欢迎来到久期（Duration）的世界！

如果你正在准备 Exam FM，你一定已经知道，当利率上升时，债券价格就会下跌。但对于精算师和投资经理来说，最关键的问题是：价格究竟会变动多少？这正是久期（Duration）帮我们衡量的指标。

你可以把久期想象成衡量一组现金流“敏感度”或“波动性”的方法。无论你是在管理退休基金还是单纯的债券组合，理解久期都是管理利率风险的关键。别担心现在觉得这些概念有点抽象——我们会把它拆解成简单易懂的内容！

1. 麦考利久期（Macaulay Duration）：现金流的“重心”

想象你在手指上平衡一块长木板。如果木板两端有重物，“平衡点”就是重心所在。麦考利久期（\(D_{mac}\)）本质上就是一系列现金流在时间维度上的“重心”。

它是指收到所有现金流的加权平均时间。我们不是按金额大小来分配权重，而是按这些金额的现值（Present Value, PV）来分配。

公式

如果我们在时间 \(t\) 收到支付款 \(R_t\)，则麦考利久期的公式为：

\(D_{mac} = \frac{\sum t \cdot v^t \cdot R_t}{\sum v^t \cdot R_t}\)

等等！让我们简化一下。分母 \(\sum v^t \cdot R_t\) 其实就是该资产的价格（Price, P）。所以：

\(D_{mac} = \frac{\sum t \cdot PV(R_t)}{Price}\)

现实生活的类比

想象一个每年派发利息的 10 年期债券。你并不是等到第 10 年才拿到所有钱；你在第 1 年拿到一部分，第 2 年又拿到一部分，以此类推。麦考利久期告诉你，平均而言，你需要等待（例如）8.2 年才能收回你的投资价值。

麦考利久期的重要性质

1. 零息债券（Zero-Coupon Bonds）： 对于在 \(n\) 时刻支付的零息债券，麦考利久期刚好就是 \(n\)。这是因为只有一笔支付款，所以“平均”时间就是该日期！
2. 附息债券（Coupon Bonds）： 对于任何在到期前支付利息的债券，麦考利久期永远小于到期期限。
3. 利率影响： 随着利率 \(i\) 上升，麦考利久期会下降（因为未来的现金流被折现得更多，使得较早期的支付款在权重中占比变得更“重”）。

快速回顾： 麦考利久期 = 加权平均时间。它的单位是年（或是你设定的时间单位）。

2. 修正久期（Modified Duration）：敏感度计量器

麦考利久期告诉我们的是时间，而修正久期（\(D_{mod}\)）告诉我们的是价格变动。它衡量的是利率变动 1% 时，价格的百分比变化。

两者的关系

这两者之间有一个非常简单的数学联系。如果 \(i\) 是年度实际利率（effective interest rate）：

\(D_{mod} = \frac{D_{mac}}{1+i} = v \cdot D_{mac}\)

注意：如果题目给出的是每年复利 \(m\) 次的名义利率，公式则变为 \(D_{mod} = \frac{D_{mac}}{1 + \frac{i^{(m)}}{m}}\)。

为什么要用它？

修正久期的主要用途是作为价格变动的线性近似值（Linear Approximation）：

\(\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta i\)

例子： 如果一个债券的修正久期为 7，而利率上升了 0.5% (0.005)，那么债券价格大约会下跌 \(7 \cdot 0.005 = 3.5\%\)。

你知道吗？ 公式中的负号是因为价格和利率呈反向变动。当利率上升，价格就下跌！

3. 分步教学：如何计算久期

别让长长的公式吓倒你。在应对 Exam FM 的久期题目时，请遵循以下步骤：

第 1 步： 列出所有时间 \(t\) 和现金流 \(R_t\)。
第 2 步： 使用给定的利率计算每一笔现金流的现值（PV）。
第 3 步： 将这些 PV 相加，算出总价格（P）。
第 4 步： 将每一笔支付款的 PV 乘以对应的时间 \(t\)，并将结果相加，得到 \(\sum t \cdot PV(R_t\)。
第 5 步： 用第 4 步的结果除以价格（第 3 步的结果）。这就是你的麦考利久期。
第 6 步： 如果题目要求的是修正久期，再将你的答案除以 \((1+i)\)。

常见错误： 许多学生最后忘记除以价格。请记住，久期是一种平均值，所以你必须除以总“权重”（即价格）。

4. 投资组合的久期

久期最酷的地方之一是它很容易组合计算。如果你有一个包含多种债券的投资组合，你不需要从头重新计算每一项。

投资组合的久期是各个资产久期的加权平均值，权重为这些资产的市场价值（Market Value）。

\(D_{port} = \sum w_j \cdot D_j\)

其中 \(w_j = \frac{Price_j}{Total Price}\)。

例子： 你持有价值 $400 的债券 A（久期 = 3）和价值 $600 的债券 B（久期 = 8）。
总价值 = $1,000。
\(D_{port} = (\frac{400}{1000} \cdot 3) + (\frac{600}{1000} \cdot 8) = 1.2 + 4.8 = 6.0\)。

5. 总结与关键要点

我们已经涵盖了 Exam FM 中久期的核心支柱。以下是你需要记住的重点：

1. 麦考利久期 (\(D_{mac}\))： 现金流的时间加权平均。想成是“平衡点”。
2. 修正久期 (\(D_{mod}\))： 价格对利率变动的百分比敏感度。想成是“波动性”。
3. 两者联系： \(D_{mod} = \frac{D_{mac}}{1+i}\)。
4. 价格预测： \(\Delta P \approx -P \cdot D_{mod} \cdot \Delta i\)。
5. 零息债券法则： 零息债券的麦考利久期即为其到期期限。

给考试的最后提示： 如果题目没有指定使用哪种久期，请观察单位。如果题目提到“百分比变动”，那通常是修正久期；如果要求“平均时间”，那就是麦考利久期。你一定没问题的！