卡方 (\(\chi^2\)) 检验简介
欢迎来到进阶统计学中最实用的章节之一！你有没有想过一枚硬币是否真的公平，或者一间公司声称糖果包装内颜色分布是“随机”的说法是否属实？卡方检验 (Chi-squared tests) 就是数学家用来解答这些疑问的工具。
在本章中，我们基本上是在比较我们观察到的数值 (Observed values) 与基于数学模型预期会出现的数值 (Expected values)。如果两者差异巨大，我们就可能推论该模型是错误的！
1. 拟合优度检验 (Goodness of Fit Test)
“拟合优度”检验旨在检查特定的概率分布（例如离散均匀分布、二项分布或泊松分布）与实际数据的吻合程度。
零假设与对立假设
每次检验都从两个陈述开始：
\(H_0\) (零假设)：数据符合该指定分布（例如：“数据服从泊松分布”）。
\(H_1\) (对立假设)：数据不符合该指定分布。
检验统计量
为了衡量观察值与预期值之间的“差距”，我们使用卡方统计量：
\(\chi^2_{calc} = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}\)
其中：
- \(O_i\) = 观察频率（实际发生次数）。
- \(E_i\) = 预期频率（数学模型预测发生的次数）。
类比：想象你预期每天会收到 10 条消息。如果收到 9 条，那没什么大不了；但如果你收到 200 条，肯定有什么地方不对劲！卡方统计量正是用来计算这种差异有多“异常”。
黄金法则：“5 的规则”
为了确保卡方检验的准确性，每个单元格的预期频率 (\(E_i\)) 必须至少为 5。
常见错误：学生经常去检查观察值 (\(O_i\))。千万别这样做！一定要检查预期值 (\(E_i\))。如果某个数值小于 5，你必须将该单元格与相邻的单元格合并（并且记得随后要调整自由度！）。
快速复习箱：
1. 设定 \(H_0\) 与 \(H_1\)。
2. 计算预期频率 (\(E_i\))。
3. 检查是否有 \(E_i < 5\)。若有，请合并单元格。
4. 计算 \(\chi^2\) 统计量。
2. 自由度 (\(\nu\))
“自由度”（用希腊字母 nu, \(\nu\) 表示）告诉我们该使用哪条卡方曲线。这是最容易丢分的地方，所以务必留心！
对于拟合优度检验：
\(\nu = n - 1 - k\)
其中：
- \(n\) = 单元格总数（合并后的数量）。
- \(1\) = 由于总频率固定，必须减去 1。
- \(k\) = 从数据中估计出的参数数量。
何时使用 \(k\)？
- 离散均匀分布：通常 \(k=0\)（没有参数需要估计）。
- 泊松分布：如果你已知 \(\lambda\)，则 \(k=0\)；如果你必须先从数据中计算平均值 (\(\bar{x}\))，则 \(k=1\)。
- 二项分布：如果你已知 \(p\)，则 \(k=0\)；如果你必须利用数据的平均值来计算 \(p\)，则 \(k=1\)。
冷知识：“自由度”一词指的是系统中有多少数值可以自由变动。如果你知道总频率，且知道除最后一个外的所有单元格数值，那最后一个数值就“被锁定”了，这就是为什么我们要减去 1 的原因！
3. 列联表 (Contingency Tables)
列联表用于检验两个不同因素是否独立。例如：“学生的最爱科目与性别之间是否存在关联？”
列联表的假设：
\(H_0\)：两个因素相互独立（无关联）。
\(H_1\)：两个因素不独立（存在关联）。
计算预期频率：
对于表中的每个单元格，使用这个简单的公式：
\(E = \frac{\text{行总和} \times \text{列总和}}{\text{总计}}\)
列联表的自由度：
\(\nu = (r - 1)(c - 1)\)
其中 \(r\) 是行数，\(c\) 是列数。
提示：对于列联表，你不需要担心“估计参数”(\(k\)) 的问题，只需使用行/列公式即可！
4. 寻找临界值并作出结论
当你算出了 \(\chi^2\) 统计量与自由度 \(\nu\) 后，你需要判断结果是否显著。
步骤 1：利用你的显著性水平（通常为 5% 或 1%）与 \(\nu\)，查阅考试提供的统计表以找出临界值 (Critical Value)。
步骤 2：比较！
- 若计算出的 \(\chi^2\) > 临界值：差异大到不可能是巧合。拒绝 \(H_0\)。
- 若计算出的 \(\chi^2\) < 临界值：差异小到可能是随机误差。无法拒绝 \(H_0\)（接受 \(H_0\)）。
使用计算器：你的计算器通常可以给你一个 p-值 (p-value)。
- 若 p-值 < 显著性水平（例如 0.03 < 0.05），则拒绝 \(H_0\)。
- 如果觉得一开始很难理解也不用担心，记住这句口诀：“p 值若低，\(H_0\) 必去！”(If the p is low, the \(H_0\) must go!)
重点检查清单
核心重点：
- 观察 (\(O\))：真实数据。预期 (\(E\))：理论数据。
- 5 的规则：若 \(E < 5\)，务必合并单元格。
- 拟合优度检验 \(\nu\)： \(n - 1 - \text{估计参数数量}\)。
- 列联表 \(\nu\)： \((r-1)(c-1)\)。
- 结论：巨大的 \(\chi^2\) 值会导致拒绝零假设。