欢迎来到 FP3 微分世界！掌握新函数
你好，未来的数学家！欢迎来到高等纯数学 3 (FP3) 的微分章节。别紧张！我们只是在巩固你在 P3 中已经掌握的强大技巧（如链式法则、乘积法则、隐函数求导）。
在本章中，我们将通过学习两类新函数的微分，极大程度地丰富你的工具箱：
1. 反三角函数 (如 \(\arcsin x\))。
2. 双曲函数及其反函数 (如 \(\cosh x\) 和 \(\operatorname{arsinh} x\))。
熟练掌握这些技巧至关重要，因为这些导数公式是后续许多复杂积分、级数展开和微分方程章节的基础。让我们开始吧！
第 1 节：微分工具箱复习（基础回顾）
在处理新函数之前，我们先简要复习一下你最需要、最常用的法则：链式法则 (Chain Rule)。
复习：链式法则
当你需要对一个“复合函数”进行求导时，就要用到链式法则。如果 \(y = f(u)\) 且 \(u = g(x)\)，那么：
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} $$
示例： 如果 \(y = \cosh(3x^2)\)，我们设 \(u = 3x^2\)。那么 \(\frac{dy}{du} = \sinh u\)，\(\frac{du}{dx} = 6x\)。
因此，\(\frac{dy}{dx} = (\sinh(3x^2)) \times (6x) = 6x \sinh(3x^2)\)。 (我们很快会详细讲 \(\cosh\) 的微分，但方法是一样的！)
快速复习框：预备知识
请确保你熟练掌握以下内容的求导：
- 标准函数 (\(x^n, e^{kx}, \ln x\))
- 三角函数 (\(\sin, \cos, \tan\))
- 链式法则、乘积法则和商法则
第 2 节：反三角函数的微分
反三角函数 (\(\arcsin x\), \(\arccos x\), \(\arctan x\)) 回答的问题是：“什么样的角度对应这个比值？”
在 FP3 中，我们不仅仅是使用这些函数，还要利用隐函数求导和你在 P3 中学过的标准恒等式来推导它们的导数。
2.1：推导 \(y = \arcsin x\) 的导数
不用担心是否需要背诵推导过程，但理解每一步有助于巩固结果！
- 从 \(y = \arcsin x\) 开始，这意味着 \(x = \sin y\)。
- 对 \(x\) 进行隐函数求导： $$ \frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(\sin y) $$ $$ 1 = (\cos y) \frac{dy}{dx} $$
- 整理得 \(\frac{dy}{dx}\)： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y} $$
- 利用 P3 恒等式 \(\sin^2 y + \cos^2 y = 1\)，即 \(\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y}\)。
- 因为 \(x = \sin y\)，代入 \(x\) 得： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$
2.2：标准导数公式（记下来！）
这些是必须直接运用的核心公式。注意它们之间美妙的相似性！
反三角函数导数表
若 \(|x| < 1\):
- $$ \frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$
- $$ \frac{d}{dx}(\arccos x) = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$
对于所有实数 \(x\):
- $$ \frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2} $$
🧠 记忆技巧：“Co”函数
就像在标准导数中一样 (\(\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\))，任何以“co”开头的反函数（如 \(\arccos x\)）的导数结果都会带有负号。
2.3：对反三角函数应用链式法则
如果反三角函数内部是一个关于 \(x\) 的函数，就需要使用链式法则。
示例： 求 \(y = \arcsin(4x^3)\) 的 \(\frac{dy}{dx}\)。
- 识别外层函数：\(\arcsin u\)。内层函数为 \(u = 4x^3\)。
- 对内层函数求导：\(\frac{du}{dx} = 12x^2\)。
- 对外层函数关于 \(u\) 求导（使用标准公式）：\(\frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}\)。
- 结合： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (4x^3)^2}} \times (12x^2) = \frac{12x^2}{\sqrt{1 - 16x^6}} $$
第 3 节：双曲函数的微分
双曲函数 (\(\sinh x\), \(\cosh x\), \(\tanh x\)) 基于指数函数 \(e^x\)。它们的行为与三角函数类似，但在导数上存在关键区别。
3.1：双曲函数的标准导数
记住定义：\(\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}\) 和 \(\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\)。你可以轻松推导它们的导数：
$$ \frac{d}{dx}(\sinh x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right) = \frac{e^x - (-e^{-x})}{2} = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x $$
双曲导数（注意符号全是正的！）
- $$ \frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x $$
- $$ \frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x $$
- $$ \frac{d}{dx}(\tanh x) = \operatorname{sech}^2 x $$
重点提示： 注意，与三角函数不同，对 \(\cosh x\) 求导不会产生负号！ 这是学生最常犯错的地方，请务必小心。
🚫 常见错误预警！
千万不要在 \(\frac{d}{dx}(\cosh x)\) 的结果前加负号！
三角函数：\(\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\)
双曲函数：\(\frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x\) （正号！）
3.2：双曲函数倒数的微分
你还应该了解其他双曲函数的导数：
- $$ \frac{d}{dx}(\operatorname{cosech} x) = -\operatorname{cosech} x \coth x $$
- $$ \frac{d}{dx}(\operatorname{sech} x) = -\operatorname{sech} x \tanh x $$
- $$ \frac{d}{dx}(\coth x) = -\operatorname{cosech}^2 x $$
第 4 节：反双曲函数的微分
这一节包含 FP3 中一些最复杂的标准公式。反双曲函数 (\(\operatorname{arsinh} x, \operatorname{arcosh} x, \operatorname{artanh} x\)) 可以用对数形式表示（在恒等式章节中已推导过）。我们利用这些对数形式来求导。
4.1：推导示例：\(y = \operatorname{arsinh} x\)
我们可以使用隐函数求导（像推导 \(\arcsin x\) 那样），也可以使用对数定义：
$$ y = \operatorname{arsinh} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) $$
利用链式法则对上式求导（处理 \(\ln\) 内部的括号时要非常小心）：
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\text{内部}} \times \frac{d}{dx}(\text{内部}) $$
经过化简（这需要对平方根项 \(\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 + 1})\) 求导），最终结果非常简洁：
4.2：标准反双曲导数公式（至关重要！）
这些结果必须背诵，因为它们在积分中也会被频繁使用。
反双曲函数导数表
对于所有实数 \(x\):
- $$ \frac{d}{dx}(\operatorname{arsinh} x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} $$
对于 \(x > 1\):
- $$ \frac{d}{dx}(\operatorname{arcosh} x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} $$
对于 \(|x| < 1\):
- $$ \frac{d}{dx}(\operatorname{artanh} x) = \frac{1}{1 - x^2} $$
🔑 如何区分 \(\arcsin x\) 和 \(\operatorname{arsinh} x\)
这是最容易混淆的地方。观察分母中的符号：
- 三角类 (\(\arcsin x\)): 含有 \(1 - x^2\) (数字减去变量)。
- 双曲类 (\(\operatorname{arsinh} x\)): 含有 \(x^2 + 1\) (变量加上数字)。
思考： \(\arcsin x\) 的导数对 \(x\) 有限制（必须小于 1），暗示了圆的闭合特性；而 \(\operatorname{arsinh} x\) 的导数定义在所有实数上，暗示了双曲线开放、无界的特征。
4.3：应用示例（反双曲函数的链式法则）
求 \(y = \operatorname{arcosh}(\sec x)\) 的 \(\frac{dy}{dx}\)。
- 识别 \(u = \sec x\)。\(\frac{du}{dx} = \sec x \tan x\)。
- 对 \(u\) 应用 \(\operatorname{arcosh}\) 公式： $$ \frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{u^2 - 1}} = \frac{1}{\sqrt{\sec^2 x - 1}} $$
- 利用恒等式 \(\tan^2 x + 1 = \sec^2 x\)，所以 \(\sec^2 x - 1 = \tan^2 x\)。 $$ \frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{\tan^2 x}} = \frac{1}{\tan x} $$
- 使用链式法则结合： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\tan x} \times (\sec x \tan x) $$
- 化简： $$ \frac{dy}{dx} = \sec x $$
重点总结与鼓励
你已经大大提升了你的微分技能！本章真正的难点不在于方法（通常都是链式法则），而在于对标准公式的准确记忆。
微分标准公式总结 (FP3)
| 函数 \(y\) | 导数 \(\frac{dy}{dx}\) | 备注 |
|---|---|---|
| \(\arcsin x\) | \(\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\) | 若是 \(\arccos x\) 则为负 |
| \(\arctan x\) | \(\frac{1}{1 + x^2}\) | 此处没有平方根！ |
| \(\sinh x\) | \(\cosh x\) | 正号！ |
| \(\cosh x\) | \(\sinh x\) | 依然是正号！ |
| \(\operatorname{arsinh} x\) | \(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\) | \(x^2 + 1\) (恒正，定义域广) |
| \(\operatorname{arcosh} x\) | \(\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\) | \(x^2 - 1\) (需 \(x > 1\)) |
| \(\operatorname{artanh} x\) | \(\frac{1}{1 - x^2}\) | 此处没有平方根！ |
熟能生巧。多做一些练习，特别是那些需要将链式法则与这些新公式结合使用的题目。你可以做到的！