欢迎来到再保险的世界！

哈啰！今天我们要深入探讨 Exam FAM 的一个关键主题：保险公司与再保险公司之间的赔款分摊 (Allocation of claim amounts between insurer and reinsurer)。如果你曾经好奇保险公司是如何保护自己免受巨额损失（例如飓风或高速公路上的连环车祸），那么你来对地方了。你可以把再保险想象成“保险公司的保险”。它的核心在于分担风险，确保公司不会因为单一的灾难性事件而倒闭。

如果一开始觉得有些复杂，请别担心。我们将透过简单的类比和清晰的公式一步步拆解。读完这些笔记后，你将能信心满满地计算出每一方到底该赔多少钱！


1. 大局观：有哪些参与者？

在进入数学运算前，我们先厘清一下术语：

  • 原保险公司 (Cedant，分出公司)： 指的是直接向客户销售保单的公司。他们会将部分风险“分出 (cede)”给别人。
  • 再保险公司 (Reinsurer)： 指的是透过收取保费，从原保险公司接手并分担风险的公司。
  • 赔款 (\(X\))： 指的是在分摊前，损失的总金额。

你知道吗？ 再保险让小型保险公司也能承担远超过其独立负荷能力的风险。这就像一群朋友平摊超大披萨的费用一样——大家各付一小部分，总比一个人全买单要容易得多！


2. 比例再保险 (Quota Share)

这是分摊赔款最简单的方式。在比例再保险 (Proportional Reinsurance) 中，原保险公司和再保险公司约定按固定的百分比来分摊每一笔赔款。

运作方式

若原保险公司保留的比例为 \(\alpha\) (其中 \(0 < \alpha < 1\))，则：

  • 原保险公司的分摊额 (\(Y_I\)) 为： \( Y_I = \alpha X \)
  • 再保险公司的分摊额 (\(Y_R\)) 为： \( Y_R = (1 - \alpha) X \)

例子： 想像一份“70/30 份额分保 (Quota Share)”协议。原保险公司保留 70% 的风险，再保险公司承担 30%。如果发生一笔 $1,000 的赔款，原保险公司支付 $700，再保险公司支付 $300。很简单，对吧？

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快速回顾框：
\n在比例再保险中，无论赔款金额大小，分摊比例永远保持不变。

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3. 非比例再保险 (Excess of Loss)

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这部分就比较具备“精算”特色了。在超额赔款再保险 (Excess of Loss, XoL) 中，原保险公司负责处理小额赔款，而再保险公司仅在赔款超过一定金额时才介入。这个“一定金额”被称为自留额 (Retention)（通常以 \(M\) 或 \(d\) 表示）。

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公式

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如果 \(M\) 是自留额水平：

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  • 原保险公司的分摊额： \( Y_I = \min(X, M) \)
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  • 再保险公司的分摊额： \( Y_R = \max(0, X - M) \)
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类比： 可以把自留额 (\(M\)) 看作是保险公司的“免赔额 (deductible)”。如果你为自己的汽车保险设定了 $500 的免赔额，那么首 $500 由你自己负担（即你的自留额），剩余部分才由保险公司支付。

逐步逻辑：

  1. 如果赔款小于 \(M\)，原保险公司支付全部金额。再保险公司支付 0。
  2. 如果赔款大于 \(M\)，原保险公司刚好支付 \(M\)。再保险公司支付“超过的部分 (excess)”。

避免常见错误： 不要将“自留额”与“保单限额 (Policy Limit)”搞混。自留额是原保险公司自行承担的部分，而保单限额则是保单赔付的最高上限。我们接下来会看看它们是如何互动的！


4. 处理保单限额与再保险

在现实世界中，大多数保单都有一个保单限额 (\(u\))。这意味着总赔付金额 (\(X_{limit}\)) 为 \(\min(X, u)\)。当我们加入再保险时，必须小心操作的顺序。

情境 A：对“净”赔款进行再保险

通常，再保险公司只会承担原保险公司实际需要负责的部分。如果保单限额为 \(u\)，而原保险公司的自留额为 \(M\)，则分摊情况如下：

  • 总赔付额： \( X_{paid} = \min(X, u) \)
  • 原保险公司支付： \( Y_I = \min(X, M) \) (假设 \(M \le u\))
  • 再保险公司支付： \( Y_R = \min(X, u) - \min(X, M) \)

记忆小技巧： 再保险公司的分摊额就是赔款在 \(M\) 和 \(u\) 之间的“那一层 (slice)”。如果赔款未达 \(M\)，再保险公司不必支付；如果赔款超过 \(u\)，再保险公司的支付额也不会再增加。


5. 计算期望值（数学核心）

在 Exam FAM 中，你经常需要求出原保险公司或再保险公司分摊额的期望值 (Expected Value)。我们使用限额期望值 (Limited Expected Value) 符号：\( E[X \wedge L] \)。

核心公式：

对于自留额为 \(M\) 且保单限额为 \(u\) 的超额赔款再保险合约：

  • 原保险公司的预期成本： \( E[Y_I] = E[X \wedge M] \)
  • 再保险公司的预期成本： \( E[Y_R] = E[X \wedge u] - E[X \wedge M] \)

重点提示： 各方分摊的预期成本总和必须等于预期的总赔付额：
\( E[Y_I] + E[Y_R] = E[X \wedge u] \)。


6. 总结与最终建议

我们今天涵盖了很多内容！让我们总结一下最重要的几点：

  • 比例分保 (Quota Share) = 乘法 (\( \alpha \times X \))。每一块钱的赔款，大家都按比例分摊。
  • 超额赔款 (Excess of Loss) = 减法/Min/Max。再保险公司只有在赔款“溢出”自留额时才支付。
  • 自留额 (Retention) 是原保险公司的“免赔额”。
  • 期望值是透过计算不同层级的限额期望值之差来得到的。

最后的鼓励： 练习画“分层图”。画一条代表赔款的垂直柱状图，标示出自留额 (\(M\)) 和限额 (\(u\))。将原保险公司与再保险公司各自负担的部分涂上不同颜色，这会让问题变得非常直观！

继续练习分布表中 \( E[X \wedge d] \) 的计算，你很快就能完全掌握这一章！