欢迎来到线性规划（D1 决策数学）！
你好！线性规划听起来可能有些复杂，但它是决策数学中最实用、最直观的课题之一。简单来说，它是一种强大的工具，广泛应用于商业、制造业和物流领域，旨在帮助你在资源有限的情况下找到最佳方案（例如利润最大化或成本最小化）。
在本章中，我们将学习如何将现实世界的问题转化为一组数学不等式，并利用图像法求解。如果一开始觉得有点棘手，不用担心，我们会把解题步骤拆解得非常清晰！
第一部分：构建问题模型
线性规划的第一步，也是最关键的一步，就是将现实情境翻译成数学语言。每个线性规划问题都有三个主要组成部分：
1. 决策变量 (Decision Variables)
这些是你需要决定生产、购买或使用多少的项目。由于我们要通过图像法求解，通常会有两个变量，即 \(x\) 和 \(y\)。
- 令 \(x\) 代表第一种项目的数量（例如 A 型椅子的数量）。
- 令 \(y\) 代表第二种项目的数量（例如 B 型椅子的数量）。
小贴士： 由于你不可能生产负数的产品，所以必须始终包含非负约束条件：\(x \ge 0\) 且 \(y \ge 0\)。
2. 目标函数 (The Objective Function)
这是一个数学表达式，代表你想要最大化（如利润 \(P\)）或最小化（如成本 \(C\)）的数量。它始终是 \(x\) 和 \(y\) 的线性函数。
例子：如果 A 型椅子产生 £50 的利润，B 型椅子产生 £80 的利润，则目标函数（\(P\) 代表利润）为：
\[ P = 50x + 80y \]
目标： 我们要找到使 \(P\) 尽可能大（或尽可能小）的 \(x\) 和 \(y\) 值。
3. 约束条件 (The Constraints)
这些是资源（时间、材料、预算等）带来的限制。约束条件总是表示为线性不等式。
例子：如果制作 A 型椅子需要 2 小时工时，制作 B 型椅子需要 4 小时，而你总共有 100 小时可用：
\[ 2x + 4y \le 100 \]
理解不等号：
- \(\le\) (小于或等于)： 用于有限的资源（例如：最大产能、总可用时间）。
- \(\ge\) (大于或等于)： 用于最低要求（例如：至少生产 10 件，最低营养摄入量）。
重点回顾（第一部分）： 构建模型包括定义变量（\(x, y\)）、设定目标（目标函数）以及将规则（约束条件）写成不等式。别忘了 \(x \ge 0\) 和 \(y \ge 0\)！
第二部分：图像法求解
构建模型后，我们使用坐标图找出同时满足所有约束条件的点集，这块区域被称为可行域 (Feasible Region)。
1. 绘制约束条件（画出边界线）
要绘制一个不等式（例如 \(2x + 4y \le 100\)），首先将其视为等式 (\(2x + 4y = 100\)) 来绘制。
绘图步骤：
- 寻找截距：
- 令 \(x=0\) 求 y 轴截距。（若 \(x=0\)，则 \(4y=100\)，所以 \(y=25\)。点坐标：(0, 25)）
- 令 \(y=0\) 求 x 轴截距。（若 \(y=0\)，则 \(2x=100\)，所以 \(x=50\)。点坐标：(50, 0)）
- 在坐标轴上标记这两个点。
- 连接两点画出直线。
关于线条类型的说明： 由于我们的不等式都包含“或等于”（\(\le\) 或 \(\ge\)），因此我们要画实线。如果是不严格不等式（如 \(x + y < 10\)），则需要画虚线，但在 D1 考试中这种情况较少见。
2. 确定可行域 (R)
可行域 (R) 是满足所有约束条件的公共区域。我们使用“测试点”来判断哪一侧是“符合要求”的区域。
阴影约定（至关重要！）
在 Edexcel 决策数学中，标准习惯是涂掉不需要的区域 (UNWANTED region)。这样剩下的空白区域即为可行域 (R)。
测试与涂阴影的方法：
- 选择一个测试点，通常选择 \((0, 0)\)（除非直线穿过原点）。
- 将 \((0, 0)\) 代入不等式。
- 如果测试点满足不等式（即成立），说明 \((0, 0)\) 在“符合要求”的区域。因此，涂掉远离 \((0, 0)\) 的那一侧。
- 如果测试点不满足不等式（即不成立），说明 \((0, 0)\) 在“不需要”的区域。因此，直接涂掉包含 \((0, 0)\) 的那一侧。
- 对所有约束条件重复上述步骤，包括 \(x \ge 0\)（涂掉 y 轴左侧）和 \(y \ge 0\)（涂掉 x 轴下方）。
最终留下的空白区域就是可行域 (R)。
3. 找到最优解
线性规划的一个核心概念是：最优解（最大利润或最小成本）总是位于可行域 R 的某个顶点 (Vertex/Corner point) 上。
我们有两种主要方法来找到最优解：
方法 A：目标函数线法（直尺法）
这通常是最直观、最快捷的方法。
步骤 1：确定斜率。 看你的目标函数，例如 \(P = 50x + 80y\)。给 \(P\) 设定一个任意常数值（记作 \(K\)），得到目标直线方程：\(50x + 80y = K\)。
求斜率 \(m\)： \[ 80y = -50x + K \] \[ y = -\frac{50}{80}x + \frac{K}{80} \] \[ m = -\frac{5}{8} \]
步骤 2：画出目标线。 在可行域 R 附近画出这条直线。通常选择一个能让截距计算简单的 \(K\) 值最方便（例如，若 \(K=400\)，则 \(50x+80y=400\)，截距为 (8, 5)）。
步骤 3：平移直线。 用直尺保持斜率为 \(-\frac{5}{8}\) 平行移动该线，穿过可行域 R。
- 求最大值时： 从原点向外平移，直到它触碰到可行域 R 的最后一个点。
- 求最小值时： 向原点内侧平移，直到触碰到可行域 R 中最靠近原点的那个点（如果 \((0, 0)\) 可行，通常就是它）。
步骤 4：确定坐标。 这个最优角点处的 \((x, y)\) 坐标即为解。
方法 B：顶点测试法（角点代入法）
这种方法完全代数化，常用于验证通过图像法得到的结果。
步骤 1：找出所有顶点。 系统地识别可行域 R 的每一个角点坐标。如果某个顶点是两条约束直线的交点，则需要联立这两个方程求解出精确坐标。
步骤 2：代入目标函数。 将每个顶点的 \((x, y)\) 坐标代入目标函数（\(P\) 或 \(C\)）。
步骤 3：比较结果。 产生最高值的顶点即为最大化问题的解；产生最低值的顶点即为最小化问题的解。
例子：求精确顶点
假设最优解是两条直线的交点：
约束条件 1: \(x + 2y = 12\) (1)
约束条件 2: \(3x + y = 16\) (2)
我们联立求解：
将 (2) 式乘以 2: \(6x + 2y = 32\) (3)
用 (3) 减去 (1): \((6x - x) + (2y - 2y) = 32 - 12\)
\[ 5x = 20 \implies x = 4 \]
将 \(x=4\) 代入 (2): \(3(4) + y = 16 \implies 12 + y = 16 \implies y = 4\)
该顶点为 \((4, 4)\)。
重点回顾（第二部分）： 画出边界线，涂掉不需要的区域以找到 R，然后利用平移目标线法或顶点测试法找到最优解坐标。
第三部分：特殊情况与最终答案
1. 处理整数约束 (Integer Constraints)
在许多现实问题中（例如：你不能生产 3.4 辆汽车或雇佣 5.7 个人），变量 \(x\) 和 \(y\) 必须是整数。
如果你在第二部分算出的最优解是非整数（例如 \((4.5, 6.2)\)），千万不要简单地四舍五入，因为调整后的点可能已经跑出了可行域 R！
整数解法步骤：
- 确定非整数的最优顶点 \(V_{opt}\)（如 \((4.5, 6.2)\)）。
- 找到 \((4.5, 6.2)\) 附近且仍在可行域 R 内的整数点。（通常需要测试周围的四个整数点，例如 (4, 6), (5, 6), (4, 7), (5, 7) 等，剔除掉不在 R 内的点）。
- 将这些可行的整数点分别代入目标函数 \(P\) 中计算。
- 取最大值（求最大时）或最小值（求最小时）对应的整数点作为最终答案。
常见错误： 永远不要直接四舍五入！一定要检查调整后的点是否在可行域内并重新测试其函数值。
2. 平行最优线
有时，目标函数线的斜率恰好与某条边界线的斜率相同。
在这种情况下，最优解不是单个点，而是该条边界线段上的所有点。
例子：如果最大利润出现在连接顶点 A 和 B 的线段上，那么你应陈述：最大利润发生在 A、B 以及线段 AB 上的任意点。
3. 完整回答问题
最终答案不仅要写出最大值或最小值，还要明确实现该值的决策变量的具体数值。
例子：最大化 \(P = 50x + 80y\)，最优顶点为 \((4, 4)\)。
最终答案格式：
- 当生产 4 单位的 A 产品（\(x=4\)）和 4 单位的 B 产品（\(y=4\)）时，可获得最大利润。
- 最大利润为 \(P = 50(4) + 80(4) = 200 + 320 = 520\)。
快速复习：线性规划核对清单
- 构建模型： 定义 \(x\) 和 \(y\)，写出目标函数（\(P\) 或 \(C\)），列出所有约束条件（不等式）。
- 绘图： 准确画出边界线（利用截距）。
- 可行域 (R)： 涂掉“不需要”的区域，标出可行域 R。
- 最优解： 使用直尺法（根据目标线斜率）或代入所有顶点计算。
- 整数解： 若有要求，记得测试附近的可行整数点。
- 结论： 清晰陈述 \(x\)、\(y\) 的取值及对应的最大/最小值。
你知道吗？ 线性规划是在二战期间由军方开发的，旨在优化战争物资分配，这充分证明了它在物流领域极其强大的威力！