欢迎来到决策分析（Decision Analysis）！

你有没有曾经在面对艰难抉择时感到束手无策？你应该投资新业务，还是把钱存在银行？公司应该现在就推出新产品，还是等待更多的市场研究结果？决策分析是一套数学工具，用来协助我们排除这些人生及商业难题中的臆测成分。阅读完这些笔记后，你将能够绘制复杂的决策情境，并计算出最合乎逻辑的解决方案。

如果起初觉得图表看起来很复杂也不用担心，这其实只是一张预测未来可能性的逻辑“地图”而已！

1. 基础构件：决策树 (Decision Trees)

决策树是一张按时间顺序排列的图表，显示了决策过程中所有可能的路径。在绘制时，我们需要使用特定的符号，请务必立即记住它们。

关键术语与符号

  • 决策节点 (Decision Nodes，方形 \(\square\))： 代表你必须做出选择的时刻。你需要决定选择哪一条分支。
  • 机会节点 (Chance Nodes，圆形 \(\bigcirc\))： 代表运气或外部因素介入的时刻。你无法选择，结果取决于概率。
  • 分支 (Branches)： 从节点延伸出来的线。从机会节点延伸出来的分支，其概率总和必须等于 1。
  • 收益 (Pay-offs)： 位于分支最末端（右侧）的最终数值。通常是财务指标（利润或亏损）。

温馨小提醒：记住，方形 (\(\square\)) 由你掌控，但圆形 (\(\bigcirc\)) 则由大自然（概率）掌控！

2. 期望货币价值 (Expected Monetary Value, EMV)

期望货币价值 (EMV) 是如果你重复进行该决策多次，预期平均能获得的金额。它帮助我们在公平的基础上比较不同的“机会”结果。

如何计算机会节点的 EMV：

若要计算 EMV，将每个可能的结果与其对应的概率相乘，然后加总即可。

\(\text{EMV} = \sum (\text{概率} \times \text{收益})\)

范例： 一个机会节点有两个结果：
1. 赢得 £100，概率为 0.6
2. 输掉 £20，概率为 0.4
\(\text{EMV} = (0.6 \times 100) + (0.4 \times -20) = 60 - 8 = £52\)

重点提示： EMV 不一定是你实际会得到的金额；它是长期的平均值。这是该项特定冒险在逻辑上的价值。

3. “折叠回溯”决策树 (Folding Back)

为了求解决策树，我们总是从右向左进行。这个过程通常称为“回溯”(rolling back) 决策树。

步骤说明：

  1. 从最右侧的收益开始。
  2. 向左移动到第一个节点。
  3. 如果是机会节点 (\(\bigcirc\))： 计算 EMV 并将其写在节点上方。
  4. 如果是决策节点 (\(\square\))： 查看从节点延伸出的分支数值。选择最优的一个（通常是利润最高值）。将该数值写在节点上方，并将未选择的分支“修剪”（画上双斜线 //）。
  5. 继续向左移动，直到抵达最开始的节点。该处的数值就是你的最终答案！

常见错误： 许多学生会试图从左向右计算。千万别这样做！在你清楚后续选择带来的结果价值前，是无法计算出当前决策的价值的。

4. 效用理论 (Utility Theory)

有时候，金钱并非一切。你会选择 100% 获得 £1,000,000，还是有 50% 概率获得 £3,000,000？在数学上，后者的 EMV 较高（£1.5m 对比 £1m），但大多数人都会选择确定的那一百万！这就是效用 (Utility) 登场的时候。

什么是效用？

效用是一种衡量“满足感”或“实用性”的指标。我们会将金钱金额赋予效用值（通常在 0 到 1 之间）。
- \(U = 0\) 通常代表最坏的结果。
- \(U = 1\) 通常代表最好的结果。

你知道吗？ 使用效用理论有助于模拟“风险规避型”(risk-averse) 的人（讨厌损失），或是“风险追求型”(risk-seeking) 的人（喜爱冒险刺激）。

使用效用计算：

在考试中，你可能会拿到一个“效用函数”或表格。你只需用效用值取代英镑符号，并进行完全相同的“折叠回溯”程序即可。你计算的将不再是 EMV，而是期望效用 (Expected Utility)。

重点提示： 如果题目提到“效用”，请在计算时忽略原有的英镑金额，仅使用题目提供的 \(U\) 值！

5. 总结与考试成功秘诀

记忆小帮手：“方形我掌控，圆形如海洋”
（方形由你做主；圆形就像大海一样——充满变数且取决于运气！）

考试题目检查清单：

  • 每个机会节点的概率总和是否为 1.0？
  • 是否扣除了任何成本？（如果参与项目需要 £5,000，记得从最终收益中扣除）。
  • 是否有进行右向左的回溯计算？
  • 是否清晰地用双斜线 // 标记了被舍弃的分支？

给你的最后鼓励： 决策分析是进阶数学 (Further Maths) 中最实用的单元之一。一旦你习惯了“回溯”的逻辑，这将成为你在 Paper 4D 中最稳定得分的项目。请继续练习绘制那些决策树吧！