欢迎来到几何分布！
你有没有想过，在掷硬币时，你需要掷多少次才能第一次看到「正面」？或者你需要购买多少包球星卡才能抽到那张稀有的球员卡？在统计学中，当我们在等待**第一次成功**出现时，我们就会用到**几何分布 (Geometric Distribution)**。
别担心，统计学有时看起来就像一座充满公式的大山。我们将会把它拆解成简单、易懂的步骤。读完这些笔记后，你会发现几何分布其实就是「一连串失败」加上「最后一次成功」的规律。让我们开始吧！
1. 什么时候使用它？（适用条件）
在开始计算之前，我们需要确认几何分布是否适合眼前的问题。一个情境要成为「几何」模型，必须符合以下规则：
1. 两种结果：每次试验只有两种可能性：**成功** 或 **失败**。（例如：考试及格或不及格）。
2. 独立试验：一次尝试不会影响下一次。（例如：如果你第一次投篮没进，你下一次投篮命中的概率依然保持不变）。
3. 固定概率：成功的概率（我们称之为 \(p\)）在每一次试验中必须保持完全不变。
4. 「直到」规则：我们不断进行试验，**直到**第一次成功出现为止。一旦成功，试验立即停止。
记忆小撇步：想象「坚持不懈的幼儿」
想象一个幼儿试着堆叠积木。他们失败、失败、失败……就在他们成功的那一刻，他们会拍手并停止动作。这就是几何分布！
快速复习：我们使用符号 \(X \sim Geo(p)\)，其中 \(X\) 是获得第一次成功所需的试验次数，而 \(p\) 是单次试验中成功的概率。
2. 计算概率
假设成功的概率为 \(p\)，这意味着失败的概率为 \(q = 1 - p\)。
找出在第 \(x\) 次试验中恰好成功的概率
如果成功发生在第 \(x\) 次尝试，意味着你必须连续 失败 了 \(x-1\) 次，然后在最后一次尝试中 成功。
公式：
\(P(X = x) = q^{x-1} \times p\)
例子：如果你命中目标的概率是 0.2，那么你在第 4 次尝试时第一次命中目标的概率是多少？
1. 成功 (\(p\)) = 0.2
2. 失败 (\(q\)) = 0.8
3. 我们需要 3 次失败然后 1 次成功：\(0.8 \times 0.8 \times 0.8 \times 0.2\)
4. 计算：\(0.8^3 \times 0.2 = 0.1024\)
找出在一定次数内获得成功的概率
有时我们想知道成功在第 \(x\) 次或之前发生的概率。这写作 \(P(X \le x)\)。
公式：
\(P(X \le x) = 1 - q^x\)
为什么这个公式成立？
逻辑思考一下：你在 \(x\) 次试验内 没有 成功的唯一情况，就是你连续 \(x\) 次 每次都失败。失败 \(x\) 次的概率是 \(q^x\)。因此，不是每次都失败的概率就是 \(1 - q^x\)。这是一个节省你时间的绝佳捷径！
重点提示：当你想找出第一次成功需要 超过 \(x\) 次试验的概率时，请使用 \(P(X > x) = q^x\)。
3. 平均值与方差
在考试中，你需要知道如何求出几何分布的「平均值」（Mean）和「离散程度」（Variance）。
平均值： \(E(X) = \frac{1}{p}\)
这非常直观！如果你有 1/10 的概率获胜（\(p=0.1\)），你会预期玩 10 次才能赢一次（\(1 / 0.1 = 10\)）。
方差： \(Var(X) = \frac{1-p}{p^2} = \frac{q}{p^2}\)
这告诉我们试验次数相对于平均值可能会有多少波动。
你知道吗？
几何分布是 无记忆性 (memoryless) 的。这意味着即使你已经失败了 10 次，你在第 11 次试验中成功的概率依然只是 \(p\)。「宇宙」不会因为你一直失败就欠你一次成功！
4. 推导（给勇敢的你！）
课程大纲要求你理解这些公式的来源。如果一开始觉得很难别担心；这主要是运用你在纯数（Pure Maths）学过的 几何级数 知识。
推导平均值 \(E(X)\)
根据定义，期望值是（值 \(\times\) 概率）的总和：
\(E(X) = \sum x \cdot P(X=x) = 1p + 2qp + 3q^2p + 4q^3p + ...\)
提取 \(p\)：
\(E(X) = p(1 + 2q + 3q^2 + 4q^3 + ...)\)
括号内的部分是几何级数 \(1 + q + q^2 + q^3...\) 的导数，该级数和为 \(\frac{1}{1-q}\)。
透过微积分/代数运算，括号内的总和变为 \(\frac{1}{(1-q)^2}\)。
由于 \(1-q = p\)，我们得到：
\(E(X) = p \times \frac{1}{p^2} = \frac{1}{p}\)
快速复习框：
• 期望值： \(1/p\)
• 方差： \(q/p^2\)
• \(P(X \le x)\)： \(1 - q^x\)
• 永远记得： \(q = 1 - p\)
5. 常见错误避坑指南
1. 使用错误的「x」：在公式 \(q^{x-1}p\) 中，次方是 \(x-1\)，而不是 \(x\)。如果你想在第 5 次试验成功，你只有 4 次失败。
2. 忘记「直到」规则：学生常将几何分布与二项分布混淆。请记住：二项分布有 固定的试验次数（例如：掷 10 次）。几何分布有 固定的成功次数（例如：掷到出现 1 次正面为止）。
3. 误解「超过」：如果题目要求 \(P(X > 5)\)，意味着你在前 5 次试验都失败了。公式单纯是 \(q^5\)。你不需要进行繁琐的加总！
几何分布总结
• 它用于模拟获得 第一次 成功所需的试验次数。
• 成功概率 \(p\) 必须是 固定 的，且试验必须是 独立 的。
• 平均试验次数为 \(1/p\)。
• 直到第 \(x\) 次试验都失败的概率为 \(q^x\)。
• 务必再次确认题目问的是「恰好」、「超过」还是「至多」。
你一定没问题的！试着练习几题计算 \(E(X)\) 和 \(P(X=x)\) 的题目，让这些公式成为你的直觉吧。