Vectors and transformation geometry

学习笔记：向量与几何变换

欢迎来到向量与几何变换的奇妙世界！如果刚接触这一章觉得有点棘手，请不要担心；这一章的核心在于运动、位置和方向——这些都是你每天都在使用的概念。通过理解向量和变换，你将能够精确地描述物体是如何移动和改变形状的。让我们开始吧！

1. 理解向量：数学中的GPS

向量 (Vector) 本质上是一条告诉你要从一点移动到另一点的指令。它包含两个核心要素：

• 模 (Magnitude)： 移动的幅度（距离）。
• 方向 (Direction)： 移动的方向。

类比：如果你告诉朋友向东走3米，这就是一个向量！

1.1 向量的表示法（列向量）

在坐标系中，我们通常使用列向量 (Column Vector) 表示法。它展示了物体在x方向（水平）和y方向（垂直）上的移动。

向量 \(\mathbf{a}\) 表示向右移动3个单位，向上移动4个单位，记作：

\(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\)

• 上方数字是x方向的位移（正数为右，负数为左）。
• 下方数字是y方向的位移（正数为上，负数为下）。

关键术语：位移向量 (Displacement Vector)
如果点A的坐标为 \((x_1, y_1)\)，点B的坐标为 \((x_2, y_2)\)，则向量 \(\vec{AB}\)（从A到B的位移）可以通过坐标相减求得：

\(\vec{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a} = \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \end{pmatrix}\)

1.2 向量运算

处理向量就像处理坐标一样——你只需要分别对每一个分量进行运算！

向量的加法与减法

如果 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\) 且 \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$：

\n

加法： 分别将x分量和y分量相加。

\n

\n \(\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + (-1) \\ 5 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \end{pmatrix}\)

减法： 分别将x分量和y分量相减。

\(\mathbf{a} - \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - (-1) \\ 5 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\)

标量乘法

将向量乘以一个数（称为标量 (Scalar)）会改变其长度，但不会改变方向（除非标量为负，这会使方向反转）。

如果 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\)，那么 \(3\mathbf{a}\) 表示将两个分量都乘以3：

\(3\mathbf{a} = 3 \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \times 2 \\ 3 \times 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 15 \end{pmatrix}\)

平行向量： 如果一个向量是另一个向量的标量倍数，则这两个向量平行。例如，\(\mathbf{p} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}\) 和 \(\mathbf{q} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) 是平行的，因为 \(\mathbf{p} = 2\mathbf{q}\)。

1.3 求向量的模（长度）

向量的模（或长度）使用勾股定理计算，因为向量的分量构成了一个直角三角形！

对于向量 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)，其模（记作 \(|\mathbf{a}|\)）为：

\(|\mathbf{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\)

例子：求 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\) 的模

\(|\mathbf{a}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

2. 几何变换：改变位置与形状

变换 (Transformation) 将形状上的点（原像，Object）映射到新点（像，Image）。我们重点研究四种关键类型：

2.1 平移 (Translation)

平移是一种简单的位移，每个点都在同一方向上移动相同的距离。平移完全由一个向量描述。

如果点 P \((x, y)\) 经过向量 \(\mathbf{t} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) 平移，得到的新点 P' 为：

\(P' = (x + a, y + b)\)

例子：将点 (2, 5) 沿向量 \(\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}\) 平移

\(新点 = (2 + (-3), 5 + 1) = (-1, 6)\)

2.2 反射 (Reflection)

反射即沿反射轴（就像镜子一样）翻转图形。

标准反射轴的关键规则：

• 关于x轴 (\(y=0\)) 反射： \((x, y) \to (x, -y)\)
• 关于y轴 (\(x=0\)) 反射： \((x, y) \to (-x, y)\)
• 关于直线 \(y=x\) 反射： \((x, y) \to (y, x)\)（坐标互换）
• 关于直线 \(y=-x\) 反射： \((x, y) \to (-y, -x)\)（互换并取相反数）

常见错误提示： 同学们常混淆关于x轴反射（改变y符号）和关于y轴反射（改变x符号）。请记住：“关于x轴翻转，就是改变y值的符号。”

2.3 旋转 (Rotation)

旋转是指绕着固定点——旋转中心 (Centre of rotation)——按特定的角度和方向（顺时针CW或逆时针ACW）转动图形。

描述旋转的要素：

1. 旋转中心（通常是原点(0, 0)）。
2. 角度（例如 90°, 180°, 270°）。
3. 方向（顺时针或逆时针）。

旋转小贴士： 使用描图纸！将其放在图形上方，用铅笔按住旋转中心，按要求的角度和方向旋转纸张，即可标记出新位置。

2.4 放大 (Enlargement)

放大是指以固定的放大中心 (Centre of enlargement) 为基准，通过乘以比例因子 (Scale factor, \(k\)) 来改变图形的大小。

描述放大的要素：

1. 中心点 (C)。
2. 比例因子 (\(k\))。

比例因子规则：

• 如果 \(k > 1\)，像比原像大（放大）。
• 如果 \(0 < k < 1\)，像比原像小（缩小）。
• 如果 \(k = 1\)，图形大小不变（恒等变换）。
• 如果 \(k\) 是负数（例如 \(k=-2\)），图形会放大并绕中心点翻转到另一侧。

放大绘图步骤（中心不在原点时）：
设 C 为中心，P 为原像上的点。

1. 求出向量 \(\vec{CP}\)（从 C 到 P 的位移）。
2. 将向量乘以比例因子 \(k\)：\(k \times \vec{CP}\)。
3. 从 C 开始，应用新的向量 \(k \times \vec{CP}\) 来确定像点 P'。

你知道吗？只有放大这种变换会改变图形的面积。如果比例因子为 \(k\)，则面积比例因子为 \(k^2\)！

3. 矩阵变换（形式化方法）

在Specification B中，你必须理解如何利用 \(2 \times 2\) 矩阵进行变换。这是定义移动（特别是绕原点的旋转和反射）最精确的数学方式。

3.1 矩阵变换的基础

矩阵变换是将点 \((x, y)\)（写为列向量 \(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)）乘以一个 \(2 \times 2\) 变换矩阵 \(\mathbf{M}\)，从而得到新点 \((x', y')\)。

\(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\)

如何计算：

\(x' = (a \times x) + (b \times y)\)
\(y' = (c \times x) + (d \times y)\)

经验法则： 行乘以列 (Row times Column)。

3.2 关键变换矩阵（绕原点）

这些矩阵非常基础，你应该记住它们，或者能够通过观察点 (1, 0) 和 (0, 1) 在变换后的落点来推导它们。

变换类型	矩阵 \(\mathbf{M}\)
恒等变换（无变化）	\(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
关于x轴反射 (\(y=0\))	\(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)
关于y轴反射 (\(x=0\))	\(\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
逆时针旋转 90°	\(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)
旋转 180°	\(\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)
放大，比例因子 \(k\)	\(\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}\)

练习步骤： 取逆时针90°旋转矩阵，乘以点 (5, 2)，你应该得到 (-2, 5)。如果你能想象出这个旋转过程，说明你理解了矩阵的作用！

3.3 使用矩阵求面积比例因子

如果变换由矩阵 \(\mathbf{M} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) 表示，则像与原像的面积比由矩阵的行列式 (Determinant) 给出。

矩阵 \(\mathbf{M}\) 的行列式（记作 \(|\mathbf{M}|\)） \( = ad - bc\)

像的面积 = 原像的面积 \(\times\) \(|\mathbf{M}|\)

注：面积缩放使用行列式的绝对值，因为面积必须为正。

4. 复合变换

有时一个图形会经历一系列变换，例如先反射再旋转，这被称为复合变换 (Combined transformation)。

4.1 顺序的重要性

变换的先后顺序至关重要！先反射后旋转的结果，与先旋转后反射的结果是不同的。

如果变换 \(T_1\) 之后跟着变换 \(T_2\)，我们记作 \(T_2 T_1\)。这意味着你必须先执行 \(T_1\)。

4.2 复合矩阵乘法

如果变换 \(T_1\) 由矩阵 \(\mathbf{M}_1\) 表示，\(T_2\) 由矩阵 \(\mathbf{M}_2\) 表示，代表复合变换 \(T_2 T_1\) 的单一矩阵 \(\mathbf{R}\) 可通过将矩阵按运算的相反顺序相乘得到：

\(\mathbf{R} = \mathbf{M}_2 \mathbf{M}_1\)

矩阵复合步骤：

1. 确定第一次变换的矩阵 (\(\mathbf{M}_1\))。
2. 确定第二次变换的矩阵 (\(\mathbf{M}_2\))。
3. 将第二个矩阵乘以第一个矩阵：\(\mathbf{R} = \mathbf{M}_2 \mathbf{M}_1\)。
4. 使用所得的矩阵 \(\mathbf{R}\) 求任意点的最终像。

记忆窍门： 在组合矩阵时，它们按靠近作用点的顺序排列。由于矩阵乘法是从右向左计算的，所以离点最近的矩阵就是先执行的那个！

4.3 逆变换

逆变换 (Inverse transformation) \(T^{-1}\) 可以抵消原始变换 \(T\) 的效果。例如，如果 T 是逆时针90°旋转，则 \(T^{-1}\) 是顺时针90°旋转。

对于矩阵 \(\mathbf{M} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)，其逆矩阵 \(\mathbf{M}^{-1}\) 为：

\(\mathbf{M}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)

（其中 \(ad - bc\) 即行列式）。

不用担心计算逆矩阵看起来很复杂——只要仔细按照公式步骤来即可！关键是先求行列式，然后交换 \(a\) 和 \(d\)，并将 \(b\) 和 \(c\) 变号。