Hyperbolic functions

🚀 FP3 章节笔记：双曲函数（指数的“近亲”）

欢迎来到激动人心的双曲函数世界！别被这个名字吓到了——这些函数本质上只是指数函数 \(e^x\) 的巧妙组合。它们是标准三角函数（sin、cos、tan）的“近亲”，广泛出现在物理学和工程学中，特别是在描述悬挂电缆形成的曲线（悬链线）或阻力介质中的运动时。

在本章中，我们将掌握它们的定义，探索其独特的恒等式，并学习如何对它们进行微分和积分。让我们开始吧！

1. 双曲函数的定义

1.1 基于指数的定义

三个主要的双曲函数直接衍生自指数函数 \(e^x\)。定义如下：

• 双曲正弦 (sinh x)：
  \( \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \)
• 双曲余弦 (cosh x)：
  \( \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \)
• 双曲正切 (tanh x)：（定义为 \(\frac{\sinh x}{\cosh x}\)）
  \( \tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \)

⭐ 记忆小贴士：
观察“hyperbolic”中的 'h'。

Cosh 带有 **加号**（可以联想字母 C 代表 positive 正，或者类比余弦函数）。
Sinh 带有 **减号**（正弦函数通常与奇函数有关，且其公式使用了减法）。

1.2 图像与性质

理解函数图像是掌握其定义域和值域的关键。

i) Cosh x（悬链线）

• 定义域：\(x \in \mathbb{R}\)
• 值域：\(\cosh x \geq 1\)
• 形状：看起来类似于抛物线 (\(y=x^2\))，但底部更平缓。这种形状在物理上被称为 **悬链线**，即电缆或链条在两点之间自由悬挂时形成的曲线（例如电力线）。
• 对称性：它是 **偶函数** (\(\cosh(-x) = \cosh x\))。

ii) Sinh x

• 定义域：\(x \in \mathbb{R}\)
• 值域：\(\sinh x \in \mathbb{R}\)
• 形状：单调递增，通过原点 \((0, 0)\)。
• 对称性：它是 **奇函数** (\(\sinh(-x) = -\sinh x\))。

2. 基本双曲恒等式

2.1 核心恒等式（至关重要的区别）

在圆三角学中，核心恒等式是 \(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1\)。

对于双曲函数，符号发生了变化：

$$ \mathbf{\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1} $$

⚠️ 常见错误提醒： 学生经常误写为 \(\cosh^2 x + \sinh^2 x = 1\)。请记住，在双曲函数的世界里，减号是必须的！

你知道吗？这就是它们被称为“双曲”函数的原因！满足 \(x^2 - y^2 = 1\) 的点集定义了一条双曲线。

2.2 衍生恒等式

通过将核心恒等式 \(\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\) 分别除以 \(\cosh^2 x\) 或 \(\sinh^2 x\)，我们可以得到另外两个恒等式（类似于圆三角函数）：

i) 除以 \(\cosh^2 x\)： $$ 1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x $$ （其中 \(\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}\)）

ii) 除以 \(\sinh^2 x\)： $$ \coth^2 x - 1 = \operatorname{cosech}^2 x $$ （其中 \(\coth x = \frac{1}{\tanh x}\) 且 \(\operatorname{cosech} x = \frac{1}{\sinh x}\)）

2.3 倍角公式

sinh 和 cosh 的加法公式与圆三角函数非常相似，但要注意符号！

$$ \cosh(A+B) = \cosh A \cosh B + \sinh A \sinh B $$ $$ \sinh(A+B) = \sinh A \cosh B + \cosh A \sinh B $$

令 \(A=B=x\)，我们得到倍角恒等式：

• \(\cosh 2x\)（三种形式）： $$ \cosh 2x = \cosh^2 x + \sinh^2 x $$ $$ \cosh 2x = 2\cosh^2 x - 1 $$ $$ \cosh 2x = 1 + 2\sinh^2 x $$
• \(\sinh 2x\)： $$ \sinh 2x = 2 \sinh x \cosh x $$

记住：所有这些恒等式都使用第 1 节中的基本指数定义来证明。如果你在考试中卡住了，请回到定义！

3. 双曲函数的微分

双曲函数的微分通常比圆三角函数简单，因为你通常不需要担心负号的问题！

3.1 标准导数

这些结果是 FP3 的必考内容，可以使用指数定义进行证明。

• $$ \frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x $$
• $$ \frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x $$ （注意：这里 没有 负号，这与 \(\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\) 不同。这真让人松一口气！）
• $$ \frac{d}{dx}(\tanh x) = \operatorname{sech}^2 x $$
• $$ \frac{d}{dx}(\operatorname{coth} x) = -\operatorname{cosech}^2 x $$
• $$ \frac{d}{dx}(\operatorname{sech} x) = -\operatorname{sech} x \tanh x $$
• $$ \frac{d}{dx}(\operatorname{cosech} x) = -\operatorname{cosech} x \coth x $$

3.2 使用链式法则

就像在标准微积分中一样，如果是复合函数，请使用链式法则： $$ \frac{d}{dx} (f(g(x))) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$

例子：求 \(y = \cosh(3x^2 + 1)\) 的导数。

第 1 步：确定内部函数 \(g(x) = 3x^2 + 1\)，则 \(g'(x) = 6x\)。
第 2 步：对外部函数求导：\(\frac{d}{du}(\cosh u) = \sinh u\)。
第 3 步：结合： $$ \frac{dy}{dx} = \sinh(3x^2 + 1) \cdot (6x) = 6x \sinh(3x^2 + 1) $$

4. 反双曲函数（面积函数）

4.1 定义与符号

反双曲函数也被称为 面积函数（写作 arsinh, arcosh, artanh 等）。

如果 \(y = \sinh x\)，那么 \(x = \operatorname{arsinh} y\)。

这些函数是用自然对数 (\(\ln\)) 定义的。这些对数形式至关重要，因为它们被用于解方程和证明微分结果。

i) 反双曲正弦： $$ \operatorname{arsinh} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}), \quad x \in \mathbb{R} $$

ii) 反双曲余弦： $$ \operatorname{arcosh} x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1}), \quad x \geq 1 $$ 注意：由于 \(\cosh x \geq 1\)，\(\operatorname{arcosh} x\) 的定义域限制为 \(x \geq 1\)。

iii) 反双曲正切： $$ \operatorname{artanh} x = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right), \quad |x| < 1 $$ 注意：由于 \(\tanh x\) 的值严格在 -1 和 1 之间，\(\operatorname{artanh} x\) 的定义域限制为 \(-1 < x < 1\)。

4.2 使用对数形式解方程（分步示例）

如果需要解 \(\sinh x = 5\) 这样的方程，可以使用对数形式，或直接回到指数定义。

例子：解 \(\sinh x = 5\)。

方法 1：使用对数定义： $$ x = \operatorname{arsinh} 5 = \ln(5 + \sqrt{5^2 + 1}) $$ $$ x = \ln(5 + \sqrt{26}) $$

方法 2：使用指数定义（通常证明题需要此法）：
$$ \frac{e^x - e^{-x}}{2} = 5 $$ $$ e^x - e^{-x} = 10 $$ 两边乘以 \(e^x\) 并整理成关于 \(e^x\) 的二次方程。令 \(y = e^x\)： $$ y - \frac{1}{y} = 10 \implies y^2 - 1 = 10y $$ $$ y^2 - 10y - 1 = 0 $$ 利用二次求根公式，考虑到 \(y = e^x\) 必须为正： $$ e^x = 5 + \sqrt{25 - 4(1)(-1)} / 2 = 5 + \sqrt{26} $$ $$ x = \ln(5 + \sqrt{26}) $$

5. 反双曲函数的微分

反双曲函数的导数是必不可少的，因为它们定义了你在最后一节必须识别的标准积分形式。

5.1 标准微分结果

当你对对数形式（第 4.1 节）进行微分时，会得到这些简单的代数分式：

• $$ \frac{d}{dx}(\operatorname{arsinh} x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} $$
• $$ \frac{d}{dx}(\operatorname{arcosh} x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}, \quad x > 1 $$
• $$ \frac{d}{dx}(\operatorname{artanh} x) = \frac{1}{1 - x^2}, \quad |x| < 1 $$

5.2 证明简述（为什么它们如此简单？）

让我们来看看为什么 \(\frac{d}{dx}(\operatorname{arsinh} x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\)。
若 \(y = \operatorname{arsinh} x\)，则 \(x = \sinh y\)。
对 \(x\) 进行隐函数求导： $$ 1 = \cosh y \cdot \frac{dy}{dx} $$ $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cosh y} $$ 利用恒等式 \(\cosh^2 y - \sinh^2 y = 1\)，可知 \(\cosh y = \sqrt{1 + \sinh^2 y\)（取正根，因为 \(\cosh y > 0\)）。
因为 \(x = \sinh y\)，代入 \(x\)： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} $$ 看吧？恒等式让微积分魔法生效了！

6. 积分

双曲函数的积分是微分过程的逆过程。

6.1 直接积分

这些是基本结果：

• $$ \int \sinh x \, dx = \cosh x + C $$
• $$ \int \cosh x \, dx = \sinh x + C $$
• $$ \int \operatorname{sech}^2 x \, dx = \tanh x + C $$

记住：与微分一样，符号通常为正，这使得积分变得直观。

6.2 导致反双曲函数的标准积分

这是本章考试频率最高的考点。你必须能够识别这些积分形式，因为它们直接对应反函数的导数（第 5.1 节）。

以下标准结果由对数形式的微分导出。当对这些形式积分时，通常可以使用代换法或“配方”，但最终结果都会产生一个反双曲函数。

i) 导致 \(\operatorname{arsinh}\)（或 \(\ln\) 形式）： $$ \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} \, dx = \operatorname{arsinh}\left(\frac{x}{a}\right) + C = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right) + C $$ （注意：由于对数形式中 \(a\) 通常为 1，对于一般 \(a\)，\(\ln\) 形式会稍有简化，因为涉及 \(\ln a\) 的项被归入了常数 \(C\) 中。）

ii) 导致 \(\operatorname{arcosh}\)（或 \(\ln\) 形式）： $$ \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} \, dx = \operatorname{arcosh}\left(\frac{x}{a}\right) + C = \ln\left(x + \sqrt{x^2 - a^2}\right) + C, \quad |x| > a $$

iii) 导致 \(\operatorname{artanh}\)（或 \(\ln\) 形式）： $$ \int \frac{1}{a^2 - x^2} \, dx = \frac{1}{a}\operatorname{artanh}\left(\frac{x}{a}\right) + C = \frac{1}{2a}\ln\left(\frac{a+x}{a-x}\right) + C, \quad |x| < a $$

iv) 导致 \(\operatorname{arcoth}\)： $$ \int \frac{1}{x^2 - a^2} \, dx = \frac{1}{a}\operatorname{arcoth}\left(\frac{x}{a}\right) + C = \frac{1}{2a}\ln\left(\frac{x-a}{x+a}\right) + C, \quad |x| > a $$

6.3 处理复杂的被积函数

当积分与标准形式不完全匹配时，通常需要对分母或根号内进行 **配方**。

例子：积分 \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 6x + 13}} \, dx\)。

第 1 步：对分母配方： $$ x^2 + 6x + 13 = (x+3)^2 - 9 + 13 = (x+3)^2 + 4 $$ 第 2 步：重写积分： $$ \int \frac{1}{\sqrt{(x+3)^2 + 2^2}} \, dx $$ 第 3 步：使用代换法（\(u = x+3\)，\(du = dx\)）。这匹配了 \(\int \frac{1}{\sqrt{u^2 + a^2}} \, du\) 形式，其中 \(a=2\)。
第 4 步：应用 \(\operatorname{arsinh}\) 的标准结果： $$ \ln\left(u + \sqrt{u^2 + a^2}\right) + C $$ 第 5 步：代回 \(u = x+3\) 和 \(a=2\)： $$ \ln\left( (x+3) + \sqrt{(x+3)^2 + 4} \right) + C $$ $$ \ln\left( x+3 + \sqrt{x^2 + 6x + 13} \right) + C $$