Transformations using matrices

单元 FP1：矩阵变换

简介：几何与代数的邂逅

各位数学家好！欢迎来到几何与代数交汇的奇妙世界。本章——矩阵变换，是进阶纯数学 1 (FP1) 中最强大且优美的主题之一。

我们不再需要使用冗长的方程来描述位移和变化（如反射、旋转和缩放），而是使用简单的 2x2 矩阵。这些矩阵就像操作开关一样——输入坐标，矩阵就会输出经过变换的新坐标。

如果以前觉得矩阵很抽象，请不要担心。在这里，你会看到它们如何运作，将复杂的几何操作变得极其简洁高效。

1. 点的表示与应用变换

1.1. 坐标如何转化为向量

在坐标几何中，我们使用坐标对 \((x, y)\) 来定义一个点。在使用矩阵时，我们将该点表示为位置向量（一个 \(2 \times 1\) 的列矩阵）。

$$ \text{点 } (x, y) \text{ 变为向量 } \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

1.2. 变换方程

变换 \(T\) 由一个 \(2 \times 2\) 矩阵表示，通常记作 \(\mathbf{M}\)。为了求变换后的新点 \((x', y')\)，我们只需将该矩阵与原向量相乘：

$$ \mathbf{M} \mathbf{x} = \mathbf{x}' $$

完整形式为：

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} $$

关键点：矩阵乘法是实现变换的机制。我们始终将矩阵写在前面，向量写在后面。

2. 标准变换及其矩阵

FP1 侧重于以原点 \((0, 0)\) 为中心或相关的变换。这些通常被称为线性变换。我们需要熟记或能够推导出以下常见类型的变换矩阵。

2.1. 绕原点 (0, 0) 的旋转

旋转是指将一个点绕原点旋转一个角度 \(\theta\)。

• 逆时针旋转为正方向。
• 顺时针旋转为负方向。

通用旋转矩阵（逆时针旋转 \(\theta\)）：

$$ \mathbf{R} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} $$

示例：逆时针旋转 \(90^\circ\)：

$$ \mathbf{R}_{90} = \begin{pmatrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

2.2. 缩放 (Enlargement)

缩放会放大或缩小图形的尺寸。由于我们使用的是 2x2 矩阵，缩放中心始终是原点 \((0, 0)\)。

如果缩放因子为 \(k\)：

$$ \mathbf{E} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} $$

你知道吗？如果 \(k=1\)，该矩阵就是单位矩阵 \(\mathbf{I}\)。这种变换不会改变任何东西！ $$ \mathbf{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

2.3. 反射 (Reflection)

反射是将图形沿某条直线（对称轴）翻转。

常见的反射矩阵：

1. 关于 x 轴反射 (\(y=0\))： $$ \mathbf{M}_x = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$
2. 关于 y 轴反射 (\(x=0\))： $$ \mathbf{M}_y = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
3. 关于直线 \(y=x\) 反射：（交换 x 和 y 坐标） $$ \mathbf{M}_{y=x} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$
4. 关于直线 \(y=-x\) 反射： $$ \mathbf{M}_{y=-x} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$

2.4. 切变 (Shear)

切变是一种将所有点沿某一特定直线平行移动，同时保持该线上的点固定（不变线）的变换。

如果切变因子为 \(k\)：

1. 平行于 x 轴的切变（x 轴为不变线）：

   y 坐标保持不变，x 坐标平移 \(k\) 倍的原始 y 值。\((x, y) \to (x+ky, y)\)

   $$ \mathbf{S}_x = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
2. 平行于 y 轴的切变（y 轴为不变线）：

   x 坐标保持不变，y 坐标平移 \(k\) 倍的原始 x 值。\((x, y) \to (x, y+kx)\)

   $$ \mathbf{S}_y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{pmatrix} $$

3. 寻找变换矩阵

你并不总会直接得到矩阵，有时需要根据几何描述来推导它。这可以说是本章最重要的技能。

3.1. 基向量的魔力

任何 \(2 \times 2\) 矩阵 \(\mathbf{M}\) 都可以通过观察两个特殊点的变化完全确定，这两个点就是沿轴的单位向量，即基向量：

1. \(\mathbf{i}\)：点 \((1, 0)\)，表示为 \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)。
2. \(\mathbf{j}\)：点 \((0, 1)\)，表示为 \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)。

当你用通用矩阵 \(\mathbf{M} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) 乘以 \(\mathbf{i}\) 和 \(\mathbf{j}\) 时：

$$ \mathbf{M} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} \quad \text{以及} \quad \mathbf{M} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} $$

小窍门：

变换矩阵 \(\mathbf{M}\) 的第一列是向量 \(\mathbf{i}\) 的像（即 \((1, 0)\) 移动到的位置）。

变换矩阵 \(\mathbf{M}\) 的第二列是向量 \(\mathbf{j}\) 的像（即 \((0, 1)\) 移动到的位置）。

$$ \mathbf{M} = \begin{pmatrix} (1, 0) 的像 & (0, 1) 的像 \\ \text{ (第一列) } & \text{ (第二列) } \end{pmatrix} $$

示例：一个变换将图形关于直线 \(y = 2x\) 进行反射。如果 \((1, 0)\) 映射到 \((0.6, 0.8)\)，而 \((0, 1)\) 映射到 \((0.8, -0.6)\)。

矩阵 \(\mathbf{M}\) 即为： $$ \mathbf{M} = \begin{pmatrix} 0.6 & 0.8 \\ 0.8 & -0.6 \end{pmatrix} $$

关键点：如果你能找出 \((1, 0)\) 和 \((0, 1)\) 移动到了哪里，你就掌握了整个变换矩阵。

4. 组合变换 (Composition)

通常，单次操作是不够的。我们可能需要先旋转图形再进行缩放。这被称为变换的合成。

4.1. 顺序很重要！

如果先进行变换 \(T_1\)，再进行变换 \(T_2\)，组合后的变换 \(T\) 由矩阵乘积 \(\mathbf{M}_2 \mathbf{M}_1\) 表示。

$$ \mathbf{M} = \mathbf{M}_2 \mathbf{M}_1 $$

类比：想象先穿袜子再穿鞋子。你必须先做袜子变换 (\(T_1\))，但你写下的算式是“鞋子” \(\times\) “袜子”。

关键规则：矩阵相乘的顺序与应用顺序相反。距离向量 \(\mathbf{x}\) 最近的矩阵是先被应用的。

$$ \mathbf{M}_2 (\mathbf{M}_1 \mathbf{x}) = (\mathbf{M}_2 \mathbf{M}_1) \mathbf{x} $$

常见错误警示：由于矩阵乘法通常不满足交换律 (\(\mathbf{M}_1 \mathbf{M}_2 \neq \mathbf{M}_2 \mathbf{M}_1\))，先旋转后反射的结果通常与先反射后旋转不同。请务必注意题目要求的顺序！

5. 面积缩放因子与行列式

5.1. 作为面积因子的行列式

变换矩阵 \(\mathbf{M}\) 最有用的性质之一是它的行列式，记作 \(\det(\mathbf{M})\) 或 \(|\mathbf{M}|\)。

对于 2x2 矩阵 \(\mathbf{M} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)，其行列式为：

$$ \det(\mathbf{M}) = ad - bc $$

行列式的绝对值 \(|\det(\mathbf{M})|\) 即为面积缩放因子。

• 如果原始图形面积为 \(A_{original}\)，则新图形面积为 \(A_{new} = |\det(\mathbf{M})| \times A_{original}\)。
• 如果 \(\det(\mathbf{M})\) 为正，则图形的取向保持不变（例如旋转、缩放）。
• 如果 \(\det(\mathbf{M})\) 为负，则图形的取向发生反转（例如反射）。

5.2. 奇异矩阵 (Singular Matrices)

如果行列式为零，即 \(\det(\mathbf{M}) = 0\)，该矩阵被称为奇异矩阵。

• 如果面积缩放因子为零，意味着整个图形塌陷成了一条线或一个点。
• 奇异变换将 2D 面积压缩为 1D 直线，这意味着逆矩阵不存在（因为无法将线“解压”回到 2D 图形）。

6. 逆变换

逆变换，记作 \(\mathbf{M}^{-1}\)，是“撤销” \(\mathbf{M}\) 效果的变换。如果 \(\mathbf{M}\) 将图形逆时针旋转 \(90^\circ\)，那么 \(\mathbf{M}^{-1}\) 将其顺时针旋转 \(90^\circ\)。

6.1. 寻找逆矩阵

对于非奇异矩阵 \(\mathbf{M} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)，其中 \(D = \det(\mathbf{M}) = ad - bc \neq 0\)：

$$ \mathbf{M}^{-1} = \frac{1}{D} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $$

2x2 逆矩阵记忆口诀：

1. 求出行列式 \(D\)。
2. 交换主对角线元素（\(a\) 和 \(d\)）。
3. 改变次对角线元素的符号（\(-b\) 和 \(-c\)）。
4. 将所得矩阵乘以 \(1/D\)。

关键点：如果一个变换紧随其逆变换，结果就是单位矩阵 (\(\mathbf{M} \mathbf{M}^{-1} = \mathbf{I}\))，这意味着图形回到了原始位置。

祝贺你！掌握了这些概念——特别是变换、基向量、行列式以及组合顺序之间的关系——将为你后续的 FP1 学习奠定坚实基础。继续练习矩阵乘法吧！