Measures of dispersion

欢迎来到数据离散程度的世界！

在之前的课堂中，我们学习了“平均值”（集中趋势的度量）。但平均值只能反映部分事实。试想象有两个城市，平均气温皆为 20°C。在城市 A，每天气温都是 20°C；但在城市 B，下午气温高达 40°C，夜晚却跌至 0°C！虽然它们的平均值相同，但实际感受却截然不同。

这就是我们需要离散程度的度量（Measures of Dispersion）的原因。它们能告诉我们数据有多么“分散”或“稳定”。让我们深入探讨吧！

1. 全距（Range）：最简单的度量

全距是一组数据中最大值与最小值之间的差额。它能让我们快速了解数据的整体分布范围。

计算方法：
\( \text{Range} = \text{Highest Value} - \text{Lowest Value} \)

例子：如果一位学生的考试分数分别是 55、60、72 和 90，那么全距就是 \( 90 - 55 = 35 \)。

常见错误：学生经常会写出两个数字作为全距（例如：“全距是 55 至 90”）。在统计学中，全距必须是一个单一数字（即两者的差额）！

重点总结：全距越大，代表数据分布越分散；全距越小，代表数据越稳定。

2. 四分位数与四分位距（IQR）

有时全距会误导我们，因为一个极高或极低的数值（离群值）会令全距看起来比实际情况大得多。为了修正这个问题，我们会观察位于中间的 50% 数据。

什么是四分位数？

如果你将数据平均分成四等份，这些分界线就称为四分位数：
• 下四分位数（\(Q_1\)）：位于数据 25% 位置的数值。
• 中位数（\(Q_2\)）：位于数据中间（50%）位置的数值。
• 上四分位数（\(Q_3\)）：位于数据 75% 位置的数值。

四分位距（Interquartile Range, IQR）

IQR 用于衡量中间 50% 数据的离散程度。它的优点在于不受离群值的影响。

公式：
\( \text{IQR} = Q_3 - Q_1 \)

计算 IQR 的步骤：

1. 将数据由小到大排列。
2. 找出中位数（\(Q_2\)）。
3. 在数据的下半部分找出中间值，即为下四分位数（\(Q_1\)）。
4. 在数据的上半部分找出中间值，即为上四分位数（\(Q_3\)）。
5. 用 \(Q_3\) 减去 \(Q_1\)。

如果中位数落在两个数字之间也不用担心！只需计算这两个数字的平均值即可，就像你在“平均值”章节学到的一样。

3. 百分位数与十分位数（高阶试卷适用）

如果四分位数将数据分成 4 等份，那么百分位数（Percentiles）就是将数据分成 100 等份，而十分位数（Deciles）则分成 10 等份。

• 百分位距（Interpercentile Range）：两个特定百分位数之间的差额（例如：第 10 百分位数至第 90 百分位数之间的距离）。
• 十分位距（Interdecile Range）：两个十分位数之间的差额（通常指第 1 十分位数与第 9 十分位数）。

为什么要用这些？它们比 IQR 更精确。它们能帮助我们观察离散程度，同时剔除数据两端的极端值。

4. 离群值（Outliers）：数据中的“叛逆分子”

离群值是指远高于或远低于其余数据的数值。你或许能透过肉眼观察（检视法）发现它们，但在考试中，你可能需要透过计算来找出它们。

如何计算离群值的边界（高阶试卷适用）

若数值符合以下条件，通常视为离群值：
• 小于： \( Q_1 - (1.5 \times \text{IQR}) \)
• 大于： \( Q_3 + (1.5 \times \text{IQR}) \)
• 或者： 超出平均值 3 个标准差的范围（\( \mu \pm 3\sigma \)）。

发现离群值后该怎么办？

当你找到离群值时，应检查它属于哪种情况：
1. 输入错误： 例如将学生的年龄“15”误输入为“150”。这些数据应该被修正或移除。
2. 真正异常的数值： 例如在一般办公室职位的薪金清单中出现职业运动员的薪酬。这些数据应予以保留并注明，因为它们会影响平均值和全距。

5. 标准差（Standard Deviation，高阶试卷适用）

标准差是衡量离散程度最精密的指标。它告诉我们每个数据点距离平均值的“平均距离”。

• 标准差较小：数据点非常接近平均值（非常稳定）。
• 标准差较大：数据点距离平均值较远（不稳定）。

公式

公式看起来很可怕，但考试时会提供给你！你只需要知道如何运用在数据列表或次数分布表中：

\( \sigma = \sqrt{\frac{\sum f(x - \bar{x})^2}{\sum f}} \) 或 \( \sigma = \sqrt{\frac{\sum fx^2}{\sum f} - (\frac{\sum fx}{\sum f})^2} \)

记忆小贴士：你可以将标准差想象成“离散程度的平均值”。

6. 标准分数（Standardised Scores，高阶试卷适用）

你有没有想过如何比较数学难题与英文简单测验的表现？你不能只比较分数，你需要的是标准分数（Standardised Scores）（也称为 Z-score）。

标准分数代表一个数值与平均值相差多少个标准差。

公式：
\( \text{Standardised Score} = \frac{x - \mu}{\sigma} \)

其中 \(x\) 是你的分数，\(\mu\) 是平均值，\(\sigma\) 是标准差。正数代表你的表现高于平均，负数代表你的表现低于平均。

7. 比较数据集

在考试中，你经常会被要求比较两组数据（例如：“比较 A 班与 B 班的分数”）。要准确做到这一点，你必须遵守以下规则：

比较的黄金法则：正确的离散程度度量必须配搭正确的平均值度量！

1. 如果你使用中位数（Median），就必须使用四分位距（IQR）来描述离散程度。
2. 如果你使用平均值（Mean），就必须使用标准差（Standard Deviation）（或全距）来描述离散程度。

答案范例：“A 班的中位数分数（65%）比 B 班（58%）高，显示他们的平均表现较好。然而，A 班的 IQR（20%）比 B 班（10%）大，意味着 A 班的分数分布较广，稳定性较低。”

重点复习箱

全距（Range）：最大值 - 最小值（最简单，受离群值影响）。
四分位距（IQR）：\(Q_3 - Q_1\)（中间 50% 的数据，不受离群值影响）。
标准差（Standard Deviation）：距离平均值的平均距离（最准确）。
离群值（Outlier）：数值与四分位数距离超过 \(1.5 \times \text{IQR}\)。
标准分数（Standardised Score）：用于公平地比较不同的数据集。