欢迎来到竖直圆周运动的世界！
准备好挑战进阶力学中最具活力、最精彩的课题之一吧！竖直圆周运动看起来很复杂，但它其实只是你已经非常熟悉的两个核心概念的结合：圆周运动的牛顿第二定律与能量守恒定律。
掌握这一章对于模拟现实世界中的场景至关重要，从过山车轨道到手提水桶在头顶飞速旋转而不溅出一滴水，都离不开它！我们将特别关注当运动路径为竖直方向时，重力如何影响物体的运动，并确定维持圆周运动所需的临界速度。
第一部分：竖直圆周运动的动力学
关键差异：重力的影响
在水平圆周运动中，重力与运动平面垂直，因此不会改变速度大小。然而在竖直圆周中，重力不断地将物体向下拉，这意味着物体的速度是时刻在变化的。
这种速度的变化意味着绳索的张力（或轨道提供的支持力）也必须随之变化，从而产生我们需要分析的独特动力学特性。
核心概念回顾：向心力
请记住，任何做圆周运动的物体都需要一个指向圆心的合外力（即向心力，\(F_c\)）。
$$F_c = ma = \frac{mv^2}{r}$$
其中 \(m\) 是质量，\(v\) 是速度，\(r\) 是半径。在竖直圆周运动中，\(F_c\) 是所有沿径向作用的力（张力/支持力以及重力的分量）的矢量和。
能量守恒：你的必备工具
由于我们通常处理的是非保守力（如张力）不做功的情况，机械能守恒定律 (CME) 就显得至关重要。
我们利用机械能守恒来建立圆周上某一点（如底部）与另一点（如顶部）速度之间的联系。 $$KE_1 + PE_1 = KE_2 + PE_2$$ 其中：
- 动能 (KE)： \(\frac{1}{2}mv^2\)
- 重力势能 (PE)： \(mgh\)（其中 \(h\) 是相对于参考平面的高度，通常取圆周底部作为参考面）。
类比：想象一个单摆。它在最高点速度最慢（重力势能最大），在最低点速度最快（动能最大）。竖直圆周运动其实就是一个连续的、高速旋转的单摆摆动！
第一部分要点总结： 竖直圆周运动要求我们在每一个点上应用 \(F_c = \frac{mv^2}{r}\)，综合考虑重力的不同影响，并使用机械能守恒定律来关联不同高度处的速度。
第二部分：圆周上关键点的分析
我们重点分析三个关键位置的径向力：底部、顶部，以及由角度 \(\theta\) 定义的任意点。
1. 圆周底部
这是速度最大且张力/支持力最大的位置。设底部的速度为 \(v_B\)。
径向受力：
张力或支持力 (\(T\)) 向上作用（指向圆心）。
重力 (\(mg\)) 向下作用（背离圆心）。
合向心力 \(F_c\) 必须向上。
运动方程： $$T - mg = \frac{mv_B^2}{r}$$
因此，底部的实际张力/支持力为： $$T = mg + \frac{mv_B^2}{r}$$ 注意：此处所需的张力总是大于重力，因为它不仅要抵消重力，还要提供必要的向心力。
2. 圆周顶部（临界点）
这是速度最小且张力/支持力最小的位置。设顶部的速度为 \(v_T\)。
径向受力：
张力或支持力 (\(T\)) 和重力 (\(mg\)) 均向下作用（指向圆心）。
合向心力 \(F_c\) 必须向下。
运动方程： $$T + mg = \frac{mv_T^2}{r}$$
因此，顶部的实际张力/支持力为： $$T = \frac{mv_T^2}{r} - mg$$ 重力在此处辅助提供了向心力，所以所需的张力/支持力较小。
3. 任意点（角度 \(\theta\)）
考虑物体位于相对于底部转过 \(\theta\) 角的位置。设该点的速度为 \(v\)。
径向受力：
重力需要分解为两个分量：
- 作用于径向向内的分量（与张力方向相反）：\(mg \cos \theta\)
- 作用于切线方向的分量（改变速度大小）：\(mg \sin \theta\)
径向运动方程： $$T - mg \cos \theta = \frac{mv^2}{r}$$
通过整理可得张力： $$T = \frac{mv^2}{r} + mg \cos \theta$$
提示：请确保你的 \(\theta\) 定义保持一致（通常从指向下方的垂直半径开始测量），以便正确使用 \(\cos \theta\) 分量。
速查表：关键径向方程
底部 (\(\theta = 0\))： \(T_B = \frac{mv_B^2}{r} + mg\)
顶部 (\(\theta = 180^{\circ}\))： \(T_T = \frac{mv_T^2}{r} - mg\)
任意点 (\(\theta\))： \(T = \frac{mv^2}{r} + mg \cos \theta\)
第三部分：完成竖直圆周运动的条件
考试中最常见的问题是要求计算成功完成圆周运动所需的最小速度。这完全取决于最高点处的动力学状态。
什么是“完成圆周运动”？
对于系在绳子上的物体，绳子必须始终保持紧绷（张力 \(T \ge 0\)）。如果 \(T=0\)，绳子就会变“松”。
对于在轨道上运动的物体（如过山车），物体必须始终与轨道接触（支持力 \(R \ge 0\)）。如果 \(R=0\)，物体就会脱离轨道。
*恰好*完成圆周运动的临界条件是：张力 \(T\) 或支持力 \(R\) 在最高点处恰好变为零。这个最小速度被称为临界速度。
第一步：寻找顶部的临界速度 (\(v_{min, T}\))
我们使用最高点的运动方程，并设定 \(T = 0\)：
$$T + mg = \frac{mv_{min, T}^2}{r}$$ 令 \(T=0\)，得： $$0 + mg = \frac{mv_{min, T}^2}{r}$$
质量 \(m\) 可以约去！ $$g = \frac{v_{min, T}^2}{r}$$ $$v_{min, T}^2 = gr$$
完成圆周运动所需的顶部最小速度为： $$v_{min, T} = \sqrt{gr}$$
注意：如果顶部的速度小于 \(\sqrt{gr}\)，所需的向心力将小于重力，意味着物体会在到达最高点之前掉落（或绳子变松）。
第二步：寻找底部的最小速度 (\(v_{min, B}\))
通常题目会要求计算起点（底部，\(B\)）所需的速度，以便达到顶部的临界速度。我们利用 B 点和 T 点之间的机械能守恒定律。
设定参考平面（\(h=0\)）为圆周底部。顶部的高度为 \(h_T = 2r\)。
$$KE_B + PE_B = KE_T + PE_T$$ $$\frac{1}{2}m v_{min, B}^2 + 0 = \frac{1}{2}m v_{min, T}^2 + mg(2r)$$
两边同时除以质量 \(m\)： $$\frac{1}{2} v_{min, B}^2 = \frac{1}{2} v_{min, T}^2 + 2gr$$
现在代入第一步得到的临界速度 \(v_{min, T}^2 = gr\)： $$\frac{1}{2} v_{min, B}^2 = \frac{1}{2} (gr) + 2gr$$ $$\frac{1}{2} v_{min, B}^2 = \frac{1}{2} gr + \frac{4}{2} gr$$ $$\frac{1}{2} v_{min, B}^2 = \frac{5}{2} gr$$
乘以 2： $$v_{min, B}^2 = 5gr$$
完成圆周运动所需的底部最小速度为： $$v_{min, B} = \sqrt{5gr}$$
常见错误警示！
学生在使用能量守恒时经常忘记包含重力势能项。圆周顶部和底部之间的高度差是 \(2r\)，而不是 \(r\)！在计算时务必再次确认这一点。
第四部分：脱离圆周路径
有时，物体无法完成圆周运动。如果它的初速度 \(v_B\) 过小，它在上升过程中会减速，并在底部与顶部之间的某处导致绳子变松（或脱离轨道）。
计算脱离点
如果速度 \(v_B\) 过低（\(v_B < \sqrt{5gr}\)），物体将在某个角度 \(\theta_{crit}\)（从底部开始测量）脱离路径。
这发生在张力 \(T\)（或支持力 \(R\)）在还未到达最高点时就降为零的时候。
第一步：在任意点设定 \(T=0\)。
径向方程为：
$$T = \frac{mv^2}{r} + mg \cos \theta$$
令 \(T=0\)，得出脱离路径的临界条件：
$$0 = \frac{mv_{crit}^2}{r} + mg \cos \theta_{crit}$$
$$v_{crit}^2 = -gr \cos \theta_{crit}$$
注意：由于 \(v^2\) 必须为正，此方程仅在 \(\theta > 90^\circ\) 时成立（即 \(\cos \theta\) 为负值），这证实了物体是在圆周的上半部分脱离路径的。
第二步：利用机械能守恒将 \(v_{crit}\) 与初始速度 \(v_B\) 联系起来。
物体在角度 \(\theta\) 处的高度 \(h\)（从底部测量）为：
$$h = r - r \cos \theta = r(1 - \cos \theta)$$
在 B 点和 \(\theta\) 点之间使用机械能守恒：
$$\frac{1}{2}m v_B^2 = \frac{1}{2}m v_{crit}^2 + mgh$$
$$\frac{1}{2} v_B^2 = \frac{1}{2} v_{crit}^2 + gr(1 - \cos \theta_{crit})$$
第三步：结合两个方程求解 \(\cos \theta_{crit}\)。
将 \(v_{crit}^2 = -gr \cos \theta_{crit}\) 代入机械能守恒方程：
$$\frac{1}{2} v_B^2 = \frac{1}{2} (-gr \cos \theta_{crit}) + gr - gr \cos \theta_{crit}$$
乘以 2 并合并 \(\cos \theta\) 项：
$$v_B^2 = -gr \cos \theta_{crit} + 2gr - 2gr \cos \theta_{crit}$$
$$v_B^2 = 2gr - 3gr \cos \theta_{crit}$$
求得临界角度的最终表达式为： $$\cos \theta_{crit} = \frac{2gr - v_B^2}{3gr}$$
如果你已知初始速度 \(v_B\)，就可以利用这个公式计算物体失去接触或绳子变松的精确角度。
你知道吗？
过山车中著名的“垂直环”设计通常不是完美的圆形，而是略呈蛋形（椭圆形）。这种设计确保了在最高点所需的向心力要求降低，这意味着乘客感受到的 G 力更小，也更安全！
第四部分要点总结： 如果未达到完成圆周的最小速度（\(\sqrt{5gr}\)），物体会在径向向内力（张力/支持力）变为零时脱离路径。我们结合径向受力方程（\(T=0\)）和机械能守恒来求解这个精确的角度。
总结与清单
掌握竖直圆周运动的核心在于能够熟练切换两种分析方法：
1. 力学分析（牛顿第二定律）：
用于根据该点的速度 \(v\)，求出特定点的张力 (\(T\)) 或支持力 (\(R\))。
准则： 指向圆心的合力 = \(\frac{mv^2}{r}\)。
2. 能量分析（机械能守恒）：
用于根据一点的速度求另一点的速度，同时考虑高度 \(h\) 的变化。
准则： \(\frac{1}{2}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgh_2\)。
临界条件清单：
- 恰好完成圆周： 整个运动过程中 \(T\) 或 \(R\) 必须 \(\ge 0\)。临界条件是最高点处 \(T=0\)（或 \(R=0\)）。
- 顶部最小速度： \(v_{min, T} = \sqrt{gr}\)
- 底部最小速度： \(v_{min, B} = \sqrt{5gr}\)
继续练习那些推导过程，如果代数计算变得复杂也不要担心——只要时刻留意动能和势能项即可！你一定能行的！