BAFS复习笔记：货币时间价值
哈喽同学们！欢迎来到财务学中最重要概念之一：货币时间价值 (TVM)。听起来很复杂？不用担心！它的核心概念超级简单：你今日拥有的钱，会比未来相同数额的钱更有价值。
为什么会这样呢？因为你今日拥有的钱，可以用来赚更多的钱！你可以将它存入银行赚取利息，或者拿去投资。这个章节会教你如何比较不同时点的钱的价值，这是个人和商业作出精明财务决策的关键技巧。
一起来揭开钱如何随着时间增值的奥秘吧！
核心概念：今日的一元，胜过明日的一元
想象你朋友给你一个选择：今日收$100，还是一年后收$100？你会怎么选？大部分人当然是选今日收$100啦！这就是货币时间价值的核心。
原因如下：
- 赚取利息的机会： 你今日可以将$100存入银行，等它增值。如果银行提供2%利息，一年后你就会有$102。你今日的$100有潜力在将来变成多于$100。
- 通胀： 商品和服务的价格通常会随着时间上升 (这就是通胀)。你今日有的$100，可以买到比一年后同样的$100更多的东西。
这样想吧：今日的钱就好像一粒种子。你可以将它种下去 (投资)，随着时间，它就会生长成一棵更大的树 (更多的钱！)。
重点提示
钱之所以有“时间价值”，就是因为它有赚取利息的潜力。所以我们不可以直接比较不同时期的钱的价值。
未来值 (FV) 和复利计算的魔力
未来值 (FV) 是指一笔钱在未来某个特定日期的价值，假设它会赚取利息。简单来说，就是计算一下你的钱将来会增长到多少。
什么是复利计算？
复利计算 是指你不但赚取原本本金 (principal) 的利息，还会赚取你已经赚到的利息。它就好像一个雪球从山上滚下来一样—越滚越大，越滚越快！据说爱因斯坦都称复利计算为“世界第八大奇迹”。
例子：假设你将$1,000存入一个每年支付5%利息的银行账户。
- 第一年后： 你赚取 $1,000 x 5% = $50 利息。你的新余额是$1,050。
- 第二年后： 你现在会在$1,050上面赚取利息！所以你赚取 $1,050 x 5% = $52.50 利息。你的新余额是$1,102.50。留意你在第二年赚取了更多利息！
- 第三年后： 你会在$1,102.50上面赚取利息。所以你赚取 $1,102.50 x 5% = $55.13 利息。你的新余额是$1,157.63。
你在之前的利息上赚取的额外利息，就是复利计算的威力！
未来值公式
与其逐年计算，我们可以用一个简单的公式。就算它一开始看起来有些难，也不用担心，我们会逐一为你讲解！
$$FV = PV \times (1 + r)^n$$其中：
- FV = 未来值 (你将来会有的金额)
- PV = 现值 (你今日开始投资的金额)
- r = 每期利率 (通常是每年)
- n = 期数 (通常是年数)
分步计算例子
问题：你今日投资$5,000入一个每年支付4%利息的账户。三年后你的投资的未来值会是多少？
- 找出变量：
PV = $5,000
r = 4% 或 0.04
n = 3 年 - 写下公式：
$$FV = PV \times (1 + r)^n$$ - 将数值代入公式：
$$FV = \$5,000 \times (1 + 0.04)^3$$ $$FV = \$5,000 \times (1.04)^3$$ $$FV = \$5,000 \times 1.124864$$ - 计算最终答案：
$$FV = \$5,624.32$$
所以，你的$5,000在三年后就会增长到$5,624.32！
重点提示
复利计算 是将钱的价值随时间向前推进，以找出它的未来值 (FV)的过程。它的精髓就是赚取“利上加利”。
现值 (PV) 和折现的艺术
现值 (PV) 是指未来一笔钱今日的价值。它和未来值完全相反。我们不是问“我的钱会增长到多少？”，而是问“我今日需要多少钱才可以将来达到某个金额？”。
什么是折现？
折现 是找出现值的过程。它就好像将钱的增长“倒带”一样。如果复利计算是一个雪球向前滚落山，那么折现就是计算这个雪球在山顶最初有多小。
这个对你了解将来一笔钱的承诺现在实际值多少很有用。
现值公式
我们可以透过重新排列未来值公式来得到现值公式。它是同一个概念，只是从不同的角度去看。
$$PV = \frac{FV}{(1 + r)^n}$$其中变量的意思都一样：
- PV = 现值 (今日的价值)
- FV = 未来值 (你将来会收到的金额)
- r = 利率 (在这里亦称为“折现率”)
- n = 期数
分步计算例子
问题：你想三年后账户有$10,000来去旅行。如果银行提供每年5%的利率，你今日需要存入多少钱 (现值)？
- 找出变量：
FV = $10,000
r = 5% 或 0.05
n = 3 年 - 写下公式：
$$PV = \frac{FV}{(1 + r)^n}$$ - 将数值代入公式：
$$PV = \frac{\$10,000}{(1 + 0.05)^3}$$ $$PV = \frac{\$10,000}{(1.05)^3}$$ $$PV = \frac{\$10,000}{1.157625}$$ - 计算最终答案：
$$PV = \$8,638.38$$
这意味着你今日需要投资$8,638.38，才可以三年后拥有$10,000。看看？未来的$10,000今日只是值$8,638.38！
快速重温
- 未来值 (FV)： 找出你今日拥有的钱在未来的价值。(将钱的价值在时间上向前推进)
- 现值 (PV)： 找出你将来会收到的钱在今日的价值。(将钱的价值在时间上向后倒推)
重点提示
折现 是将未来的钱带回到现时，以找出它的现值 (PV)的过程。它可以帮助你了解未来现金流在今日的真实价值。
净现值 (NPV) — 作出精明投资决策
既然你了解了现值和未来值，现在可以学一个强大的决策工具：净现值 (NPV)。企业时常都用它来决定一个项目或投资值不值得做。
这个概念很简单：你比较今日投资的成本和它将来会为你带来的所有钱的价值。但要记住，我们不可以就这样将未来的钱加在一起！我们首先要将所有未来的现金流入折现，找出它们的现值。
净现值公式及决策准则
净现值 (NPV) = (所有未来现金流入的现值总和) - 初始投资
当你计算出净现值后，就可以用这个简单的规则：
- 如果 净现值是正数 (> 0)：接受这个项目。预计它会有盈利，并会增加价值。
- 如果 净现值是负数 (< 0)：拒绝这个项目。预计它会亏钱。
- 如果 净现值是零 (= 0)：你可视为无所谓。项目预计会赚取到所需的回报率，但不会更多。
净现值分步计算
问题：一间公司正考虑一个今日成本为$2,000的项目。这个项目预计会在第一年产生$900的现金流入，第二年$800，第三年$700。公司要求的汇报率 (折现率) 是6%。公司应该接受这个项目吗？
这个看起来好像很多东西一样，但其实只是重复你已经懂的现值计算。让我们一步一步来做。
- 找出每个未来现金流入的现值：
第一年现金流的现值：$$PV = \frac{\$900}{(1.06)^1} = \$849.06$$ 第二年现金流的现值：$$PV = \frac{\$800}{(1.06)^2} = \$711.99$$ 第三年现金流的现值：$$PV = \frac{\$700}{(1.06)^3} = \$587.72$$ - 将所有现值加总：
现金流入总现值 = $849.06 + $711.99 + $587.72 = $2,148.77 - 减去初始投资：
净现值 = 现金流入总现值 - 初始投资
净现值 = $2,148.77 - $2,000
净现值 = $148.77 - 根据净现值规则做出决策：
净现值是$148.77，是正数。因此，公司应该接受这个项目。
常见错误提醒！
一个常见的错误是忘记将未来的现金流折现。记住，你不可以就这样将$900 + $800 + $700加起来然后和成本比较。你必须先找出每笔流入的现值！
重点提示
净现值 是一个决策工具。它会告诉你一项投资以今日的价值来计算，会为你带来多少增值，帮助你拣选有利可图的项目。
名义回报率 vs. 实际回报率
当你见到广告上的利率时，它是不是就是全部的真相呢？不是那么简单！这个时候，我们就要分清楚两种不同的利率了。
名义回报率
名义回报率 是指公布或广告上列出的年利率。它是一个简单的利率，并没有计入一年内复利计算的强大影响。它只是一个“标题”数字。
例子：银行广告宣传“每年12%利息”。这个12%就是名义回报率。
实际回报率
实际回报率 (亦称为实际年利率或 EAR) 是你实际赚取的真正年利率。它考虑了一年内复利计算多次 (例如，每半年、每季或每月) 所产生的影响。
为什么会有分别？
如果利息每年复利计算的次数多于一次，你会更早开始赚取“利上加利”。这会令你的钱增长得更快，所以你实际赚取的*实际*利率会高于*名义*利率。
让我们用一个简单的例子来说明。你手上有$1,000，而名义回报率是每年12%。
- 情况一：每年复利计算 (一年一次)
利息 = $1,000 x 12% = $120。
你的总额是$1,120。实际回报率是12%。 - 情况二：每半年复利计算 (一年两次)
每半年的利率是 12% / 2 = 6%。
六个月后：$1,000 x 6% = $60 利息。你的余额是$1,060。
再过六个月后：$1,060 x 6% = $63.60 利息。你的最终余额是$1,123.60。
总共赚取的利息是$123.60。所以实际回报率是12.36%！
如你所见，虽然两种情况下的名义回报率都是12%，但当利息更频繁地复利计算时，你赚到更多钱。这表示实际回报率更高。
快速重温
- 名义回报率： 广告上列出的简单年利率。
- 实际回报率： 考虑复利计算后，你实际赚取的真正年利率。
- 如果利息每年复利计算超过一次，那么实际回报率将永远高于名义回报率。
重点提示
实际回报率 比名义回报率 更能准确反映你投资的回报，因为它计入了复利计算的影响。它令你可以真正比较不同的投资选择。