欢迎来到额外风险建模的世界！

你好！当你深入探索长期保险的世界时，你会很快发现并非每个人都符合“标准”模型。有些人抽烟，有些人患有高血压，而有些人可能有高风险的爱好，例如跳伞。在精算术语中，我们称这些为次标准风险 (substandard risks)。

在本章中，我们将学习如何调整数学模型以应对这些额外风险。如果起初觉得这很棘手也不用担心——我们基本上只是拿你已经熟悉的“标准”公式进行一点“微调”，使其适用于更危险的情况。让我们开始吧！

为什么我们需要调整死亡率？

标准死亡率表是为一般、健康的人群构建的。如果我们对患有慢性病的人使用相同的表格，我们将会低估 (underprice) 保险费用。保险公司收取的保费将不足以支付理赔风险。为了解决这个问题，我们使用额外风险模型 (extra risk models) 来提高计算中使用的死亡率。


方法 1：年龄评级（“里程表”法）

年龄评级 (Age rating)（也称为“增加年龄”）是处理额外风险最简单的方法之一。概念很简单：如果一名 40 岁的申请人抽烟，他们的身体状况可能“表现”得像 45 岁一样。

运作方式

我们只需在申请人的实际年龄上加上一个固定的数字，称之为 \(h\)。如果真实年龄是 \(x\)，我们就将所有计算视为该人士的年龄为 \(x + h\)。

例如，如果一名 35 岁的人被给予 5 年的年龄评级：

  • 死亡概率变为： \(q_{35}^* = q_{40}\)
  • 生存年金变为： \(\ddot{a}_{35}^* = \ddot{a}_{40}\)
  • 净保费变为： \(P_{35}^* = P_{40}\)

比喻

把它想象成一辆汽车。一辆 2020 年份的汽车如果曾用于频繁送货，其里程数可能已达 15 万英里。尽管技术上它只有 4 年车龄，但保险公司会因为其“损耗”而将其视为更旧的车。这正是年龄评级对人类寿命所做的事情！

快速回顾：使用年龄评级时，只需在你熟悉的每个公式中将 \(x\) 替换为 \(x+h\)。就是这么简单！


方法 2：死亡力常数增加

有时，额外风险并不仅仅是因为“年龄较大”。有时，这只是一个每年都保持不变的额外风险层。我们通过在死亡力 (force of mortality) 上增加一个常数 \(\phi\)（phi）来模拟这种情况。

公式

调整后的死亡力 \(\mu_x^*\) 定义为：
\( \mu_{x+t}^* = \mu_{x+t} + \phi \)

这对我们的生存概率有什么影响？

这是 FAM 考试题中非常热门的主题！由于死亡力位于生存函数的指数中，增加一个常数会导致生存概率的乘法调整：

\( {}_tp_x^* = {}_tp_x \cdot e^{-\phi t} \)

你知道吗？

这种方法通常用于“平坦”风险，例如有危险爱好的人。无论他们是 20 岁还是 50 岁，跳伞事故带来的额外风险在每年可能都被视为相对恒定。

关键要点：如果你看到常数增加 \(\phi\)，请记住你的新生存概率只是旧的生存概率乘以 \(e^{-\phi t}\)。这使得计算 \(A_x^*\) 或 \(\ddot{a}_x^*\) 的速度快得多！


方法 3：乘法调整（百分比法）

在这种方法中，我们假设额外风险与标准风险成正比。我们将标准死亡力乘以一个因子，通常写为 \((1+k)\) 或常数 \(m\)。

公式

\( \mu_x^* = (1+k) \cdot \mu_x \)

常见陷阱

学生经常误以为这是乘以死亡概率 (\(q_x\))。请小心！在这个模型中，我们乘以的是死亡力 (\(\mu\))。虽然两者相关，但死亡力的乘法效果随时间推移会产生复利影响。

在该模型下，新的生存概率为：
\( {}_tp_x^* = ({}_tp_x)^{(1+k)} \)


这些调整如何影响保费和价值

一旦你调整了死亡率（无论是通过年龄评级还是改变 \(\mu\)），你必须重新计算精算现值 (APV) 以找出新的保费。

分步计算流程：
  1. 识别调整方式：是年龄评级？是常数 \(\phi\)？还是乘数？
  2. 计算调整后的生存概率：找出新的 \({}_tp_x^*\)。
  3. 计算调整后的 APV：找出新的 \(A_x^*\) 和 \(\ddot{a}_x^*\)。
  4. 找出保费：使用等价原则 (Equivalence Principle)。通常为 \(P^* = \frac{A_x^*}{\ddot{a}_x^*}\)。

重要提示：当死亡率增加时，\(A_x\)（给付成本）会增加，而 \(\ddot{a}_x\)（保费价值）会减少。由于分子变大且分母变小，保费 \(P_x\) 对于次标准风险而言将永远更高。


快速参考总结表

使用此表来理清各种方法！

1. 年龄评级：将年龄 \(x\) 视为 \(x+h\)。
2. 常数增加 (\(\phi\))： \({}_tp_x^* = {}_tp_x \cdot e^{-\phi t}\)。
3. 乘法调整 (\(m\))： \({}_tp_x^* = ({}_tp_x)^m\)。


考试最终提示

  • 注意时间段：如果题目提到“额外风险仅适用于前 5 年”，请仅对这 5 年进行死亡率调整。这是 FAM 考试中常见的“陷阱”！
  • 保单价值：如果被问及次标准寿险的保单价值 (\(_tV\))，请记住未来的给付和未来的保费都是基于调整后的死亡率。
  • 逻辑检查：如果你的计算结果显示保费比标准保费低，请停下来！哪里出错了。额外风险应始终导致更高的成本。

你做得很好！本章的重点在于理解我们对假设的小幅修改如何影响标准公式。掌握上述三种调整方法，你将为 SOA 抛出的任何“额外风险”问题做好准备！