Algebra and functions

欢迎来到代数与函数世界！

你好！这一章——代数与函数，可以说是高等数学中最核心的基石。你可以把它看作是微积分、三角函数以及所有其他 P2 模块课题赖以支撑的地基。我们将从掌握 AS Level (P1) 的基本代数运算技巧开始，逐步进阶到 A Level (P2) 所需的函数概念及高级多项式处理方法。

如果有些概念看起来既熟悉又棘手，请不要担心——我们会一步步拆解它们。学完这一章，你将能够像专家一样自如地进行表达式变换、绘制复杂图像并求解联立方程！

第 1 节：核心代数运算（P1 复习）

1.1 根式与指数

根式和指数其实就是处理幂和根号的不同方式。扎实掌握这些基础，能让你在后续的学习中如鱼得水。

根式的简化

根式（Surd）是指包含根号的无理数（如 \(\sqrt{2}\) 或 \(\sqrt{5}\)）。我们通过寻找平方数因子来简化根式。

步骤示例： 简化 \(\sqrt{72\)
1. 找出 72 的最大平方因子。（是 36）。
2. 重写根式：\(\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2\)
3. 拆分根号：\(\sqrt{36} \times \sqrt{2\)
4. 简化：\(6\sqrt{2\)

分母有理化

你绝对不能在分数的分母中留下根号。这个过程叫做有理化（Rationalisation）。

• 如果分母是单个根式（例如 \( \frac{1}{\sqrt{a}} \)），则分子分母同乘 \(\sqrt{a}\)。
• 如果分母是含根式的二项式（例如 \( a+\sqrt{b} \)），则分子分母同乘它的共轭（Conjugate），即 \( a-\sqrt{b} \)。这利用了平方差公式：\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)。

共轭法示例： 将 \( \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \) 有理化
乘以共轭式 \(\sqrt{2} + 1\)：
$$ \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^2 - (1)^2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1 $$

指数法则（适用于所有有理指数）

记住这些处理幂运算的关键规则：

• 乘法： \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)
• 除法： \( a^m \div a^n = a^{m-n} \)
• 幂的乘方： \( (a^m)^n = a^{mn} \)
• 负指数： \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
• 分式指数（根）： \( a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \)
• 通用分式指数： \( a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m \)

1.2 二次函数

二次函数是形如 \( ax^2 + bx + c \) 的表达式。它的图像是一条 U 型曲线，称为抛物线（Parabola）。

配方法（Completing the Square）

配方法可以将标准式转化为顶点式（Vertex form），即 \( a(x+p)^2 + q \)。这种形式可以直接告诉我们抛物线的最小值（或最大值），即顶点（Vertex）位于 \((-p, q)\)。

步骤示例： 对 \( x^2 + 6x - 1 \) 进行配方
1. 取 \(x\) 系数的一半：\(+6 \rightarrow +3\)
2. 写出平方项：\((x+3)^2\)
3. 展开这一项得到 \(x^2 + 6x + 9\)。我们只需要 \(x^2 + 6x\)，所以减去常数项：\((x+3)^2 - 9\)
4. 加入原始常数：\((x+3)^2 - 9 - 1 = (x+3)^2 - 10\)
顶点位于 \((-3, -10)\)。对称轴为 \(x = -3\)。

判别式 (\( \Delta \))

判别式（Discriminant），记作 \(\Delta\)，是求根公式中根号下的部分：\(\Delta = b^2 - 4ac\)。它能让你在不解方程的情况下判断根（解）的情况。

• 若 \( \mathbf{b^2 - 4ac > 0} \)：有两个不同的实根（抛物线与 x 轴有两个交点）。
• 若 \( \mathbf{b^2 - 4ac = 0} \)：有一个重实根（抛物线在顶点处与 x 轴相切）。
• 若 \( \mathbf{b^2 - 4ac < 0} \)：无实根（抛物线完全在 x 轴上方或下方）。

求解二次方程

求解 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 有三种主要工具：

1. 因式分解法： 最快的方法，但仅适用于根为整数或简单分数的情况。
2. 求根公式： 万能方法。你必须背诵这个公式，因为试卷手册中不提供它： $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
3. 配方法： 当题目要求以根式形式作答，或需要同时求顶点时非常有用。

1.3 多项式、除法与定理

多项式（Polynomial）是由变量和系数通过加、减、乘以及非负整数次幂组成的表达式（例如 \( x^3 - 5x^2 + 7x - 3 \)）。

简单的代数除法

当用线性因子 \((x-a)\) 去除多项式 \( f(x) \) 时，可以使用长除法、待定系数法或综合除法。目的是将多项式写成以下形式：

$$ \frac{\text{被除式}}{\text{除式}} = \text{商} + \frac{\text{余式}}{\text{除式}} $$

示例：用 \( x^3 - x^2 - 5x + 2 \) 除以 \( x+2 \)。你会发现商为 \( x^2 - 3x + 1 \)，余数为 0。

余数定理（Remainder Theorem）

余数定理是一个极大的捷径！如果多项式 \( f(x) \) 除以线性因子 \((x-a)\)，则余数简单地等于 \( f(a) \)。

小技巧： 如果除以 \((x+3)\)，则取 \( a=-3 \)。如果除以 \((2x-1)\)，则取 \( a=\frac{1}{2} \)。只需让除式等于零并解出 \(x\) 即可。

因式定理（Factor Theorem）

因式定理是余数定理的一个特例：
如果 \( f(a) = 0 \)，则 \((x-a)\) 是 \( f(x) \) 的一个因式。

这对于三次方程的因式分解非常重要。由于只需处理因式 \((x-a)\) 中 \(a\) 为整数的三次多项式，你可以尝试常数项的整数因子（例如 \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots\)）。

三次多项式因式分解步骤： 分解 \( f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 3 \)
1. 测试常数项 (-3) 的整数因子。尝试 \(x=1\)。
2. \( f(1) = (1)^3 - 5(1)^2 + 7(1) - 3 = 1 - 5 + 7 - 3 = 0 \)。
3. 因为 \(f(1)=0\)，所以 \((x-1)\) 是一个因式。
4. 用 \( f(x) \) 除以 \((x-1)\) 求出剩下的二次项（例如使用代数除法或待定系数法：\( x^3 - 5x^2 + 7x - 3 = (x-1)(x^2 - 4x + 3) \))。
5. 将二次式分解：\( x^2 - 4x + 3 = (x-3)(x-1) \)。
6. 完全分解：\( f(x) = (x-1)(x-1)(x-3) = (x-1)^2(x-3) \)。

1.4 联立方程与不等式

求解联立方程（线性与二次）

你将遇到需要解析求解一个线性方程和一个二次方程的问题（例如寻找直线与曲线的交点）。

方法：代入法（Substitution）

1. 将**线性**方程中的一个变量（通常是 \(y\) 或 \(x\)）表示出来。
2. 将此表达式代入**二次**方程。
3. 解出所得的关于第一个变量的二次方程。
4. 将解得的值代回线性方程（最简单的那一个！）求出第二个变量的对应值。

几何意义： 解代表了直线与曲线的交点坐标。

• 如果得到 2 个不同的解，说明直线与曲线有两个交点。
• 如果得到 1 个重解（判别式 = 0），说明直线是曲线的切线。
• 如果无实数解（判别式 < 0），说明直线与曲线不相交。

求解线性与二次不等式

求解不等式时，二次不等式的规则与线性不等式的简单代数运算有所不同。

线性不等式（简单代数）： 把不等号当作等号处理，但要记住：如果乘以或除以负数，必须改变不等号的方向。

二次不等式（图像是关键！）：

示例：求解 \( 2x^2 + x \ge 6 \)。
1. 移项使一侧为 0： \( 2x^2 + x - 6 \ge 0 \)。
2. 通过令表达式等于 0 并求解，找到临界值： \( (2x-3)(x+2) = 0 \)。临界值为 \( x = \frac{3}{2} \) 和 \( x = -2 \)。
3. 绘制抛物线 \( y = 2x^2 + x - 6 \)。由于 \(a=2\) 为正，这是一个开口向上的 U 型，与 x 轴交于 -2 和 1.5。
4. 找出曲线 \(\ge 0\) 的区域（即 x 轴上方或轴上的部分）。
5. 写出解集：
$$ x \le -2 \text{ 或 } x \ge \frac{3}{2} $$

第 2 节：函数与图像变换（P2 扩展）

现在进入 P2 内容，重点关注函数的正式定义以及如何对图像进行拉伸、翻转和平移。

2.1 函数、定义域与值域

函数（Function）是一种映射规则，它将每个输入值（来自定义域）映射到唯一的一个输出值（在值域内）。

• 定义域（Domain）： 所有可能的输入值集合 (\(x\))。
• 值域（Range）： 所有可能的输出值集合 (\(f(x)\) 或 \(y\))。

你知道吗？ 定义域和值域的概念非常关键，因为并非所有函数在所有实数上都有定义。例如， \( f(x) = \frac{1}{x-2} \) 不能取 \(x=2\)，而 \( g(x) = \sqrt{x} \) 不能接受负的 \(x\)。

复合函数（Composition of Functions）

当你把一个函数放入另一个函数内部时，就是复合。

符号 \( fg(x) \) 意味着“先做 \(g\)，再将结果代入 \(f\)”。所以， \( fg(x) = f(g(x)) \)。

示例：若 \( f(x) = x^2 + 1 \) 且 \( g(x) = 2x \)。
$$ fg(x) = f(2x) = (2x)^2 + 1 = 4x^2 + 1 $$ $$ gf(x) = g(x^2 + 1) = 2(x^2 + 1) = 2x^2 + 2 $$

反函数 (\( f^{-1}(x) \))

反函数 \( f^{-1}(x) \) 逆转了 \( f(x) \) 的操作。如果 \( f(a) = b \)，那么 \( f^{-1}(b) = a \)。

寻找 \( f^{-1}(x) \) 的步骤：
1. 令 \( y = f(x) \)。
2. 互换 \( x \) 和 \( y \)。
3. 整理新方程，将 \( y \) 表示为关于 \( x \) 的式子。
4. 用 \( f^{-1}(x) \) 替换 \( y \)。

几何图像： \( y = f^{-1}(x) \) 的图像是 \( y = f(x) \) 关于直线 \( y = x \) 的对称镜像。

2.2 模函数（Modulus Function）

模函数，记作 \( |x| \)，给出 \(x\) 的绝对值（正值）。它本质上表示该数距离原点的距离。

$$ |x| = \begin{cases} x & \text{若 } x \ge 0 \\ -x & \text{若 } x < 0 \end{cases} $$

绘制 \( y = |f(x)| \)：
要绘制 \( y = |f(x)| \)，将原图像 \( y=f(x) \) 中位于 x 轴下方的部分，沿 x 轴向上翻转到正区域。

求解模不等式：
最好的方法通常是利用图像法，或者两边平方（确保不要引入增根！）。

示例：求解 \( |x+2| < 3|x| \)。
1. 两边平方： \( (x+2)^2 < (3x)^2 \)
2. \( x^2 + 4x + 4 < 9x^2 \)
3. 整理成二次不等式： \( 0 < 8x^2 - 4x - 4 \)，即 \( 2x^2 - x - 1 > 0 \)。
4. 寻找临界值： \( (2x+1)(x-1) = 0 \)。临界值为 \( x = -\frac{1}{2} \) 和 \( x = 1 \)。
5. 绘制开口向上的抛物线 \( y = 2x^2 - x - 1 \)。
6. 解集： \( x < -\frac{1}{2} \text{ 或 } x > 1 \)。

2.3 图像变换

你需要了解四种基本变换对图像 \( y = f(x) \) 的影响。记住，对函数内部的处理（影响 \(x\)）通常与直觉相反！

变换类型	方程形式	图像影响	方向
垂直拉伸	\( y = af(x) \)	拉伸 \(a\) 倍（y 坐标乘以 \(a\)）。	y 方向
垂直平移	\( y = f(x) + a \)	位移向量 \(\begin{pmatrix} 0 \\ a \end{pmatrix}\)。（向上平移 \(a\)）。	y 方向
水平平移	\( y = f(x + a) \)	位移向量 \(\begin{pmatrix} -a \\ 0 \end{pmatrix}\)。（向左平移 \(a\)）。	x 方向（反直觉！）
水平拉伸	\( y = f(ax) \)	缩放 \(\frac{1}{a}\) 倍（x 坐标除以 \(a\)）。	x 方向（反直觉！）

记忆秘诀： 括号外的变化（影响 \(y\)）与直觉一致（例如 \( +2 \) 表示向上平移 2）。括号内的变化（影响 \(x\)）则相反（例如 \( (x+2) \) 表示向左平移 2）。

第 3 节：有理函数与部分分式（P2 进阶）

3.1 有理函数的代数除法

有理函数（Rational function）是分子和分母均为多项式的分式（例如 \( \frac{x^2 - 4x}{x^2 - 5x + 4} \)）。

简化： 通常可以通过对分子和分母进行因式分解并消去公因式来简化。 $$ \frac{x^2 - 4x}{x^2 - 5x + 4} = \frac{x(x-4)}{(x-4)(x-1)} = \frac{x}{x-1} $$

如果分子的次数（最高次幂）大于或等于分母的次数，则必须先进行代数除法。

代数除法示例（待定系数法）：
$$ \frac{3x+4}{x-1} $$ 为了让 \( x-1 \) 能整除，我们对分子进行变换：
$$ \frac{3(x-1) + 3 + 4}{x-1} = \frac{3(x-1) + 7}{x-1} = 3 + \frac{7}{x-1} $$

3.2 部分分式（Partial Fractions）

部分分式是通分运算的逆过程。它将复杂的分式拆解为更简单的分式之和。这对于后续的积分和级数展开至关重要。

前提条件： 分子的次数必须小于分母的次数。如果不是，先进行代数除法！

你需要处理两种情况（不可约二次因式在考试大纲中不考）：

情况 1：不同的线性因子

如果分母具有因子 \((x-a)(x-b)(x-c)\)，则拆解形式为：

$$ \frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b} $$

步骤示例： 将 \( \frac{3x+1}{(x-1)(x+2)} \) 拆解。
1. 设定恒等式： \( \frac{3x+1}{(x-1)(x+2)} \equiv \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} \)
2. 去分母： \( 3x+1 \equiv A(x+2) + B(x-1) \)
3. 使用赋值法（Substitution Method）（代入特定的 \(x\) 值）：
   令 \( x = 1 \): \( 3(1)+1 = A(1+2) + B(0) \implies 4 = 3A \implies A = \frac{4}{3} \)。
   令 \( x = -2 \): \( 3(-2)+1 = A(0) + B(-2-1) \implies -5 = -3B \implies B = \frac{5}{3} \)。
4. 最终结果： \( \frac{4}{3(x-1)} + \frac{5}{3(x+2)} \)

情况 2：重复的线性因子

如果分母含有重复因子，例如 \((x-a)^2\)，你必须包含从 1 次幂到最高重复次数的每一项：

$$ \frac{P(x)}{(x-a)^2(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2} + \frac{C}{x-b} $$

示例 \( \frac{3 + 2x^2}{(2x+1)(x-3)^2} \) 的拆解设定： $$ \frac{A}{2x+1} + \frac{B}{x-3} + \frac{C}{(x-3)^2} $$ 去分母后，结合赋值法（求 \(A\) 和 \(C\)）和/或比较系数法（求 \(B\)）。