單元 3：電路（Electric Circuits，Pearson Edexcel AS 物理 8PH0）

歡迎閱讀單元 3：電路（Electric Circuits）的溫習筆記！由智能手機到高速鐵路，電力推動著現代世界的運轉。在這一章中，我們將會把電荷、電流、電勢差以及內阻等基本概念，拆解成清晰易明的核心知識點。不用擔心物理公式看起來很繁複——我們會配合生活化比喻和實用的應試技巧，一步一步拆解每條公式！

1. 電流、電荷與傳導方程式（Transport Equation）

什麼是電荷與電流？

電荷（Electric Charge，\(Q\)）是物質的基本物理性質，單位為庫侖（Coulombs，\(\text{C}\)）。當電荷流動時，便會形成電流。

電流（Electric Current，\(I\)）的定義是電荷的流動率（rate of flow of charge），單位為安培（Amperes，\(\text{A}\)）。

\(I = \frac{\Delta Q}{\Delta t}\)

從這條公式可以看出，\(1\text{ 庫侖} = 1\text{ 安培秒}\)（\(1\text{ C} = 1\text{ As}\)）。

傳導方程式：導線內部到底發生了什麼事？

在金屬導體內部，可移動的載流子（自由電子）會在振動的正離子晶格之間漂移。流經導線的電流取決於導體的數項物理特性：

\(I = nqvA\)

讓我們逐一拆解每個物理量：

• \(I\) = 電流，單位為安培（\(\text{A}\)）
• \(n\) = 載流子的數密度（Number density）（即每單位體積內的自由電子數目，單位為 \(\text{m}^{-3}\)）
• \(q\) = 每個載流子所帶的電荷量（單位為 \(\text{C}\)）
• \(v\) = 載流子的漂移速率（Drift velocity）（單位為 \(\text{m s}^{-1}\)）
• \(A\) = 導體的橫切面面積（單位為 \(\text{m}^2\))

你知唔知？漂移速率的真相

你知唔知？ 雖然電訊號在電路中傳播的速度快如閃電，但電子本身的實際物理移動速度卻慢得驚人！電子的漂移速率（\(v\)）通常只有每秒不到一毫米（大約 \(10^{-4}\text{ m s}^{-1}\)）。想像一下在一條擠擁的走廊裡：只要有人在隊尾推一下，隊頭的人便會立刻感受到推力，但每個人實際上只是緩慢地向前移動了一小步。

第 1 部分重點回顧

核心重點： 電流是電荷的流動率（\(I = \frac{\Delta Q}{\Delta t}\)）。在微觀層面上，電流以 \(I = nqvA\) 表示，其中單個載流子在導體中漂移的速度其實出奇地緩慢。

2. 電勢差、電動勢與電阻

電勢差（P.D.）對比 電動勢（e.m.f.）

很多同學經常混淆這兩個概念，但在考試中分清兩者的定義至關重要：

• 電勢差（Potential Difference，\(V\)）： 當電荷流經某元件時，每單位電荷由電能轉化為其他能量形式（例如熱能或光能）的能量。
• 電動勢（Electromotive Force，\(\varepsilon\)）： 電源向每單位電荷所提供的能量（將化學能、太陽能或機械能等轉化為電能）。

兩者的單位皆為伏特（Volts，\(\text{V}\)），其中 \(1\text{ 伏特} = 1\text{ 焦耳每庫侖}\)（\(1\text{ V} = 1\text{ J C}^{-1}\)）。

\(V = \frac{W}{Q}\)

其中 \(W\) 為轉化的能量，單位為焦耳（\(\text{J}\)），\(Q\) 為電荷量，單位為庫侖（\(\text{C}\)）。

電阻與歐姆定律（Ohm's Law）

電阻（Resistance，\(R\)）的定義是元件兩端的電勢差與流經該元件的電流之比：

\(R = \frac{V}{I}\)

電阻的單位為歐姆（Ohms，\(\Omega\)）。

歐姆定律： 對於歐姆導體（Ohmic conductor），在溫度保持不變的情況下，電流與電勢差成正比（\(I \propto V\)）。

電功率與電能

在電路中能量轉化的速率稱為功率（\(P\)），單位為瓦特（\(\text{W}\)）。根據 \(P = \frac{W}{t}\) 並代入電學定義，我們可以推導出三條必背的功率公式：

\(P = VI\)
\(P = I^2R\)
\(P = \frac{V^2}{R}\)

要計算在時間 \(t\) 內所轉化的總能量（\(W\)）：

\(W = VIt\)

第 2 部分重點回顧

核心重點： 電動勢（e.m.f.）為電路提供能量（\(\text{化學能} \to \text{電能}\)），而電勢差（P.D.）則消耗電能（\(\text{電能} \to \text{其他能量形式}\)）。電阻為比值 \(R = \frac{V}{I}\)。

3. 電路元件特性與非歐姆行為

1. 歐姆導體（恆溫下的定值電阻器，Fixed Resistor）

• 特性： 其 \(I\text{-}V\) 特性圖是一條穿過原點的直線。
• 解釋： 由於溫度保持不變，電阻值維持恆定。

2. 鎢絲燈泡（Filament Lamp）

• 特性： 其 \(I\text{-}V\) 特性圖呈曲線，隨著 \(V\) 增加而漸趨平緩（斜率減小）。
• 解釋： 當電流增加時，燈絲溫度上升。燈絲中的金屬離子振動幅度增大，與漂移電子的碰撞更加頻繁。這導致電阻增加，因此鎢絲燈泡屬於非歐姆（non-ohmic）元件。

3. 半導體二極管（Semiconductor Diode）

• 特性： 在正向電壓達到特定的門限電壓（threshold voltage）之前，幾乎沒有電流流過。一旦達到門限電壓，電阻變得極低，電流急劇上升。在反向電壓下，電阻極大，電流微乎其微。

4. 負溫度系數（NTC）熱敏電阻

• 特性： 隨著溫度上升，NTC 熱敏電阻的電阻值會下降。
• 解釋： 熱能釋放出更多自由載流子（增加了 \(I = nqvA\) 中的數密度 \(n\)），從而顯著降低了電阻。

快速溫習：元件總結

• 定值電阻器： \(R\) 保持恆定（\(I\text{-}V\) 圖為直線）
• 鎢絲燈泡： 溫度上升 \(\implies R\) 上升（S 形曲線）
• NTC 熱敏電阻： 溫度上升 \(\implies R\) 下降
• 二極管： 僅在超過正向門限電壓時單向導電

4. 電阻率與核心實驗 2（Core Practical 2）

認識電阻率（Resistivity）

電阻的大小取決於導體的尺寸和形狀（即長度 \(l\) 及橫切面面積 \(A\)）。而電阻率（\(\rho\)）則是材料本身的內在特性，與物體的形狀尺寸無關：

\(R = \frac{\rho l}{A}\)

其中：
• \(R\) = 電阻（\(\Omega\)）
• \(\rho\) = 電阻率（\(\Omega\text{ m}\)）
• \(l\) = 導線長度（\(\text{m}\)）
• \(A\) = 橫切面面積（\(\text{m}^2\))

核心實驗 2：測定電阻率

實驗目標： 測量金屬導線的電阻率。

實驗步驟：
1. 使用螺旋測微器（micrometer screw gauge）在導線的不同位置和方向多次測量直徑，並計算出平均直徑 \(d\)。
2. 計算橫切面面積：\(A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}\)。
3. 將導線連接至由電源和安培計組成的電路中，並用鱷魚夾將伏特計接在不同長度 \(l\) 的導線兩端。
4. 測量不同長度 \(l\)（例如 \(0.20\text{ m}\) 至 \(1.00\text{ m}\)）下的電流 \(I\) 和電勢差 \(V\)。
5. 計算出每個長度對應的電阻值 \(R = \frac{V}{I}\)。

圖表分析：
將 \(R = \frac{\rho l}{A}\) 改寫為直線方程式 \(y = mx + c\) 的形式：

\(R = \left(\frac{\rho}{A}\right)l + 0\)

• 繪製圖表：以 \(R\) 為 y 軸，\(l\) 為 x 軸。
• 數據點應呈現一條穿過原點的直線。
• \(\text{斜率（Gradient）} = \frac{\rho}{A}\)
• 計算電阻率：\(\rho = \text{斜率} \times A\)

電阻率計算的常見陷阱

• 直徑對比半徑： 計算 \(A = \pi r^2\) 前，切記要先將直徑除以 2 求出半徑。
• 單位轉換： 螺旋測微器的讀數通常是毫米（\(\text{mm}\)）。在進行平方運算前必須先轉換為米（\(\text{m}\)）！（\(1\text{ mm} = 1 \times 10^{-3}\text{ m}\)，因此 \(1\text{ mm}^2 = 1 \times 10^{-6}\text{ m}^2\)）。

5. 電路定律：基爾霍夫定律（Kirchhoff's Laws）

基爾霍夫第一定律（電荷守恆）

定義： 流入任何節點的總電流等於流出該節點的總電流。

\(\sum I_{\text{in}} = \sum I_{\text{out}}\)

物理原理： 此定律是電荷守恆（conservation of charge）的直接體現。電荷不可能在節點中憑空產生或消失。

基爾霍夫第二定律（能量守恆）

定義： 在任何閉合迴路中，電動勢（e.m.f.）的總和等於各元件電勢差的總和。

\(\sum \varepsilon = \sum V\)

物理原理： 此定律是能量守恆（conservation of energy）的直接體現。電源所提供的總電能必須等於迴路中各元件所轉化的總能量。

電阻組合計算

利用基爾霍夫定律，我們可以推導出電阻串聯與並聯的計算公式：

• 串聯電阻（Resistors in Series）： 流經每個電阻的電流相同，總電勢差為各個電阻電勢差之和。

\(R_{\text{total}} = R_1 + R_2 + R_3 + \dots\)

• 並聯電阻（Resistors in Parallel）： 各支路兩端的電勢差相同，總電流為各支路電流之和。

\(\frac{1}{R_{\text{total}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \dots\)

6. 分壓器（Potential Dividers）

什麼是分壓器？

分壓器（Potential divider）是由兩個或多個串聯電阻組成的簡單電路，能將輸入電壓「按比例分割」，輸出所需大小的電壓。

電阻 \(R_2\) 兩端的輸出電壓公式為：

\(V_{\text{out}} = \left(\frac{R_2}{R_1 + R_2}\right) \times V_{\text{in}}\)

生動比喻：分薄餅

比喻： 把輸入電壓 \(V_{\text{in}}\) 想像成由兩個人分的一塊薄餅。胃口較大的人（電阻較大者）會分到更多份額（\(V_{\text{out}}\)）。如果 \(R_2\) 遠大於 \(R_1\)，\(R_2\) 幾乎會分得全部的電壓！

應用分壓器的感應電路

將其中一個定值電阻替換為傳感器（例如 NTC 熱敏電阻），即可製成能自動響應環境變化的電路：

• 溫度感應器： 當環境溫度下降時，NTC 熱敏電阻的電阻值會上升。若熱敏電阻置於 \(R_2\) 的位置，其電阻增大會導致其兩端的 \(V_{\text{out}}\) 升高，進而觸發暖氣系統啟動。

7. 內阻與核心實驗 3（Core Practical 3）

什麼是內阻（Internal Resistance）？

現實中的電源（例如化學電池）並非完美無瑕。電池內部的化學物質和材料本身都會對電荷流動產生阻力，這就是內阻（Internal resistance，\(r\)）。

核心公式

當電流 \(I\) 流過電池時，部分能量會在電池內部轉化為熱能。在電池內部損失的電壓稱為內耗電壓（lost volts，\(Ir\)）。

可供外部電路使用的電壓則稱為端電勢差（Terminal potential difference，\(V\)）。

\(\varepsilon = I(R + r)\)

整理公式後可得：

\(V = \varepsilon - Ir\)

其中：
• \(\varepsilon\) = 電池的電動勢（\(\text{V}\)）
• \(V\) = 外接負載兩端的端電勢差（\(\text{V}\)）
• \(I\) = 流經電路的電流（\(\text{A}\)）
• \(R\) = 外接負載電阻（\(\Omega\))
• \(r\) = 電池內阻（\(\Omega\))

注意： 當沒有電流流過時（\(I = 0\)），內耗電壓為零（\(Ir = 0\)），此時 \(V = \varepsilon\)。因此，使用高內阻伏特計直接接在斷路的電池兩端，便能直接量度出電動勢。

核心實驗 3：測定電動勢與內阻

實驗目標： 測定電池的電動勢 \(\varepsilon\) 與內阻 \(r\)。

實驗步驟：
1. 將電池、開關、安培計和可變電阻器串聯起來。
2. 將伏特計直接並聯在電池兩端，以測量端電勢差（\(V\)）。
3. 調節可變電阻器的阻值，記錄多組不同的電流（\(I\)）與端電勢差（\(V\)）讀數。
4. 每次讀數後應立即斷開開關，防止電池過度放電或發熱（發熱會改變內阻 \(r\) 的數值）。

\(V = \varepsilon - Ir\) 的圖表分析

將公式對照直線方程 \(y = mx + c\)：

\(V = -rI + \varepsilon\)

• y 軸： 端電勢差（\(V\)）
• x 軸： 電流（\(I\)）
• y 軸截距（y-intercept）： 電動勢（\(\varepsilon\)）
• 斜率（Gradient）： 負內阻值（\(\text{斜率} = -r\)）

考官貼士：內阻圖表的常見陷阱

• 很多考生常忘記圖表的斜率是負數。由於 \(\text{斜率} = -r\)，內阻值實際上是斜率的絕對值：\(r = -\text{斜率}\)。
• 另一個常見陷阱是沒有留意 x 軸是否由 0 開始。如果圖表的橫軸起點不是 \(I = 0\)，你便不能直接從縱軸讀取 \(\varepsilon\) 的數值，而必須利用直線方程 \(y = mx + c\) 進行計算！

本章總結與應試清單（Exam Checklist）

在開始下一章之前，請確保自己已經完全掌握以下各項：

1. 準確寫出電流（\(I = \frac{\Delta Q}{\Delta t}\)）、電勢差（\(V = \frac{W}{Q}\)）及電動勢的定義與單位。
2. 熟練運用傳導方程式（\(I = nqvA\)），並緊記載流子的漂移速率其實極為緩慢。
3. 繪畫並解釋定值電阻器、鎢絲燈泡、二極管和 NTC 熱敏電阻的 \(I\text{-}V\) 特性圖。
4. 能利用 \(R = \frac{\rho l}{A}\) 計算電阻率，並能清晰闡述核心實驗 2 的步驟與原理。
5. 熟記基爾霍夫第一定律（電荷守恆）及第二定律（能量守恆）。
6. 熟練計算串聯與並聯電阻網絡，以及分壓器電路（\(V_{\text{out}} = \frac{R_2}{R_1 + R_2} V_{\text{in}}\)）。
7. 掌握核心實驗 3 的細節，並能從 \(V\text{-}I\) 圖表求出 \(\varepsilon\)（y 軸截距）及 \(r\)（\(-\text{斜率}\)）。
8. 計算題的最終答案必須保持正確及一致的有效數字（通常為 2 或 3 位有效數字，2 or 3 s.f.）。