 - 1}{12} = \frac{63}{12} = \frac{21}{4} = 5.25\)
3. 求标准差：
\(\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{5.25} \approx 2.29\)（保留 3 位有效数字）
现在你已经全面掌握了 FS1.2 关于离散均匀分布的内容，包括应用条件、概率计算，以及对其期望与方差的重要代数推导。