Game theory

欢迎来到博弈论的世界！

你有没有玩过“剪刀、石头、布”，并试图预测朋友下一步会出什么？又或是好奇企业在竞争对手虎视眈眈的情况下，是如何制定价格的？这就是博弈论（Game Theory）的应用！在“决策数学 2”（Decision Mathematics 2）这一章中，我们将探讨当两个“玩家”的成功取决于对方的选择时，他们该如何做出最佳决策。这本质上就是策略的数学。

1. 基本概念：二人零和博弈

在深入计算之前，我们需要先了解在 8FM0 中所研究博弈的“规则”。

关键术语：
- 二人博弈（Two-person game）： 简单来说，就是正好有两名玩家参与的游戏。
- 零和博弈（Zero-sum game）： 指一方的收益正好等于另一方的损失。如果我赢了 £5，你就输了 £5。我们双方分数的“总和”永远为零。
- 收益矩阵（Pay-off Matrix）： 一张显示游戏结果的表格。在考试中，此矩阵几乎总是从行玩家（Row Player）的角度编写的。

例子： 想象一个数值为 \( 4 \) 的矩阵。这意味着行玩家赢得 4 分，而列玩家（Column Player）输掉 4 分。如果数值为 \( -3 \)，则行玩家输掉 3 分，列玩家赢得 3 分。

快速回顾：
正数 = 行玩家赢 / 列玩家输。
负数 = 行玩家输 / 列玩家赢。

重点总结

在零和博弈中，玩家之间存在完全的冲突。行玩家希望矩阵中的数值越大越好，而列玩家则希望数值越小（或负数越多）越好。

2. 保守策略与稳定解

大多数玩家都是“悲观主义者”——他们会假设对方正以完美的策略试图击败自己。正因如此，他们会采用保守策略（play-safe strategy），以确保无论对手做什么，自己都能保证获得一个最低限度的结果。

步骤拆解：如何找出保守策略

对于行玩家（“最大值最小值”Maximin 策略）：
1. 查看每一行，找出其中的最小值（即该选项最坏的情况）。
2. 从这些最小值中，选出最大的一个。这就是行最大最小值（Row Maximin）。
记忆法：“行玩家想要‘最坏情况中的最好结果’。”

对于列玩家（“最小值最大值”Minimax 策略）：
1. 查看每一列，找出其中的最大值（这对列玩家来说是最坏的情况，因为行玩家赢得越多）。
2. 从这些最大值中，选出最小的一个。这就是列最小值最大值（Column Minimax）。
记忆法：“列玩家想要‘将最大损失最小化’。”

稳定解（鞍点）

有时候，行最大最小值与列最小值最大值是同一个数字。当这种情况发生时，我们就得到了稳定解（Stable Solution），也称为鞍点（Saddle Point）。

你知道吗？ 在稳定解中，任何一方都无法通过单方面改变策略来改善自己的结果。如果他们改变策略，结果只会更糟！

重点提示： 一个博弈是“稳定”的，当且仅当：
\( \text{Row Maximin} = \text{Column Minimax} \)

重点总结

永远记得先检查是否有鞍点！如果最大最小值等于最小值最大值，博弈问题就已经解决了，你不需要进行任何复杂的图表绘制。

3. 最优混合策略（图解法）

如果没有鞍点怎么办？如果你一直选择同一个“安全”行，对手最终会识破你的规律并击败你。为了保持不可预测性，你必须使用混合策略（Mixed Strategy）。

在混合策略中，你以一定的概率执行不同的选项。对于 AS Level 8FM0，你只需要学会如何通过图解法解决 \( 2 \times n \) 或 \( n \times 2 \) 的博弈（即其中一名玩家只有 2 个选项的情况）。

如何解决 \( 2 \times n \) 博弈（行玩家有 2 个选项）

别担心，这看起来可能有点复杂，但图表会帮你完成大部分工作！

1. 定义概率： 假设行玩家以概率 \( p \) 选择策略 1。因此，他们必须以概率 \( (1 - p) \) 选择策略 2。
2. 写出期望收益： 对于列玩家的每个选择，写出一个关于期望收益的方程式。
例子： 如果列玩家选择某种策略，使得行玩家在选项 1 中赢得 3 分，在选项 2 中赢得 5 分，则方程式为： \( V = 3p + 5(1-p) \)。
3. 绘制图表： 绘制一个图表，横轴为 \( p \)（从 0 到 1），纵轴为期望收益 \( V \)。
4. 画出直线： 列玩家的每一个策略在你的图表上都会变成一条直线。
5. 找出“下边界上的最高点”： 由于行玩家想要最大化他们的最小收益，请观察所有直线的最底层“边缘”（下包络线）。找出该边界上的最高点。
6. 计算： 这一点通常是两条直线的交点。将这两个方程式联立求解，即可找出 \( p \) 的最优值。

避免常见错误

当解决 \( n \times 2 \) 博弈（即列玩家有 2 个选项）时，过程类似，但你要寻找的是上边界上的最低点。这是因为列玩家想要最小化行玩家能获得的最大收益。

重点总结

图解法将策略问题转化为视觉问题。行玩家寻找“最高的地板”（下边界），而列玩家寻找“最低的天花板”（上边界）。

复习小结

1. 收益矩阵： 永远从行玩家的角度阅读。
2. 保守策略： 找出行最大最小值（Row Maximin）和列最小值最大值（Column Minimax）。
3. 鞍点： 如果 Maximin = Minimax，则博弈是稳定的。
4. 混合策略： 当没有鞍点时使用。利用 \( p \) 和 \( (1-p) \) 建立线性方程式，并通过图表求解。
5. 博弈价值（Value of the Game）： 这是双方都采取最优策略时的预期收益。

你一定做得到！练习时仔细绘制图表，并记得标注坐标轴。博弈论其实就是如何在竞争环境中找到最佳路径的艺术。