欢迎来到不等式的世界！
在你的数学旅程中，你花了不少时间去找出 \(x\) 的确切数值（例如 \(x = 5\)）。但在现实世界中，情况并不总是那么精确。有时候，我们只需要知道一个数值是大于还是小于另一个数值。试想一下车速限制：你不需要刚好开到每小时 60 公里；你只需要保持车速 \(s \le 60\)。在本章中，我们将学习如何为线性及二次表达式解这类“数值范围”，并将其绘制成图。
1. 线性不等式
解线性不等式与解普通方程非常相似。你的目标仍然是让 \(x\) 单独留在方程的一侧。然而，有一条你绝对不能忘记的黄金法则！
“负数翻转”法则
每当你将不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，你必须翻转不等号。
类比： 想象你和朋友站在数线上。如果你在 5 的位置，而他在 2 的位置，那么你“大”。如果你们两人都将位置乘以 -1，现在你在 -5，他在 -2。突然间，-2 比 -5 大了！因为负号的关系，两者的大小关系翻转了。
例子：解 \(10 - 2x \le 4\)
- 两边同时减去 10：\(-2x \le -6\)
- 两边同时除以 -2。因为我们除以一个负数，所以要翻转不等号：\(x \ge 3\)
重点复习：不等号
- \(>\) ：大于
- \(<\) ：小于
- \(\ge\) ：大于或等于
- \(\le\) ：小于或等于
重点总结：处理不等式就像处理方程一样，但如果你乘以或除以负数，一定要记得翻转符号！
2. 二次不等式
二次不等式（例如 \(x^2 - 5x + 6 > 0\)）稍微狡猾一点。你不能直接通过“移项”来解它，你必须遵循特定的步骤，并配合图形草图来解题。
解二次不等式的步骤指南
- 整理：确保不等式的一侧为零（例如 \(ax^2 + bx + c > 0\)）。
- 找出临界值（Critical Values）：将其视为方程（令其等于 \(0\)），通过因式分解或使用二次公式求解。这些数值就是图形与 x 轴相交的位置。
- 绘制图形草图：画一个简单的“U 型”曲线（如果 \(x^2\) 的系数为正），并让它通过你算出的临界值。
- 识别区域：观察原始的不等号：
- 如果大于 \(0\)，你需要的是曲线在 x 轴上方的部分。
- 如果小于 \(0\)，你需要的是曲线在 x 轴下方的部分。
例子：解 \(x^2 - 4x - 5 < 0\)
1. 因式分解：\((x - 5)(x + 1) < 0\)。
2. 临界值：\(x = 5\) 和 \(x = -1\)。
3. 画一个在 -1 和 5 处与 x 轴相交的“U 型”曲线。
4. 因为我们想要小于 \(0\)，所以我们看 x 轴下方的部分。这就是这两个点之间的“山谷”区域。
答案：\(-1 < x < 5\)
别担心，如果这看起来很难！只要记住：如果答案是轴下方的“山谷”，它会写成一个连贯的不等式。如果答案是向上延伸并远离轴的两个“手臂”，它则会写成两个分开的不等式（例如 \(x < -1\) 或 \(x > 5\)）。
重点总结：一定要画图草图。永远不要在不看曲线走向的情况下尝试解二次不等式！
3. 分式不等式
Edexcel 的课程大纲提到，有些不等式涉及分式，可以通过“简化”变为线性或二次不等式。常见的例子是 \(\frac{a}{x} < b\)。
陷阱！
你可能很想直接将两边同时乘以 \(x\)。千万不要这么做！因为我们不知道 \(x\) 是正数还是负数，所以我们不知道该不该翻转不等号。
技巧：乘以 \(x^2\)
由于任何数的平方（零除外）永远是正数，我们将两边同时乘以 \(x^2\) 就可以安全地保留不等号的方向。
例子：\(\frac{3}{x} < 2\) 会变成 \(3x < 2x^2\)。现在你就有了一个可以通过第 2 节步骤求解的二次不等式！
重点总结：如果 \(x\) 在分母，将两边乘以 \(x^2\) 将其转化为二次不等式。
4. 图形表示与阴影区域
有时候你需要将解表示在坐标平面（\(x\) 和 \(y\)）上，这就是我们要表示区域的时候。
虚线与实线
- 严格不等式（\(>\) 或 \(<\)）请使用虚线。这代表线本身不包含在解的范围内。
- 包含“或等于”的不等式（\(\ge\) 或 \(\le\)）请使用实线。这代表线本身包含在解的范围内。
如何涂抹正确的阴影区域
1. 画线：将不等式视为方程（例如，对于 \(y > x + 2\)，先画出直线 \(y = x + 2\)）。
2. 测试点：选一个不在线上的简单坐标，例如 \((0,0)\)，并将其代入不等式中。
3. 判断：如果点符合不等式，就涂抹该点所在的一侧！如果不符合，则涂抹另一侧。
你知道吗？在考试中，通常会要求你涂抹满足不等式的区域。但是，请务必仔细阅读题目——有时候题目会要求你涂抹“不想要”的区域，以留下正确的空白区域！
重点总结：虚线 = 不包含。实线 = 包含。代入 \((0,0)\) 来找出线的正确一侧。
避免常见错误
- 忘记翻转符号：当除以负数时，请务必再三检查。
- 把二次不等式当成线性方程处理：永远不要将 \(x^2 > 9\) 直接写成 \(x > 3\)。你漏掉了 \(x < -3\) 的部分！画图吧！
- 涂错阴影区域：请务必使用像 \((0,0)\) 这样的测试点来确保 100% 正确。
恭喜你！你已经掌握了 Pure Math 1 不等式的核心概念。继续练习绘制二次曲线草图——这是掌握这个主题的关键！