欢迎来到主题 2：数据表示！
你有没有想过，电脑是如何分辨高清电影、文字信息和电子游戏的呢？其实，电脑的核心只是一堆微小的开关，状态非 ON 即 OFF。在本章中，我们将学习电脑如何利用这些简单的开关（二进制）来表示数字世界中的一切。如果刚开始觉得涉及很多数学运算，别担心——一旦你掌握了其中的规律，这就像学会了一种秘密代码一样！
2.1 二进制的威力
什么是二进制？
电脑使用二进制 (binary)，因为它们由类似开关的晶体管组成。我们将“OFF”表示为 0，将“ON”表示为 1。这些单个的 0 和 1 被称为位 (bits)（是 Binary Digits 的缩写）。
你知道吗？ 一个位是电脑能存储的最小数据单位。它就像你家里的一个电灯开关！
状态数量
如果你有特定数量的位，你能表示多少种不同的事物呢？有一个简单的公式：\( 2^n \)，其中 \( n \) 是位的数量。
例如： 如果你有 3 个位，你可以表示 \( 2^3 = 8 \) 种不同的状态（000、001、010、011、100、101、110、111）。
无符号整数与有符号整数
电脑需要存储正数和负数：
1. 无符号整数 (Unsigned Integers)： 仅包含正数（0 及以上）。
2. 补码 (Two’s Complement)（有符号整数）： 这是一种同时表示正数和负数的方法。最高有效位 (most significant bit)（最左边的那一位）代表负值。
快速复习： 在 8 位的补码中，最左边的位代表 \( -128 \) 而不是 \( +128 \)。这让我们可以在 8 位内存储从 \( -128 \) 到 \( +127 \) 的数字。
二进制加法
二进制加法与普通加法一样，但当数值达到 2 时就需要进位！
- \( 0 + 0 = 0 \)
- \( 0 + 1 = 1 \)
- \( 1 + 1 = 0 \)（进位 1）
- \( 1 + 1 + 1 = 1 \)（进位 1）
常见错误： 忽略了溢出 (Overflow)。如果你将两个 8 位的数字相加，而结果需要 9 位才能表示，电脑可能会忽略多出来的那一位。这就是溢出错误 (overflow error)，可能会导致程序崩溃或给出错误答案！
位移
将位向左或向右移位是一种快速乘法或除法的方法。
- 逻辑左移 (Logical Shift Left)： 将位向左移动，右边补 0。移动 1 位相当于将数字乘以 2。
- 逻辑右移 (Logical Shift Right)： 将位向右移动。移动 1 位相当于将数字除以 2（舍弃任何余数）。
- 算术移位 (Arithmetic Shift)： 用于有符号数，以保持符号位不变。
十六进制 (Hexadecimal / Hex)
十六进制是一种基数为 16 的系统。它使用 0-9 以及 A、B、C、D、E、F 来代表 10-15 的值。
为什么要用它？ 与长串的二进制相比，人类阅读和记忆十六进制要容易得多。一个十六进制数字正好代表 4 个位（一个半字节 nibble）。
重点提示： 二进制是给电脑看的；十六进制则是人类为了更容易理解二进制而使用的“速记法”。
2.2 表示文字、图像和声音
文字：ASCII
为了存储文字，电脑会给每个字符分配一个唯一的数字。7 位 ASCII 是一种标准代码，可以表示 128 种不同的字符（包括大写字母、小写字母、数字和符号）。
例如： 在 ASCII 中，字母 'A' 由十进制数字 65 表示。
图像：位图 (Bitmaps)
数字图像由称为像素 (pixels)（图像元素）的微小点组成。
- 分辨率 (Resolution)： 图像中的像素数量（例如，宽度 x 高度）。
- 色彩深度 (Colour Depth)： 每个像素所使用的位数。每个像素的位数越多，颜色就越丰富！
公式： \( \text{总颜色数} = 2^{\text{色彩深度}} \)
声音：模拟转数字
声音本质上是模拟 (analogue) 波。为了存储声音，电脑会定期对声波进行“快照”。这称为采样 (sampling)。
- 采样率 (Sample Rate)： 每秒进行采样的次数（以赫兹 Hz 为单位）。
- 位深度 (Bit Depth)： 用于记录每次采样时声波振幅 (amplitude)（高度）的位数。
- 采样间隔 (Sample Interval)： 每次采样之间的时间间隙。
类比： 想象一张山的数码照片。“分辨率”就像相机的像素，而声音的“采样率”就像视频的每秒帧数 (FPS)。数值越高通常质量越好，但产生的文件也越大！
重点提示： 将现实世界的数据（图像/声音）转换为二进制，总是在质量和文件大小之间进行权衡。
2.3 数据存储与压缩
测量数据
你需要了解这些单位！在计算机科学中，我们使用二进制倍数（基于 1024）：
- 位 (Bit)： 1 或 0
- 半字节 (Nibble)： 4 个位
- 字节 (Byte)： 8 个位
- 千位字节 (Kibibyte, KiB)： 1024 个字节
- 兆位字节 (Mebibyte, MiB)： 1024 KiB
- 吉位字节 (Gibibyte, GiB)： 1024 MiB
- 太位字节 (Tebibyte, TiB)： 1024 GiB
记忆口诀： Killy Might Get Tired (Kibi, Mebi, Gibi, Tebi)。
数据压缩
压缩可以缩小文件，从而占用更少的存储空间，并在互联网上传输得更快。
1. 有损压缩 (Lossy Compression)
这会永久删除部分数据以缩小文件大小。你会损失一些质量，但通常人类无法察觉（例如 JPEG 图像或 MP3 歌曲）。
警告： 一旦数据被删除，就无法还原原始数据了！
2. 无损压缩 (Lossless Compression)
这可以在不丢失任何信息的情况下缩小文件。它通过寻找数据中的规律来进行更高效的存储。
例如： 如果一个文件中在 100 个连续的 "A"，与其写成 "AAAA..."，不如写成 "100xA"。这对于文本文件或程序代码非常有用，因为每一个字符都很重要。
重点提示： 多媒体（照片/音乐）使用有损压缩以节省大量空间。对于文件和代码，请使用无损压缩，因为你不能承受丢失任何一个位！
最终快速复习
二进制： 基数为 2 (0, 1)。
十六进制： 基数为 16 (0-F)。
字符集： 字符及其对应的二进制代码列表 (ASCII)。
位图： 由像素组成的图像。
采样： 将模拟声音转换为数字信号。
压缩： 缩小文件大小（有损 = 数据丢失，无损 = 无数据丢失）。
如果刚开始觉得有点复杂，别担心！多练习将小数字在二进制和十进制之间转换，其余的内容很快就会融会贯通。你一定做得到！