Numerical methods

欢迎来到数值方法：当代数束手无策时，如何寻找答案！

你好！欢迎来到数值方法（Numerical Methods）这一章。如果听到这个名字你觉得有些畏惧，别担心——实际上，它是 P3 中最实用、逻辑性最强的一部分！

在之前的数学学习中，你学会了如何解方程，比如 \(x^2 - 3x + 2 = 0\)（通过因式分解）或 \(2x - 5 = 11\)（通过移项变形）。但如果遇到像 \(e^x = 10 - x\) 或 \(\sin x = \ln x\) 这样的方程呢？这些方程无法通过标准的代数技巧求解。

数值方法就是用于求出这些复杂方程根（解）的近似值的一系列技术，通常涉及重复的计算（迭代）。这正是计算机和计算器在后台运作时所使用的方法！

让我们开始探索，学习如何“捕捉”这些棘手的根吧！

第 1 节：通过符号变化定位根

什么是根？

方程 \(f(x) = 0\) 的根（root）是指函数 \(y = f(x)\) 的图像与 \(x\) 轴相交时的 \(x\) 值。在这一点上，函数值 \(y\) 正好为零。

符号变化原则

这是最简单的一种数值方法，它基于常识逻辑。

如果一个函数 \(f(x)\) 是连续的（意味着它的图像在区间内没有断点、跳跃或渐近线），并且你找到了两个值 \(a\) 和 \(b\)，使得：
1. \(f(a)\) 为正（在 \(x\) 轴上方）。
2. \(f(b)\) 为负（在 \(x\) 轴下方）。
……那么该函数的图像在 \(a\) 和 \(b\) 之间必定至少穿过一次 \(x\) 轴。因此，在区间 \((a, b)\) 内必然存在一个根。

类比：过河

想象 \(x\) 轴是一条河流。如果你从北岸（\(f(x)\) 为正）出发，最终到达南岸（\(f(x)\) 为负），那么你一定在某个点穿过了这条河。那个穿过点就是我们要找的根！

定位根的步骤流程

1. 定义函数：确保方程的形式为 \(f(x) = 0\)。 示例：如果题目是 \(e^x = 10 - x\)，你必须将其改写为 \(f(x) = e^x + x - 10 = 0\)。
2. 选择区间：题目通常会给出一个小区间，例如 \([1, 2]\)，或者要求你自行寻找。
3. 测试端点：计算 \(f(1)\) 和 \(f(2)\)。
4. 检查符号变化：
   • 如果 \(f(1) > 0\) 且 \(f(2) < 0\)，说明发生了符号变化。
   • 如果 \(f(1) < 0\) 且 \(f(2) > 0\)，说明发生了符号变化。
5. 陈述结论：清晰地写出：“由于在 \(x=a\) 和 \(x=b\) 之间存在符号变化，且 \(f(x)\) 在该区间内是连续的，因此根一定位于 \(a\) 和 \(b\) 之间。”

⚠️ 常见错误提醒！

只有在函数连续的前提下，符号变化才能保证存在根。如果函数在区间内存在渐近线（断点），例如 \(f(x) = 1/x\)，那么即使符号发生了改变，函数也不一定会穿过 \(x\) 轴！除非区间内明确显示有渐近线，否则请始终假设 P3 中的标准函数（多项式、指数函数、对数函数、三角函数）都是连续的。

第 2 节：迭代法 (\(x_{n+1} = g(x_n)\))

虽然符号变化法告诉我们根在哪里，但迭代法允许我们使用重复公式将根精确计算出来。

步骤 1：将 \(f(x) = 0\) 重写为 \(x = g(x)\)

核心思想是将方程 \(f(x) = 0\) 变形为等价形式：\(x = g(x)\)。

示例：求解 \(f(x) = x^3 - 3x - 5 = 0\)。

这种方程可以通过多种方式变形，从而得到不同的函数 \(g(x)\)：

• 变形 A（最简单）：
  \(x^3 = 3x + 5\)
  \(x = \sqrt[3]{3x + 5}\)
  此处，\(g(x) = \sqrt[3]{3x + 5}\)。
• 变形 B（较复杂）：
  \(3x = x^3 - 5\)
  \(x = \frac{x^3 - 5}{3}\)
  此处，\(g(x) = \frac{x^3 - 5}{3}\)。

要点：并非所有的变形都能奏效（即收敛到根）。我们将在第 3 节讨论如何区分它们。

步骤 2：迭代公式

一旦你得到了 \(x = g(x)\)，就可以将其转化为迭代公式：
$$x_{n+1} = g(x_n)$$

这意味着下一个近似值 (\(x_{n+1}\)) 是通过将当前的近似值 (\(x_n\)) 代入函数 \(g\) 中计算出来的。

步骤 3：计算序列

1. 从初始估计值 (\(x_0\)) 开始：这通常由题目给出，或者你可以使用符号变化法的结果（例如，如果根在 2 和 3 之间，你可以设定 \(x_0 = 2.5\)）。
2. 计算 \(x_1\)：将 \(x_0\) 代入公式：\(x_1 = g(x_0)\)。
3. 计算 \(x_2\)：将 \(x_1\) 代入公式：\(x_2 = g(x_1)\)。
4. 重复：持续该过程（\(x_3, x_4, x_5, \dots\)），直到数值收敛（数值停止变化，或在要求的精度内不再变化）。

💡 考试提速与精度技巧

这对于考试至关重要！

1. 输入你的初始估计值 \(x_0\)，并按 =。这会将该值存入计算器的 ANS（答案）存储器中。
2. 输入迭代公式，用 ANS 代替 \(x_n\)。
   示例：对于 \(x_{n+1} = \sqrt[3]{3x_n + 5}\)，你应输入：\(\sqrt[3]{3\text{Ans} + 5}\)。
3. 反复按 =。每按一次都会计算序列中的下一项 (\(x_1, x_2, x_3, \dots\))。这样速度更快，且能减少手动舍入带来的误差。

精度处理：在进行迭代计算时，中间步骤通常需要保持高精度（至少保留 4 位小数），仅在最后计算出结果时按要求进行舍入。

第 3 节：图解分析与收敛性

为什么我们说只有“特定的变形”才有效？这就是图解法的用武之地。

根的图形化解释

当我们求解 \(x = g(x)\) 时，其实是在寻找两个图形的交点：
$$y = x$$
$$y = g(x)$$

交点的 \(x\) 坐标就是根 \(\alpha\)。

可视化迭代：阶梯图与蛛网图

我们将序列 \(x_0, x_1, x_2, \dots\) 绘制在这些图像上。迭代过程表现为：

1. 从 \(x\) 轴上的 \(x_n\) 垂直向上（或向下）移动到曲线 \(y = g(x)\)。（这计算出了 \(x_{n+1}\)。）
2. 从曲线水平移动到直线 \(y = x\)。（这步将输出的 \(x_{n+1}\) 作为下一步的输入值。）

重复此过程会产生两种图案：

1. 阶梯图（Staircase Diagram）：序列一步步直接向根靠拢。当函数 \(g(x)\) 在根附近为增函数时，会出现这种情况。
2. 蛛网图（Cobweb Diagram）：序列呈螺旋状向根靠拢。当函数 \(g(x)\) 在根附近为减函数时，会出现这种情况。

如果这些点偏离了交点，则说明迭代发散（即无法找到根）。

收敛条件

决定迭代是收敛还是发散的关键因素是 \(g(x)\) 在根 \(\alpha\) 附近的斜率（梯度）。

设 \(g'(x)\) 为 \(g(x)\) 的导数（梯度函数）。

收敛法则：

迭代 \(x_{n+1} = g(x_n)\) 收敛的充要条件是：在根 \(\alpha\) 处，其导数的绝对值小于 1。

$$|g'(\alpha)| < 1$$

如果 \(|g'(\alpha)| \geq 1\)，迭代很可能会发散或震荡而无法趋于稳定。

类比：斜率的陡峭程度

直线 \(y=x\) 的斜率为 1。

• 如果曲线 \(y=g(x)\) 比 \(y=x\) 平缓（即 \(|g'(\alpha)| < 1\)），图上的“阶梯”会越来越小，最终你像滚动一样滑向根（收敛）。
• 如果曲线 \(y=g(x)\) 比 \(y=x\) 陡峭（即 \(|g'(\alpha)| > 1\)），“阶梯”会越来越大，你会跳离根的位置（发散）。

如何在考试中证明收敛性

要证明一个给定的公式 \(x_{n+1} = g(x_n)\) 会收敛到位于区间 \([a, b]\) 内的根 \(\alpha\)，你需要展示：

$$|g'(x)| < 1 \text{ 对区间 } [a, b] \text{ 内的所有 } x \text{ 成立}$$

证明步骤：

1. 求出导数 \(g'(x)\)。
2. 在区间端点 \(a\) 和 \(b\) 处计算 \(|g'(x)|\) 的值。
3. 展示在该区间内，梯度的最大值小于 1。
4. 结论：“由于在整个区间 \([a, b]\) 内 \(|g'(x)| < 1\)，因此迭代将收敛到该区域内的根 \(\alpha\)。”

你知道吗？

在现实世界中，数学家经常尝试多种不同的变形 (\(x = g(x)\))，直到找到一种能够快速收敛的方法。\(|g'(\alpha)|\) 的值越小，意味着收敛速度越快！