欢迎来到排列与组合！
同学你好！准备好一同深入探索数学中一个最有趣的课题了吗？这个章节的核心就是关于计数。不是单纯地数 1、2、3... 那么简单，而是计算一件事情可以有多少种发生的方法。例如，你有多少种方法可以排列你喜欢的书？一个项目可以组成多少队不同的队伍？你可以创建多少个可能的密码？
这听起来好像很复杂，但其实就好像学习一个新游戏的规则一样。一旦你掌握到窍门，你就会发现这个概念无处不在！我们会一步一步地用简单的例子来拆解它。你一定做得到！
基础元素：计数法则
在我们深入研究复杂内容之前，我们需要掌握两条基本法则。这些是本章所有其他内容的基石。
1. 加法法则（“或者”法则）
当你必须从不同的组别中作出一个选择时，就要想起加法法则。如果任务甲有 'm' 种方法可以完成，或者任务乙有 'n' 种方法可以完成，而且你不能同时进行两个任务，那么完成其中一个任务的总方法数量就是 $$m + n$$。
小提示：如果你见到“或者”这个词，或者需要在互斥的选项中做选择，你可能就应该相加。
例子：一家餐厅为主菜提供 5 款不同的意大利面，和 4 款不同的披萨。你只可以选择一款主菜。你总共有多少个选择？
你可以选择一款意大利面或者一款披萨。
选择数量 = (选择意大利面的方法) + (选择披萨的方法) = 5 + 4 = 9 个选择。
重点归纳
加法法则适用于从一组独立、互不重叠的选项中选择一个项目。它是一个“二选一”的情况。
2. 乘法法则（“并且”法则）
乘法法则适用于分阶段或按顺序进行的任务。如果你必须先完成任务甲，并且然后完成任务乙，你就要将方法的数量相乘。如果任务甲有 'm' 种方法可以完成，而任务乙有 'n' 种方法可以完成，那么完成两个任务的总方法数量就是 $$m \times n$$。
小提示：如果你见到“并且”这个词，或者涉及多个步骤的过程，你可能就应该相乘。
例子：你正在搭配一套服装。你有 3 件衬衫和 4 条裤子。你可以搭配出多少套不同的服装？
你需要选择一件衬衫并且选择一条裤子。
服装数量 = (选择衬衫的方法) x (选择裤子的方法) = 3 \times 4 = 12 套服装。
重点归纳
乘法法则适用于涉及多个接续步骤的过程。它是一个“然后”的情况。
常犯错误
最常犯的错误就是混淆这两条法则！永远都要问自己：“我是不是从不同的类别中选择一个选项（或者）？还是我需要按顺序做出多个选择，每个类别中选一个（并且）？”
快速补给：阶乘 (!)
在我们继续之前，让我们学习一个超级有用的数学符号，叫做阶乘。它只是一种简写特定乘法的方式。
非负整数 'n' 的阶乘，写成 n!，是所有小于或等于 n 的正整数的乘积。
$$ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 3 \times 2 \times 1 $$
例子：
$$ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 $$
$$ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 $$
$$ 1! = 1 $$
极重要的特殊情况：根据定义，$$0! = 1$$。这可能听起来有些奇怪，但对于我们的公式正常运作来说至关重要。记住它就可以了！
排列：当顺序至关重要！
好了，现在讲我们两个重要概念中的第一个。一开始可能觉得有些复杂不用担心，最重要的是看例子。
什么是排列？
排列是指以特定、明确顺序排列物件。关键词是“顺序”。如果顺序改变，就是一个不同的排列。
现实生活比喻：一场比赛
想象一场有三位选手的比赛：小丽、小明和小芬。完成次序是有区别的！
- 小丽第一、小明第二、小芬第三是一个结果。
- 小明第一、小丽第二、小芬第三是一个完全不同的结果。
排列公式
我们想找出从 'n' 个相异物件中选择 'r' 个物件并进行排列的方法数量。我们可以写成 $$P(n, r)$$ (或者有时是 $$^nP_r$$ 或 $$_nP_r$$)。
公式是：$$ P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} $$
- n 是你可以选择的物件总数。
- r 是你正在排列的物件数量。
逐步例子：
问题：一个学会里有 8 个学生。有多少种方法可以选出一位会长、一位副会长以及一位司库？
步骤 1：顺序重要吗？
是！被选为会长和被选为副会长是不同的。所以，这是一个排列问题。
步骤 2：确定 'n' 和 'r'。
我们从总共 8 个学生中选择，所以 $$n=8$$。
我们需要填补 3 个特定职位，所以 $$r=3$$。
步骤 3：应用公式。
$$ P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} $$
$$ = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} $$
留意上面和下面的 5! 互相抵消了！
$$ = 8 \times 7 \times 6 = 336 $$
所以，总共有 336 种不同的方法来选择干事。
问题类型：物件保持相邻
常见的考试题目涉及排列物件，而其中一些物件必须保持相邻。
例子：4 个男生和 3 个女生排成一列，如果所有 3 个女生必须坐在一起，有多少种排列方法？
“捆绑”法：
步骤 1：将必须坐在一起的那组视为一个单一物件。将 3 个女生“捆绑”在一起。现在，不是 7 个人，而是 4 个男生 + (1 组女生) = 5 个物件来排列。
步骤 2：排列这些“捆绑”好的物件。排列这 5 个物件的方法数量是 $$5! = 120$$。
步骤 3：现在，考虑一下那组“捆绑”好的女生。3 个女生在她们的组里面，也可以互相排列！排列这 3 个女生的方法数量是 $$3! = 6$$。
步骤 4：应用乘法法则。对于主组的每个 120 种排列，女生组内部都有 6 种排列。总排列数 = (排列 5 个物件的方法数量) x (女生在组内排列的方法数量) = $$5! \times 3! = 120 \times 6 = 720$$ 种方法。
快速复习：排列
关键词：排列、顺序、排名、位置、排队
核心概念：顺序很重要！
公式： $$ P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} $$
组合：只关乎选择的群组！
现在讲我们第二个重要概念。当选择的顺序无关紧要的时候，你就会用到它。
什么是组合？
组合是指选择物件，而选择的顺序并不重要。它只关乎选择了哪些物件，而不是它们被选取的顺序。
现实生活比喻：披萨配料
你正从菜单中点一个有三种配料的披萨。你说“辣肉肠、蘑菇和橄榄”和“橄榄、辣肉肠和蘑菇”有分别吗？没有！你都会得到同一个披萨。最重要的是最终那组配料。这就是组合。
组合公式
我们想找出从 'n' 个相异物件中选择 'r' 个物件的方法数量。我们可以写成 $$C(n, r)$$ (或者 $$^nC_r$$、$$_nC_r$$ 或 $$\binom{n}{r}$$)。
公式是：$$ C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} $$
- n 是你可以选择的物件总数。
- r 是你正在选择的物件数量。
排列和组合之间的关系
仔细看一下这条公式！它只不过是排列公式除以 $$r!$$。
$$ C(n, r) = \frac{P(n, r)}{r!} $$
为什么呢？排列会计算每个不同的排列方式。为了得到组合，我们将所有排列 ($$P(n,r)$$) 除以每个小组内部可以排列的方法数量 ($$r!$$)，目的是消除因为顺序而产生的重复情况。这是一个非常重要的概念！
逐步例子：
问题：有 10 个学生。有多少种方法可以选出一个由 4 个学生组成的委员会？
步骤 1：顺序重要吗？
不重要！一个由小丽、小明、小芬和小强组成的委员会，和一个由小强、小芬、小明和小丽组成的委员会是完全相同的。选择的顺序并不会产生一个新的委员会。所以，这是一个组合问题。
步骤 2：确定 'n' 和 'r'。
我们从总共 10 个学生中选择，所以 $$n=10$$。
我们选择一个由 4 人组成的委员会，所以 $$r=4$$。
步骤 3：应用公式。
$$ C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} $$
$$ = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{ (4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 6!} $$
将上面和下面的 6! 抵消。
$$ = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210 $$
所以，总共有 210 个不同的委员会可以组成。
快速复习：组合
关键词：选择、拣选、挑选、群组、委员会
核心概念：顺序并不重要！
公式： $$ C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} $$
排列对决组合：终极比拼
这是最后一道难关：知道何时用哪一个。永远问自己一个简单的问题：
“改变我选择的顺序，会不会产生一个全新、不同的结果？”
- 如果会，就是“排列”。(例如：手机密码)
- 如果不会，就是“组合”。(例如：福利彩票)
实用复习提示
在以下情况使用“排列”：
- 将人排成一列
- 颁发冠、亚、季军奖项
- 分派特定职位（会长、副会长）
- 创建密码或编码
在以下情况使用“组合”：
- 选择项目团队或委员会
- 挑选书本阅读
- 选择福利彩票号码
- 发扑克牌
你知道吗？
“密码锁”(combination lock) 其实名字改错了！因为你输入数字的顺序非常重要，所以它实际上应该叫做“排列锁”(permutation lock) 才对！现在你懂得的比那些改锁名的人还要多！
就是这么多了！你现在已经掌握了像专业人士一样计算可能性的基本工具。关键是要多加练习，仔细阅读题目，并时刻问自己那条最重要的问题：顺序是不是重要。祝你学习顺利！