函數的導數

M1 微积分：函数导数研习笔记

同学们好！欢迎来到 M1 微积分其中一个最重要课题的研习笔记：导数。即使名称听起来很深奥也不必担心，我们会将它拆解成简单易懂的部分。

那么你会学到什么呢？我们会从基础概念“极限”开始讲起。然后，我们会探索导数究竟是什么（剧透：它全部都是关于变动率的！），还会学会强大的法则，让我们可以轻轻松松地找到导数。你可以想象这是学会如何找到一辆汽车在某个瞬间的准确速度，或者是过山车在轨道上任何一点的精确斜率。这是一个超有用的工具！

第一部分：基础 - 理解极限

学行先于学跑。在微积分中，“极限”就是我们的第一步。导数的整个概念都是奠基于此的。

那么，什么是极限？

想象你正走向一面墙。你每一步都走剩余距离的一半。你越来越近，但永远都碰不到那面墙。这面墙就是你的极限。它是一个函数当输入值越来越接近某个数字时，“趋近”的数值。

我们会这样写函数 f(x) 当 x 趋近数字 c 的极限：

$$ \lim_{x \to c} f(x) = L $$

这个意思就是：“当 x 变得非常非常接近 c 的时候，f(x) 的数值就会变得非常非常接近 L”。

如何找到极限（简单方法）

对于你们会见到的大部分函数（例如多项式），找到极限最简单的方法就是直接代入。将 x 趋近的数值直接代入函数就可以了！

例子：找到 $$ \lim_{x \to 2} (x^2 + 3x) $$

步骤一： 将 x = 2 直接代入表达式。
步骤二： 计算结果。
$$ (2)^2 + 3(2) = 4 + 6 = 10 $$

所以，$$ \lim_{x \to 2} (x^2 + 3x) = 10 $$。很简单，对吗？

小心！0/0 问题

有时，直接代入会得到 $$ \frac{0}{0} $$，这叫做不定型。这是红灯！这不是说极限不存在；只是我们需要先做一些代数运算。

例子：找到 $$ \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} $$

如果我们代入 x = 3，我们会得到 $$ \frac{3^2 - 9}{3 - 3} = \frac{0}{0} $$。是时候做代数了！

步骤一：将表达式因式分解。留意分子是平方差。
$$ \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} $$步骤二：约去公因式。
$$ \frac{\cancel{(x-3)}(x+3)}{\cancel{x-3}} = x+3 $$步骤三：现在，再试一次直接代入。
$$ \lim_{x \to 3} (x+3) = 3 + 3 = 6 $$

所以，极限是 6！

极限：重点撮要

极限是函数趋近的数值。对于大部分问题，你可以用直接代入的方法找到它。如果你得到 $$ \frac{0}{0} $$，就要用你的代数技巧（例如因式分解）来先将表达式化简。

第二部分：导数简介

现在来到重点了！到底这个“导数”是什么呢？

导数就是斜率！

想象一条蜿蜒起伏的山路。它的陡峭程度处处不同。导数就好像一个魔法公式，它可以告诉你这条路在你所选择的任何一个点的精确陡峭度（斜率）。

导数衡量瞬时变动率。

• 如果 f(x) 是汽车的位置，它的导数 f'(x) 就是它的瞬时速度。
• 如果 C(x) 是生产物品的成本，它的导数 C'(x) 就是边际成本（生产多一件物品的成本）。

正式概念：导数的基本定义

导数的官方定义是用极限来表达的。它看起来有些复杂，但概念很简单。我们找到两个超级接近的点之间的斜率，然后看看当它们之间的距离趋近零的时候会发生什么。

定义是：

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

别担心！HKDSE 课程大纲说明你只需要“认识”这个概念。你不会被要求用这条公式来计算导数。我们有简单很多的法则来做这件事，我们之后就会学到！

符号，符号，符号！

有几种不同的方法来写“函数的导数”。它们都是同一个意思，所以要熟习它们！

如果我们的函数是 y = f(x)，它的导数可以写成：

• f'(x) (读作“f prime of x”)
• y' (读作“y prime”)
• $$ \frac{dy}{dx} $$ (读作“d y d x”)

要表示在某个特定点的导数，例如 x = 2，我们会写：

• f'(2)
• $$ \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=2} $$

导数：重点撮要

导数提供你曲线上任何一点的切线斜率。它代表瞬时变动率。它有几种不同的写法，例如 f'(x) 和 $$ \frac{dy}{dx} $$。

第三部分：你的微分工具箱（法则！）

这是真正有趣的部分开始了！这些法则是你找到导数的捷径，而不需要用到复杂的极限定义。

基本法则（核心）

一、常数法则

任何常数的导数都是零。

$$ \frac{d}{dx}(C) = 0 $$

类比：想象一下 y = 5 的图像。它是一条水平直线。它的斜率是多少？零！
例子：如果 f(x) = 10，那么 f'(x) = 0。

二、幂法则

这是你最常用的法则！要找到 x 的幂数的导数，你将指数“带下来”前面，然后将原有的指数减一。

$$ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} $$

助记口诀：“指数移前面，指数先减一。”

例子一：找到 $$ y = x^4 $$ 的导数
$$ \frac{dy}{dx} = 4x^{4-1} = 4x^3 $$

例子二：找到 $$ f(x) = \sqrt{x} $$ 的导数
首先，将平方根写成幂数形式：$$ f(x) = x^{1/2} $$
现在，用幂法则：$$ f'(x) = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} $$

三、常数倍数及和/差法则

这些法则很直观。

• 常数倍数：你可以将常数抽到前面。 $$ \frac{d}{dx}(k \cdot f(x)) = k \cdot f'(x) $$
• 和/差：你可以逐项微分函数。 $$ \frac{d}{dx}(f(x) \pm g(x)) = f'(x) \pm g'(x) $$

例子：找到 $$ y = 5x^3 - 2x^2 + 7 $$ 的导数
逐项进行微分：
$$ \frac{dy}{dx} = 5 \cdot (3x^2) - 2 \cdot (2x^1) + 0 $$$$ \frac{dy}{dx} = 15x^2 - 4x $$

“三大”进阶法则

这些法则是用处理更复杂的函数，例如它们是相乘、相除或者复合而成的。

一、乘法则

当你有两个函数相乘的时候使用，例如 $$ f(x) = u(x) \cdot v(x) $$。

$$ \frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} $$

助记口诀：“第一个函数乘以第二个函数的导数，加上第二个函数乘以第一个函数的导数。”

例子：找到 $$ y = x^2 \ln(x) $$ 的导数
在这里，u = x² 和 v = ln(x)。
所以，$$ \frac{du}{dx} = 2x $$ 和 $$ \frac{dv}{dx} = \frac{1}{x} $$
代入公式：
$$ \frac{dy}{dx} = (x^2) \cdot \left(\frac{1}{x}\right) + (\ln x) \cdot (2x) $$$$ \frac{dy}{dx} = x + 2x \ln x $$

常见错误警示！你不能就这样将导数相乘。 $$ (uv)' \neq u'v' $$

二、商法则

当你有有一个函数除以另一个函数的时候使用，例如 $$ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $$。

$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2} $$

助记口诀（唱出来吧！): “下乘上导减上乘下导，再除以以下的平方！”

例子：找到 $$ y = \frac{e^x}{x^3} $$ 的导数
在这里，u = eˣ (上) 和 v = x³ (下)。
所以，$$ \frac{du}{dx} = e^x $$ 和 $$ \frac{dv}{dx} = 3x^2 $$。
代入公式：
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{(x^3)(e^x) - (e^x)(3x^2)}{(x^3)^2} $$$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x^3e^x - 3x^2e^x}{x^6} = \frac{x^2e^x(x - 3)}{x^6} = \frac{e^x(x - 3)}{x^4} $$

三、链式法则

用于“函数里面有函数”（复合函数）的情况。想象它就像俄罗斯套娃一样。

如果 $$ y = f(g(x)) $$，那么它的导数就是：

$$ \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$

步骤：“微分外层（内部保持不变），然后乘以内层的导数。”

例子：找到 $$ y = (x^2 + 5)^4 $$ 的导数
外层： $$ (\text{某东西})^4 $$
内层： $$ x^2 + 5 $$

步骤一：微分外层。用幂法则。将 4 带下来，减 1，但内部保持不变。
$$ 4(x^2 + 5)^3 $$步骤二：微分内层。 $$ x^2 + 5 $$ 的导数是 $$ 2x $$。
步骤三：将它们相乘。
$$ \frac{dy}{dx} = 4(x^2+5)^3 \cdot (2x) = 8x(x^2+5)^3 $$

特殊函数的导数

这些是你只需要背诵的公式。它们经常和链式法则一起出现！

• 自然指数函数： $$ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x $$ (它的导数就是它自己！)
• 自然对数函数： $$ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} $$
• 一般指数函数： $$ \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a $$
• 一般对数函数： $$ \frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} $$

你知道吗？数字 'e'（约2.718）在微积分中这么特别，正因为函数 eˣ 在任何一点的斜率都等于它的数值！

微分法则：重点撮要

这些法则是你必需的工具箱。幂法则处理 $$ x^n $$。乘法则处理相乘。商法则处理相除。链式法则处理函数里面有函数。记住它们，还要多练习，多练习，多练习！

第四部分：更进一步 - 二阶导数

如果我们对导数再取导数呢？这正就是二阶导数！

什么是二阶导数？

二阶导数衡量一阶导数的变动率。如果一阶导数告诉你斜率，那么二阶导数就告诉你斜率怎样变化。

现实世界类比：

• 函数 f(x)：你的位置。
• 一阶导数 f'(x)：你的速度（你位置变动有多快）。
• 二阶导数 f''(x)：你的加速度（你速度变动有多快）。

二阶导数亦帮助我们理解图像的凹凸性（看看它是像杯状装水还是倒水一样），这对于找到极大值和极小值很有用。

符号与计算

二阶导数的符号只是多一个“prime”符号或者一个“2”。

• f''(x) (读作“f double-prime of x”)
• y'' (读作“y double-prime”)
• $$ \frac{d^2y}{dx^2} $$ (读作“d square y d x square”)

要找到它，你只需要将你的函数微分两次就可以了！

例子：找到 $$ y = 2x^3 - 4x^2 + 10x $$ 的二阶导数

步骤一：找到一阶导数（$$ \frac{dy}{dx} $$）。
$$ \frac{dy}{dx} = 2(3x^2) - 4(2x) + 10 = 6x^2 - 8x + 10 $$

步骤二：微分一阶导数来得到二阶导数（$$ \frac{d^2y}{dx^2} $$）。
$$ \frac{d^2y}{dx^2} = 6(2x) - 8 + 0 = 12x - 8 $$

就是这样！你已经找到二阶导数了。

好消息：M1 课程大纲中，你不需要担心三阶、四阶或者任何更高阶的导数！

二阶导数：重点撮要

二阶导数是“导数的导数”。它告诉你斜率怎样变化（想象：加速度）。要找到它，只需要将你的微分法则应用两次。