欢迎来到进阶向量（Further Vectors）！
在 A Level 数学中，你已经学过如何在二维和三维空间中运用向量。在进阶数学 (8FM0) 的这一章中，我们将把这些技巧提升到更高层次！我们将探索如何在三维空间中描述直线与平面（称为 planes）。这些概念是现代科技的基石——从 GPS 卫星如何追踪你的位置，到电子游戏引擎如何渲染 3D 世界，都离不开它们。
如果刚开始觉得有点困难，别担心！ 我们会将所有内容拆解成简单、易懂的步骤。让我们开始吧！
1. 三维空间中的直线
你可以将三维空间中的直线想像成空中的一条轨迹。要准确描述这条轨迹，你只需要两样东西：一个起点和移动的方向。
向量形式
直线的向量方程式写作： \( \mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda \mathbf{b} \)
• \( \mathbf{r} \)：直线上的任意点（由坐标 \(x, y, z\) 表示）。
• \( \mathbf{a} \)：已知直线上某一点的位置向量（即“起点”）。
• \( \mathbf{b} \)：方向向量（直线延伸的方向）。
• \( \lambda \) (lambda)：一个标量参数。当你改变 \(\lambda\) 时，你就会沿着直线“滑动”到不同的点。
笛卡尔形式
有时，我们更喜欢用 \(x, y,\) 和 \(z\) 来书写直线方程式，而不是使用向量。这就是笛卡尔形式：
\( \frac{x - a_1}{b_1} = \frac{y - a_2}{b_2} = \frac{z - a_3}{b_3} \)
小贴士： 若要从向量形式转换为笛卡尔形式，只需重新排列向量方程式，让 \(\lambda\) 作为每个分量 (\(x, y,\) 和 \(z\)) 的主项，然后令它们相等即可。
平行线、相交线与歪斜线
在二维空间中，直线不是平行就是相交。但在三维空间中，还有第三种可能：
• 平行线： 拥有相同（或互为倍数关系）的方向向量 \(\mathbf{b}\)。
• 相交线： 它们在刚好一点上相遇。
• 歪斜线 (Skew lines)： 既不平行也永远不会相交的直线。
两条直线的交点
要判断两条直线是否相交并求出交点：
1. 为每条直线使用不同的标量参数：\(\mathbf{r}_1 = \mathbf{a}_1 + \lambda \mathbf{b}_1\) 及 \(\mathbf{r}_2 = \mathbf{a}_2 + \mu \mathbf{b}_2\)。
2. 令 \(x, y,\) 和 \(z\) 分量分别相等，得出包含 \(\lambda\) 和 \(\mu\) 的三个方程式。
3. 联立解其中两个方程式，求出 \(\lambda\) 和 \(\mu\) 的值。
4. 将这些值代入第三个方程式。若方程式成立，则直线相交（将 \(\lambda\) 代入 \(\mathbf{r}_1\) 即可求得该点的位置向量）。若不成立，则直线不相交（只要它们不平行，即为歪斜线）。
重点总结： 直线需要一个点 (\(\mathbf{a}\)) 和一个方向 (\(\mathbf{b}\))。处理两条直线时，请务必使用不同的参数（例如 \(\lambda\) 和 \(\mu\)）。
2. 平面的方程式
想像一张向四面八方无限延伸的平纸——这就是一个平面。
向量形式（两个方向）
如果你知道平面上的一个点以及两个位于平面上的不平行方向向量： \( \mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda \mathbf{b} + \mu \mathbf{c} \)
法向量形式（标量积形式）
每个平面都有一个法向量 (\(\mathbf{n}\))，它垂直于平面表面：
\( \mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{n} = d \)
其中 \(d\) 是一个常数标量，透过已知平面上一点 \(\mathbf{a}\) 与 \(\mathbf{n}\) 的标量积计算得出。
平面的笛卡尔形式
如果 \(\mathbf{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\)，则笛卡尔方程式为： \( ax + by + cz = d \)
你知道吗？ 笛卡尔方程式中的系数 \(a, b,\) 和 \(c\) 正是法向量 \(\mathbf{n}\) 的分量！
重点总结： 定义平面最直接的方法是使用它的法向量（垂直于其表面的向量）。
3. 标量积（点积）
标量积定义为：
\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos \theta \)
主要应用：
1. 计算夹角 (\(\theta\))： \( \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|} \)。
2. 垂直性质： 两个非零向量垂直的充要条件是 \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \)。
4. 计算直线与平面间的夹角
计算夹角时，请先找出相关的方向向量或法向量：
两条直线间的夹角
使用方向向量 \(\mathbf{b}_1\) 和 \(\mathbf{b}_2\)：
\( \cos \theta = \frac{|\mathbf{b}_1 \cdot \mathbf{b}_2|}{|\mathbf{b}_1||\mathbf{b}_2|} \)
两个平面间的夹角
使用法向量 \(\mathbf{n}_1\) 和 \(\mathbf{n}_2\)：
\( \cos \theta = \frac{|\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2|}{|\mathbf{n}_1||\mathbf{n}_2|} \)
直线与平面间的夹角
由于法向量 \(\mathbf{n}\) 垂直于平面，直线方向 \(\mathbf{b}\) 与平面之间的夹角 \(\theta\) 满足：
\( \sin \theta = \frac{|\mathbf{b} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{b}||\mathbf{n}|} \)
记忆法： 线与线、面与面，使用 \(\cos\)；线与面，使用 \(\sin\)。
5. 交点与垂直距离
直线与平面的交点
要找出直线 \(\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda \mathbf{b}\) 与平面 \(ax + by + cz = d\) 的交点：
1. 利用直线方程式以 \(\lambda\) 表示 \(x, y, z\)：\(x = a_1 + \lambda b_1\)，\(y = a_2 + \lambda b_2\)，\(z = a_3 + \lambda b_3\)。
2. 将这些代入平面方程式，并解出关于 \(\lambda\) 的线性方程式。
3. 将 \(\lambda\) 代回直线方程式，以求得交点坐标。
点到平面的垂直距离
点 \(P(\alpha, \beta, \gamma)\) 到平面 \(ax + by + cz = d\) 的垂直距离由以下公式给出：
\( \text{距离} = \frac{|a\alpha + b\beta + c\gamma - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \)
点到直线的垂直距离
要计算位置向量为 \(\mathbf{p}\) 的点 \(P\) 到直线 \(\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda \mathbf{b}\) 的垂直距离：
1. 设 \(F\) 为直线上垂线的垂足，因此 \(\vec{OF} = \mathbf{a} + \lambda \mathbf{b}\)。
2. 求出向量 \(\vec{PF} = (\mathbf{a} + \lambda \mathbf{b}) - \mathbf{p}\)。
3. 由于 \(\vec{PF}\) 垂直于直线，令 \(\vec{PF} \cdot \mathbf{b} = 0\) 并解出 \(\lambda\)。
4. 将 \(\lambda\) 代回以求得 \(\vec{PF}\)，然后计算其模长 \(|\vec{PF}|\)。
两条直线间的垂直距离
• 平行线： 在第一条直线上任取一点，并使用上述“点到直线”的方法计算其到第二条直线的垂直距离。
• 歪斜线： 设 \(P\) 为直线 1 上的任意点 (\(\mathbf{a}_1 + \lambda \mathbf{b}_1\))，\(Q\) 为直线 2 上的任意点 (\(\mathbf{a}_2 + \mu \mathbf{b}_2\))。当向量 \(\vec{PQ}\) 同时垂直于两个方向向量时，其长度为最短距离：\(\vec{PQ} \cdot \mathbf{b}_1 = 0\) 及 \(\vec{PQ} \cdot \mathbf{b}_2 = 0\)。联立解这两个方程式以求得 \(\lambda\) 和 \(\mu\)，然后计算 \(|\vec{PQ}|\)。
恭喜你读完进阶向量的笔记！练习在脑海中视觉化三维空间中的直线与平面——随手画出简图将有助你掌握所有距离和角度的计算。