數據表示

章节：数据表示——从我们的世界到电脑的世界

大家好！你有没有想过，你的电脑是怎样理解你正在看的照片、听的音乐，甚至是你现在正在阅读的文字呢？这可不是魔法！电脑有它自己一套独特的语言，而在这一章，我们将学习如何“说”这种语言。我们会一起探索各种信息——从一个简单的数字到一段复杂的影片——是如何被转化成电脑能够理解的格式。

理解这一点是信息及通讯科技（ICT）中一项非常基础的技能，这就像在学会阅读前，必须先学习字母表一样。让我们一起深入探索并解读数字世界吧！

1. 类比数据与数字数据：两个世界

在我们的世界里，大部分事物都是类比的。而在电脑的世界里，一切都是数字的。让我们来看看这代表什么。

什么是类比数据？

想象一下电灯的调光器，你可以平稳地转动旋钮，获得从完全关闭到完全亮起之间，无限种亮度的级别。

类比数据是连续的，意思是它在一个范围内可以有无穷多的数值。

• 真实世界例子：你的声音声波、房间的温度、真实日落中的颜色。

什么是数字数据？

现在，想想一个标准的电灯开关。它只有两个位置：开（ON）或关（OFF）。两者之间没有任何中间状态。

数字数据是离散的，意思是由固定数量的独立数值来表示。在电脑中，这被简化为两个数值：0（关闭）和1（开启）。每一个0或1都称为一个位元（英文binary digit的缩写）。

• 真实世界例子：书中的文字（由独立的字母组成）、足球比赛的比分、你今天走的步数。

不同世界间的转换

电脑无法理解真实世界中平稳、连续的性质。因此，我们需要将类比数据转换为数字数据，电脑才能够处理。

• 类比转数字转换（ADC）：这是指我们捕捉真实世界的数据并将其转化为0和1。
  例子：用手机麦克风录制你的声音。麦克风捕捉类比声波，手机的硬件将其转换为数字音频文件。

• 数字转类比转换（DAC）：这是指电脑将其0和1转换回我们可以体验的事物。
  例子：播放MP3文件。电脑将数字数据发送到你的耳机或扬声器，这些设备将数据转换回你可以听到的类比声波。

为什么电脑“钟情”数字数据？

那么，为什么要这么麻烦呢？我们为什么不直接建造类比电脑呢？信息技术（IT）系统使用数字数据有几个主要原因：

• 可靠性：数字信号更具抗干扰能力（噪声）。即使“1”有点失真，它仍然是“1”，但类比信号的任何失真都会改变信息本身。

• 完美复制：你可以将数字文件复制数百万次，最后一个副本也会与第一个副本一模一样。想想复制MP3文件和复制旧式卡式录音带的区别——录音带的质量会随着每次复制而变差！

• 易于处理：电脑本质上是由数十亿个微型开关（晶体管）组成的，这些开关只能处于开启或关闭状态。这与数字数据的1和0完美匹配。

• 高效存储：大量的数字数据可以存储在非常小的物理空间中（例如在一张微型内存卡上）。

位元的力量

你使用的位元数量决定了你可以表示多少种不同的事物。关系很简单：使用 n 个位元，你可以创建 $$2^n$$ 种独特的组合。

• 1个位元可以表示 $$2^1$$ = 2 种事物（例如：开/关、真/假）

• 2个位元可以表示 $$2^2$$ = 4 种事物（例如：00, 01, 10, 11）

• 3个位元可以表示 $$2^3$$ = 8 种事物（例如：八种不同的颜色）

• 一组8个位元称为一个字节。一个字节可以表示 $$2^8$$ = 256 种不同的组合。

这个简单的原理是接下来所有内容的基础！

重点提示

真实世界的数据大多是类比（连续）的，但电脑只理解数字数据（离散值，即0和1）。我们在这两种形式之间进行转换，以便与电脑互动。电脑使用数字数据是因为它可靠、易于完美复制，并且处理和存储效率高。

2. 数字系统：电脑的语言

我们习惯使用十进制（基数为10）系统，它使用十个数字（0-9）。电脑则使用基于2的幂次的其他系统。让我们学习如何在这几种系统之间转换。别担心，这就像学习一种新的密码一样！

十进制（基数10）转二进制（基数2）

要将十进制数字转换为二进制，我们使用重复除以2的方法。

循序渐进指南：将十进制25转换为二进制

1. 将数字除以2，并记下余数。
2. 使用结果（商）作为你的新数字，并重复此过程。
3. 持续进行，直到结果为0。
4. 二进制数字是从底部向上读取的余数。

25 ÷ 2 = 12 余数 1
12 ÷ 2 = 6 余数 0
6 ÷ 2 = 3 余数 0
3 ÷ 2 = 1 余数 1
1 ÷ 2 = 0 余数 1

从底部向上读取余数，我们得到 11001。所以，$$25_{10} = 11001_2$$。

二进制（基数2）转十进制（基数10）

要将二进制转换为十进制，我们使用位值，这些位值是2的幂次。

循序渐进指南：将二进制11001转换为十进制

1. 写下二进制数字。
2. 在每个数字上方（从右到左），写下它的位值，从 $$2^0=1$$ 开始，然后是 $$2^1=2$$、$$2^2=4$$，依此类推。
3. 将所有为 1 的数字对应的位值加起来。

位值：  16   8   4   2   1
二进制数字：  1    1   0   0   1

现在，将有“1”的位值相加：$$16 + 8 + 1 = 25$$。所以，$$11001_2 = 25_{10}$$。成功了！

十六进制（基数16）

二进制数字会变得非常长，难以让人阅读。十六进制（或简称Hex）是一种基数为16的系统，用作二进制的速记。它使用数字0-9，然后用字母A-F来表示数值10-15。

十六进制数字：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15)

二进制与十六进制之间的转换

这是最简单的部分！因为 $$16 = 2^4$$，所以每一个十六进制数字都恰好对应 四个 二进制数字。

记忆辅助：二进制转十六进制转换表

0000 = 0   |   0100 = 4   |   1000 = 8   |   1100 = C (12)
0001 = 1   |   0101 = 5   |   1001 = 9   |   1101 = D (13)
0010 = 2   |   0110 = 6   |   1010 = A (10) |   1110 = E (14)
0011 = 3   |   0111 = 7   |   1011 = B (11) |   1111 = F (15)

循序渐进指南：二进制转十六进制

将二进制数字11011010转换为十六进制。

1. 将二进制数字从右边开始，分成每4位一组。
1101 1010
2. 使用表格将每组4位元的数字转换为其十六进制等效值。
1101 = D
1010 = A
3. 组合结果。所以，$$11011010_2 = DA_{16}$$。

循序渐进指南：十六进制转二进制

将十六进制数字5F转换为二进制。

1. 独立取出每个十六进制数字。
5     F
2. 将每个数字转换为其4位元二进制组。
5 = 0101
F = 1111
3. 组合结果。所以，$$5F_{16} = 01011111_2$$。

你知道吗？十六进制常被用于网页设计中表示颜色。例如，#FF0000代表纯红色。前两位数字（FF）代表红色，接下来的两位（00）代表绿色，最后两位（00）代表蓝色。

重点提示

电脑使用二进制（基数2）。我们使用十进制（基数10）。十六进制（基数16）是长二进制数字的便捷速记方式。你必须能够在这三种系统之间进行转换。关键是记住转换方法：重复除法和位值。

3. 处理负数：二补数

到目前为止，我们只看过正数。但是电脑如何表示-25呢？它不能只是在1和0前面加上一个负号。最常用的方法称为二补数。

即使一开始觉得有点难，也别担心，这是一个你可以循序渐进学习的过程。我们将使用一个8位元数字作为例子。在一个8位元的带符号数字中，第一个位元（即最高有效位，简称MSB）告诉我们它的符号：0代表正数，1代表负数。

如何寻找二补数

循序渐进指南：使用8位元二补数表示-25

1. 从正数的二进制表示开始。
首先，找出+25的二进制。我们知道它是11001。在8位元中，我们加上前导零：$$00011001$$。

2. 翻转所有位元。
将每个0翻转为1，每个1翻转为0。这一步骤称为“一补数”。
由：0001 1001
转为：1110 0110

3. 结果加1。
将翻转后的数字加1。
    1110 0110
+                 1
-----------------
=   1110 0111

所以，在8位元二补数中，-25 表示为 11100111。请注意，第一个位元是1，表示这是一个负数！

为什么要用这种特别的方法？

主要原因是它使电脑的减法变得异常简单。要减去一个数字，电脑只需加上它的负数版本。所以，$$10 - 5$$ 会变成 $$10 + (-5)$$。这意味着电脑的电路（算术逻辑单元，ALU）只需要知道如何进行加法运算，从而简化了其设计。

重点提示

二补数是电脑中表示负整数的标准方法。要找到一个数字的二补数，你首先要将它转换为正数的二进制形式，然后翻转所有位元，再加1。

4. 二进制算术：电脑如何计算

现在我们知道如何表示正数和负数了，接下来让我们看看电脑是如何进行简单计算的。

二进制加法

二进制加法遵循四个简单的规则：

• 0 + 0 = 0

• 0 + 1 = 1

• 1 + 0 = 1

• 1 + 1 = 0，并向前一位进位1。

例子：将9 (1001) 和 5 (0101) 相加

       ₁         (进位)
      1 0 0 1     (9)
+     0 1 0 1     (5)
--------------
      1 1 1 0     (14)

让我们验证一下：8+4+2 = 14。没错！

使用二补数进行二进制减法

正如我们之前提到的，电脑在减法上会“简化步骤”。要计算 A - B，电脑实际上会执行 A + (-B)，其中 -B 是 B 的二补数。

例子：使用8位元二补数计算 9 - 5

1. 表示数字：
+9 = 0000 1001
+5 = 0000 0101

2. 寻找你要减去的数字（-5）的二补数：
+5 = 0000 0101
翻转：1111 1010
加1：1111 1011（这就是-5）

3. 将第一个数字和二补数结果相加：
              _{1 1 1   1 1}   (进位)
      0000 1001   (9)
+     1111 1011   (-5)
-----------------
    (1)0000 0100   (4)

我们得到答案0000 0100，即4。请注意，最后有一个额外的“进位”位元。在使用二补数进行减法时，我们只需忽略这个最终的进位位元。

溢出错误

电脑使用固定数量的位元来存储数字（例如8位元、16位元）。如果计算结果太大而无法容纳怎么办？这称为溢出错误。

快速复习：数字范围

一个n位元空间可以容纳一定范围的数字。例如，使用8位元二补数：

• 最小的数字是-128 ($$-2^{7}$$)

• 最大的数字是+127 ($$2^{7} - 1$$)

溢出错误例子

让我们用8位元来相加100 + 50。结果应该是150。

100 = 0110 0100
50 = 0011 0010

          ₁             (进位)
      0110 0100   (100)
+     0011 0010   (50)
-----------------
      1001 0110

我们得到的答案是10010110。看看第一个位元！它是1，这表示电脑认为这是一个负数。我们将两个正数相加，却得到了一个负数结果。这明显是一个溢出错误的迹象。数字150太大，无法放入一个8位元的带符号整数中。

避免常犯错误

溢出只会发生在以下情况：

• 你将两个正数相加，而结果的符号位元是1（负数）。

• 你将两个负数相加，而结果的符号位元是0（正数）。

将一个正数和一个负数相加绝不会导致溢出。

重点提示

电脑使用简单的规则执行加法，并透过加上二补数来处理减法。当计算结果超出可用位元数所能存储的值范围时，就会发生溢出错误。

5. 字符表示法：从“A”到“字”

数字很棒，但是文字呢？电脑是如何存储字母“A”或字符“?”的呢？答案很简单：每个字符都被分配一个唯一的二进制数字。这些分配在称为字符集的标准中定义。

ASCII（美国信息交换标准码）

这是最早且最简单的标准之一。

• 它使用7位元，可以表示 $$2^7 = 128$$ 种不同的字符。

• 这足以表示所有英文大写和小写字母、数字0-9以及常用的标点符号。

• 后来，“延伸ASCII”使用8位元（$$2^8 = 256$$ 个字符）来添加一些欧洲语言的符号和字符。

ASCII的问题：256个字符远不足以表示世界上所有语言的字符！

大五码（Big-5）和国标码（GB）

为了解决中文的问题，创建了不同的字符集。

• 大五码（Big-5）：台湾和香港常用的一种标准，用于表示繁体中文字符。

• 国标码（GB）：中国大陆常用的一种标准，用于表示简体中文字符。

这些的问题：这些系统可能会产生冲突。一个使用大五码编码的文档，在预期使用国标码的系统上会显示为乱码。这造成了很大的混淆。

万国码（Unicode）

万国码是现代的通用解决方案。

• 它的目标是为每种语言中的每个字符提供一个唯一的数字，无论使用什么平台或程序。

• 它可以表示超过140,000个字符，包括现代和历史文字、符号，甚至表情符号！😊

• UTF-8是实现万国码最常见的方式，并且是全球资讯网（World Wide Web）上主流的字符编码。

万国码通过为所有人创建一个庞大、通用的字符集，解决了标准冲突的问题。

重点提示

字符由字符集中定义的唯一二进制代码表示。ASCII是早期用于英文的标准。大五码（Big-5）和国标码（GB）是为中文开发的，但可能产生冲突。万国码（Unicode）是现代的通用标准，旨在包含每种语言中的每个字符，解决了这些冲突。一个字符集使用的位元越多，它能表示的字符就越多。

重要提示：你的考试需要你知道这些标准的目的，而不是记住任何字母的特定二进制代码！

6. 数字化多媒体：将图像、声音和影片变为现实

我们已经讲了数字和文字，那么我们每天使用的丰富媒体呢？所有多媒体也必须进行数字化（转换为二进制）。

表示图像

最常见的数字图像类型是位图（或称点阵图）。

• 想象图像是一个网格。网格中的每个方格都是一个像素（图像元素）。

• 电脑存储每个像素的颜色值。

• 分辨率：网格中的像素数量（例如，1920 x 1080）。更高的分辨率意味着更清晰的图像，但文件大小会更大。

• 色深：用于存储每个像素颜色的位元数。更多的位元意味着更多可能的颜色，但文件大小也会更大。例如，24位元“真彩色”使用8位元表示红色，8位元表示绿色，8位元表示蓝色，可以表示 $$2^{24}$$ （约1670万）种不同的颜色！

图像文件格式

• BMP（位图）：无压缩。存储每个像素的数据。这意味着完美的图像品质，但文件大小非常大。

• JPG/JPEG（联合图像专家组）：使用有损压缩。它巧妙地丢弃了人眼最不容易察觉的一些图像数据。这大大减小了文件大小，非常适合网页上的照片。然而，部分品质会永久损失。

• PNG（可携带式网络图像）：使用无损压缩。它找到了巧妙的方法来更有效地存储像素数据，而不会丢弃任何数据。品质是完美的（如同BMP），但文件大小较小。它非常适合图形、标志和需要透明背景的图像。

表示声音

要将连续的声波数字化，需要使用一种称为抽样（或采样）的过程。

• 声波的高度（振幅）以每秒数千次的固定间隔进行测量。

• 每个测量值，或称“样本”，都以二进制数字存储。

• 当你播放声音时，电脑读取这些数字并生成一个声波，这个声波与原始声波非常接近。

声音文件格式

• WAV（波形音频文件）：无压缩音频。它存储每个样本的值。这提供了卓越的录音室级别品质，但文件非常大（一分钟音乐约10MB）。

• MP3（MPEG音频层-3）：使用有损压缩。就像图像的JPG一样，它会移除人类最不可能听到的部分声音。这大大减小了文件大小（一分钟音乐约1MB），使其非常适合便携式音乐播放器和流媒体。

表示影片

影片比你想象的要简单：它只是一系列非常快速显示的图像（称为影格或帧），并结合了一条音轨。

• 帧率（每秒影格数，或fps）决定了运动的流畅度。常见的帧率是24、30和60 fps。

• 影片文件几乎总是经过压缩的，因为未压缩的影片数据量非常庞大。

影片文件格式

• AVI（音频视频交错）：一种较旧的容器格式。它可以容纳以多种不同方式压缩的影片和音频。文件大小差异很大。

• MPEG-4（或MP4）：一种现代标准，使用非常高效的方法进行高度压缩。它能在相对较小的文件大小下提供良好的影片品质，使其成为在线影片（例如在YouTube上）和移动设备最流行的格式。

文件格式

• TXT（纯文本）：只存储字符本身（使用ASCII或万国码）。没有粗体、斜体或字体大小等格式。文件大小非常小。

• PDF（可携带式文件格式）：以固定版面存储文字、字体、图像和格式。文件在任何电脑上看起来都会一样，这是它的主要优点。

• DOCX / ODT：这些是文字处理器（如Microsoft Word的DOCX和LibreOffice Writer的ODT）使用的复杂格式。它们存储文字、格式信息、图像、表格等等。

重点提示

所有多媒体都是数字化的。图像是像素的网格。声音透过抽样声波来捕捉。影片是一系列带有音频的图像影格。文件格式使用不同的压缩技术来管理文件大小。无损压缩在不损失品质的情况下减小大小（PNG）。有损压缩使文件小得多，但会永久移除一些数据（JPG、MP3）。