欢迎来到“二人世界”：联合寿命模型 (Joint-Life Modelling)
在你之前的学习中，你专注于单个人的寿命，通常称为 \((x)\)。但在现实世界中，许多财务决策涉及不止一个人——想想一对夫妇购买房子，或是公司为退休人员及其配偶提供养老金。
在本章中，我们将从个人寿命模型转向联合寿命模型。我们将探讨当涉及两个生命时如何计算概率。这看起来工作量好像翻倍了，但一旦你掌握了当中的规律，就会发现它就像砌 LEGO 积木一样简单！
1. 观察联合寿命的两种方式
当我们观察两个人，假设为 \((x)\) 和 \((y)\) 时，我们通常关注以下两种“状态”之一：
- 联合寿命状态 \((xy)\)： 这种状态仅在双方都活着时存在。一旦第一个人死亡，该状态即告“终止”。类比：网球双打比赛——如果其中一位球员退场，队伍的状态就结束了。
- 最后生存者状态 \((\overline{xy})\)： 这种状态只要至少还有一个人活着就存在。它只有在第二个人（最后一人）死亡时才会“终止”。类比：两个灯泡并联的电路——只有当两个灯泡都烧毁时，房间才会变黑。
快速回顾：状态背后的数学原理
令 \(T_x\) 为 \((x)\) 死亡前的时间，\(T_y\) 为 \((y)\) 死亡前的时间。
1. 联合寿命状态终止的时间为 \(T_{xy} = \min(T_x, T_y)\)。
2. 最后生存者状态终止的时间为 \(T_{\overline{xy}} = \max(T_x, T_y)\)。
必须记住的关键关系：
\(T_x + T_y = T_{xy} + T_{\overline{xy}}\)
这个恒等式是救命稻草！它基本说明了个人寿命之和等于第一次死亡的时间加上第二次死亡的时间。
2. 独立寿命模型
对两个生命进行建模最简单的方法是假设 \((x)\) 的死亡对 \((y)\) 的死亡完全没有影响。这称为独立性假设 (Independence Assumption)。
生存概率
如果两者是独立的，两人在 \(t\) 年后仍然存活的概率就是他们各自生存概率的乘积：
\[{}_t p_{xy} = {}_t p_x \cdot {}_t p_y\]
对于最后生存者状态，至少有一人存活的概率为：
\[{}_t p_{\overline{xy}} = {}_t p_x + {}_t p_y - {}_t p_{xy}\]
如果这看起来有点复杂，别担心！ 只要记得基础概率中的容斥原理 (Inclusion-Exclusion Principle)：\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)。在这里，“A 或 B 存活”就是最后生存者状态，而“A 与 B 皆存活”就是联合寿命状态。
联合死亡力 (Joint Force of Mortality)
如果两者生命独立，联合寿命状态的死亡力简直就是各自死亡力之和：
\[\mu_{xy}(t) = \mu_x(t) + \mu_y(t)\]
快速回顾： 这意味着联合寿命状态终止的“危险”或“风险”是任一人死亡的风险总和。
总结： 在独立模型中，我们只需要将生存概率相乘即可得到联合寿命概率。
3. 多状态模型 (Multiple State Model) 方法
在 Exam ALTAM 中，我们经常会超越独立性模型。我们使用多状态模型来描述一对生命可能处于的各种“状态”。这更具现实意义，因为它允许一人的死亡影响另一人的死亡率（即所谓的“心碎效应”）。
四种状态
想象一个有四个房间的盒子：
- 状态 0： \((x)\) 和 \((y)\) 都活着。
- 状态 1： \((x)\) 已死亡，但 \((y)\) 还活着。
- 状态 2： \((y)\) 已死亡，但 \((x)\) 还活着。
- 状态 3： 两人都已死亡（“吸收”状态）。
转换（死亡力）
我们使用 \(\mu_{x+t:y+t}^{jk}\) 来表示在时间 \(t\) 从状态 \(j\) 转换到状态 \(k\) 的死亡力。
- \(\mu_{x+t:y+t}^{01}\)：\((x)\) 先死亡的力。
- \(\mu_{x+t:y+t}^{02}\)：\((y)\) 先死亡的力。
- \(\mu_{x+t:y+t}^{13}\)：在 \((x)\) 已死亡的前提下，\((y)\) 死亡的力。
- \(\mu_{x+t:y+t}^{23}\)：在 \((y)\) 已死亡的前提下，\((x)\) 死亡的力。
你知道吗？ 如果两者生命是独立的，那么 \(\mu^{01} = \mu^{23} = \mu_x\) 且 \(\mu^{02} = \mu^{13} = \mu_y\)。如果两者是相关的，这些数值就会不同！
4. 计算状态概率
要找出在时间 \(t\) 处于特定状态的概率，我们运用以下逻辑：
留在状态 0（两人都存活）
要留在状态 0，意味着没有人死亡。离开状态 0 的总力为 \(\mu^{01} + \mu^{02}\)。
\[{}_t p_{xy}^{00} = \exp \left( -\int_0^t (\mu_{x+s:y+s}^{01} + \mu_{x+s:y+s}^{02}) ds \right)\]
进入状态 1（\((x)\) 死亡，随后 \((y)\) 存活）
这是一个“路径”计算。若要在时间 \(t\) 处于状态 1：
- 两人都必须存活到某个时间 \(s\)（其中 \(s < t\)）。
- 刚好在时间 \(s\)，\((x)\) 死亡（转换 \(0 \to 1\)）。
- 从时间 \(s\) 到时间 \(t\)，\((y)\) 必须在状态 1 中保持存活。
\[{}_t p_{xy}^{01} = \int_0^t {}_s p_{xy}^{00} \cdot \mu_{x+s:y+s}^{01} \cdot {}_{t-s} p_{y+s}^{11} ds\]
记忆技巧： 将其理解为“直到事件发生前的生存概率 \(\times\) 事件发生的瞬间 \(\times\) 事件发生后的生存概率”。
5. 要避免的常见陷阱
1. 混淆 \(T_{xy}\) 与 \(T_{\overline{xy}}\)： 务必反复检查题目要求的是“第一次死亡”（联合寿命）还是“最后死亡”（最后生存者）。
2. 忘记状态定义： 在多状态模型中，\({}_t p_{xy}^{01}\) 是指在时间 \(t\) 时，\((y)\) 是唯一幸存者的概率。这与 \((x)\) 在时间 \(t\) 前死亡的概率并不相同。
3. 积分限： 当计算像 \({}_t p_{xy}^{01}\) 这类概率时，积分限总是从 \(0\) 到 \(t\)。请确保你的死亡力函数代入正确。
6. 总结快速回顾框
关键公式：
- 联合寿命生存： \({}_t p_{xy} = P(T_{xy} > t)\)
- 最后生存者生存： \({}_t p_{\overline{xy}} = {}_t p_x + {}_t p_y - {}_t p_{xy}\)
- 独立死亡力： \(\mu_{xy} = \mu_x + \mu_y\)
- MSM 状态 0： \({}_t p_{xy}^{00} = e^{-\int (\text{离开状态 0 的力之总和})}\)
核心要点： 多状态模型其实就是一张地图。跟着箭头（转换）走，并将路径上的概率相乘即可！
如果积分公式起初看起来很吓人，不用担心。在大多数考试题目中，死亡力 (\(\mu\)) 都是常数，这使得积分变得简单得多——通常只会得出指数函数！