M1.2：变加速直线运动
你好！欢迎来到运动并不总是那么整齐、可预测的奇妙世界。到目前为止，在力学（M1.1）中，你已经处理过匀加速直线运动，并使用了我们熟悉的 SUVAT 公式。但说实话，在现实世界中，物体很少能保持完美的匀加速运动！
想象一下火箭发射或汽车紧急制动，加速度是在不断变化的！这就是变加速运动。为了处理这种情况，我们必须运用你在纯数学（P1）中掌握的微积分（微分和积分）知识，提升我们的数学处理能力。
如果这看起来有点复杂，别担心。我们只是在定义位置、速度以及它们随时间变化方式之间的基本关系。
核心概念：定义位移、速度和加速度
在本章中，我们处理的是在直线上运动的质点。我们使用三个关键变量来描述其位置，所有变量都以时间 \(t\) 的函数形式表示：
- 位移 (\(s\))：质点相对于固定原点 \(O\) 的位置，单位为米 (m)。
- 速度 (\(v\))：位移的变化率，单位为米每秒 (\(\text{m s}^{-1}\))。
- 加速度 (\(a\))：速度的变化率，单位为米每二次方秒 (\(\text{m s}^{-2}\))。
你知道吗？ 因为我们使用了微积分，\(s, v\) 和 \(a\) 通常表示为时间的函数，例如：\(s(t) = 2t^3 - 5t\)。
第一节：微积分的联系（力学工具箱）
整个主题的基础在于两个简单却至关重要的概念：微分和积分互为逆运算。
1.1 向下推导：从位移到加速度（微分）
当你已知质点的位置随时间变化的函数时，你可以通过求导得到速度，再次求导即可得到加速度。
类比： 把这想象成顺流而下。这通常是比较容易的方向，就像微分通常比积分更容易一样。
核心公式（微分）：
速度是位移的导数：
\[v = \frac{ds}{dt}\]
加速度是速度的导数：
\[a = \frac{dv}{dt}\]
加速度是位移的二阶导数：
\[a = \frac{d^2s}{dt^2}\]
分步示例（微分）：
- 若位移由 \(s = t^3 - 4t^2 + 5t\) 给出。
-
通过对 \(s\) 关于 \(t\) 求导找到速度：
\[v = \frac{ds}{dt} = 3t^2 - 8t + 5\] -
通过对 \(v\) 关于 \(t\) 求导找到加速度：
\[a = \frac{dv}{dt} = 6t - 8\]
快速复习：微分关键词
在解决问题时，寻找那些提示你需要进行微分并代入时间 \(t\) 的短语：
- “求在 \(t = 2\) 时刻的速度/加速度。”
- “求 最大/最小 速度。”（需要令 \(\frac{dv}{dt} = 0\)，即令 \(a=0\)）。
- “求质点 瞬时静止 的时刻。”（需要令 \(v = 0\) 并解出 \(t\)）。
1.2 向上推导：从加速度到位移（积分）
当你已知质点的加速度随时间变化的函数时，必须通过积分来求出速度，再对速度进行积分求出位移。
类比： 这就像是逆流而上。这通常更难，因为你需要额外的信息才能完成整个计算过程！
核心公式（积分）：
速度是加速度的积分：
\[v = \int a \, dt\]
位移是速度的积分：
\[s = \int v \, dt\]
第二节：积分常数 (\(C\)) 的关键作用
这是大多数学生最容易犯错的地方！当你进行不定积分时，必须始终加上积分常数 \(C\)。这个常数代表了质点的起始值或初始条件。
由于我们从加速度到位移需要进行两次积分，你会有两个常数 (\(C_1\) 和 \(C_2\)) 需要求出。
诀窍： 你必须使用题目给出的质点运动信息（通常是在 \(t=0\) 时）来求出这些常数。
分步示例（积分）：
一个质点从原点 (\(s=0\)) 出发，在 \(t=0\) 时具有 \(5 \text{ m s}^{-1}\) 的初速度。加速度由 \(a = 6t - 2\) 给出。
-
求速度函数 (\(v\))：
\[v = \int a \, dt = \int (6t - 2) \, dt\] \[v = 3t^2 - 2t + C_1\] -
利用初始条件求 \(C_1\)：
我们已知当 \(t=0\) 时，\(v=5\)。代入这些值：
\(5 = 3(0)^2 - 2(0) + C_1\)
\(\implies C_1 = 5\)
所以，速度函数为 \(v = 3t^2 - 2t + 5\)。 -
求位移函数 (\(s\))：
\[s = \int v \, dt = \int (3t^2 - 2t + 5) \, dt\] \[s = t^3 - t^2 + 5t + C_2\] -
利用初始条件求 \(C_2\)：
我们已知质点从原点出发，所以当 \(t=0\) 时，\(s=0\)。
\(0 = (0)^3 - (0)^2 + 5(0) + C_2\)
\(\implies C_2 = 0\)
所以，位移函数为 \(s = t^3 - t^2 + 5t\)。
避坑指南！
- 忘了加 \(+ C\)： 如果忘记积分常数，你算出的位置或速度就会产生一个固定的偏移误差。一定要记得在积分后立即加上 \(C\)（或 \(C_1, C_2\)）。
-
混淆初始条件： 确保理解这些初始条件的含义：
“从原点出发” \(\implies\) 当 \(t=0\) 时，\(s=0\)。
“从静止出发” \(\implies\) 当 \(t=0\) 时，\(v=0\)。
- 函数类型识别错误： 记住，AS Level M1 的题目仅限于你可以使用 P1 规则进行积分的函数（通常是多项式或幂函数，如 \(t^{1/2}\)）。在积分或求导前，务必将 \(\frac{1}{t^2}\) 之类的表达式重写为 \(t^{-2}\)。
第三节：位移与路程的区别及方向的重要性
请记住位移 (\(s\)) 和路程之间的区别。
- 位移 是相对于原点 \(O\) 的矢量距离。它可能是正值，也可能是负值。
- 路程 是一个标量（始终为正）。
当加速度为变加速时，质点可能会改变方向。如果它改变了方向，你必须分段计算路程。
当质点的速度 (\(v\)) 为零时，它会改变方向。
分步：计算总路程
- 求出速度函数 \(v(t)\)。
- 令 \(v(t) = 0\) 并解出 \(t\)。这些时刻即为质点停止并可能改变方向的时间点。
- 计算质点在起始时刻、转向时刻和结束时刻的位移 \(s\)。
- 计算每一段行程中的路程（始终取正值）。将这些路程的绝对值相加，即可得到总路程。
示例： 如果一个质点从 \(s=0\) 出发，移动到 \(s=5\)，然后在 \(t=5\) 时掉头回到了 \(s=2\)。
到 \(t=5\) 为止的总路程为：(第一段路程) + (第二段路程) = \((5 - 0) + |2 - 5| = 5 + 3 = 8\)。
变加速运动的核心要点
- 顺序很重要： \(s \xrightarrow{求导} v \xrightarrow{求导} a\) 以及 \(a \xrightarrow{积分} v \xrightarrow{积分} s\)。
- 一定要找 \(C\)： 积分时必须使用初始条件（通常在 \(t=0\) 时）求出积分常数。
- 静止/转向： 如果题目询问质点何时静止或改变方向，令 \(v = 0\)。