不等式

第十四章：不等式 — 不只于相等！

同学们大家好！你们有没有觉得，人生有时并不是事事都完美相等？有时候，你必须“至少”考到某个分数才合格，又或者你“最多”只能花某个数目的钱。这就是不等式的用武之地了！它们是一种超实用的方法，用来表示那些不相等的值。

在这一章里，我们会探索不等式的世界。你会学到：

• 不同不等式符号的意思。
• 如何在数轴上表示不等式。
• 解不等式的特别规则（其中一条规则较为复杂，请务必小心留意！）。
• 如何利用不等式来解决现实生活中的问题。

就算这些概念对你来说很陌生，也别担心。我们会一步一步拆解它们。我们开始吧！

什么是不等式？

在数学中，**方程**是用等号 ($$=$$) 来表示两个事物相等的陈述。而**不等式**则是表示两个事物*不*相等的陈述。它告诉我们两者之间的关系，例如一个比另一个大、小，又或者大于或等于、小于或等于另一个。

你需要认识的四个符号

不等式中主要会用到四个符号：

• >：这代表“大于”。例如，$$5 > 2$$ 表示 5 大于 2。

• <：这代表“小于”。例如，$$3 < 8$$ 表示 3 小于 8。

• ≥：这代表“大于或等于”。例如，$$x ≥ 4$$ 表示 x 可以是 4，或者任何比 4 大的数。

• ≤：这代表“小于或等于”。例如，$$y ≤ 10$$ 表示 y 可以是 10，或者任何比 10 小的数。

记忆小秘诀：鳄鱼嘴巴法！

记住“>”和“<”符号的一个有趣方法，就是把它们想象成鳄鱼的嘴巴。鳄鱼总是肚子饿，想吃掉比较大的数字！

例子：在 $$10 > 1$$ 中，鳄鱼的嘴巴是朝向 10 张开的。

把文字转换成数学式

我们经常使用不等式来描述各种情况。以下是一些常用短语的转换方法：

• “多于”或“大于”使用 > 符号。
“学生人数 (s) 多于 30 人”写成 $$s > 30$$。

• “少于”或“小于”使用 < 符号。
“气温 (t) 少于 0 度”写成 $$t < 0$$。

• “至少”或“不小于”使用 ≥ 符号。
“你必须至少 12 岁 (a) 才能看这部电影”写成 $$a ≥ 12$$。

• “最多”或“不大于”使用 ≤ 符号。
“这个袋子最多可装 5 公斤 (w)”写成 $$w ≤ 5$$。

重点摘要

不等式帮助我们比较不相等的数量。四个符号分别是 >、<、≥ 和 ≤。它们可以描述许多现实世界中的限制和条件。

在数轴上表示不等式

数轴是一种很棒的方法，可以让你一眼看到不等式的所有可能答案。它为我们提供了答案的视觉图像。

在数轴上绘制不等式有两条简单规则。

规则一：圆圈

• 对于 >（大于）和 <（小于）使用空心圆（○）。这表示该数字本身*不*包含在解中。
• 对于 ≥（大于或等于）和 ≤（小于或等于）使用实心圆（●）。这表示该数字本身*包含*在解中。

小提示：如果符号下方有一条小横线（≥ 或 ≤），你就把圆圈填满！

规则二：箭头

箭头指向所有其他包含在解中的数字的方向。

• 对于 > 和 ≥，箭头指向右边（朝向较大的数字）。
• 对于 < 和 ≤，箭头指向左边（朝向较小的数字）。

让我们看一些例子！

1. 表示 $$x > 1$$
• 我们需要在 1 的位置画一个空心圆（因为它不是“或等于”）。
• 箭头指向右边，因为我们需要所有大于 1 的数字。

2. 表示 $$x ≤ -2$$
• 我们需要在 -2 的位置画一个实心圆（因为它包含“或等于”）。
• 箭头指向左边，因为我们需要所有小于或等于 -2 的数字。

3. 表示 $$x < 4$$
• 我们需要在 4 的位置画一个空心圆。
• 箭头指向左边。

4. 表示 $$x ≥ 0$$
• 我们需要在 0 的位置画一个实心圆。
• 箭头指向右边。

解不等式的规则

好消息！解不等式几乎和解方程一模一样。你可以通过加、减、乘、除，将变量独立出来。然而，有一条非常重要的规则你必须记住。

简单规则（就像解方程一样！）

1. 加法和减法：你可以在不等式的两边同时加上或减去相同的数字，不等式保持不变。
如果 $$a > b$$，那么 $$a + c > b + c$$。

2. 乘法和除法（与正数）：你可以将不等式的两边同时乘以或除以相同的正数，不等式保持不变。
如果 $$a > b$$ 且 c 为正数，那么 $$ac > bc$$。

最重要规则！（危险区）

当将不等式的两边乘以或除以一个负数时，你必须将不等号的方向颠倒过来。

为什么呢？让我们用数字来看看。
我们都同意 $$4 > 2$$。这是正确的。
但如果我们将两边都乘以 -1 会怎样？
$$4 \times (-1) = -4$$
$$2 \times (-1) = -2$$
-4 大于 -2 吗？不！在数轴上，-4 在 -2 的左边，所以它更小。
所以，我们必须把不等号颠倒过来：$$-4 < -2$$。

记住：乘以或除以负数？颠倒不等号！
• > 变成 <
• < 变成 >
• ≥ 变成 ≤
• ≤ 变成 ≥

重点摘要

解不等式就像解方程一样，但如果你乘以或除以负数，你必须反转不等号。这是最大的不同，也是最常犯错的地方，所以务必小心！

综合应用：解线性不等式

让我们一步一步地练习解一些不等式。我们的目标和解方程一样：将变量（例如 'x'）单独放在一边。

分步指南

1. 使用加法或减法将数字项移到一边，变量项移到另一边。
2. 使用乘法或除法来求解变量。
3. 黄金规则检查：你刚才是否乘以或除以负数？如果是，请反转不等号！
4. 得到解后，你可以在数轴上表示它。

例子一：一个简单的例子

解 $$x + 5 < 12$$

1. 我们想让 'x' 独立。让我们从两边减去 5。
$$x + 5 - 5 < 12 - 5$$
$$x < 7$$

2. 我们有没有乘以或除以负数？没有。所以不等号保持不变。
3. 答案： $$x < 7$$。
4. 在数轴上表示： 在 7 的位置画一个空心圆，箭头指向左边。

例子二：一个两步的问题

解 $$3y - 4 ≥ 11$$

1. 首先，在两边加上 4，以移动数字项。
$$3y - 4 + 4 ≥ 11 + 4$$
$$3y ≥ 15$$

2. 现在，除以 3 以使 'y' 独立。
$$\frac{3y}{3} ≥ \frac{15}{3}$$
$$y ≥ 5$$

3. 我们有没有除以负数？没有，我们除以了正数 3。不等号保持不变。
4. 答案： $$y ≥ 5$$。
5. 在数轴上表示： 在 5 的位置画一个实心圆，箭头指向右边。

例子三：不等号反转的实际应用！

解 $$-2x - 1 > 9$$

1. 首先，在两边加上 1。
$$-2x - 1 + 1 > 9 + 1$$
$$-2x > 10$$

2. 现在，我们需要除以 -2 以使 'x' 独立。小心！我们正在除以一个负数！
$$\frac{-2x}{-2} ? \frac{10}{-2}$$

3. 因为我们除以了 -2，我们必须反转不等号。`>` 变成 `<`。
$$x < -5$$

4. 答案： $$x < -5$$。
5. 在数轴上表示： 在 -5 的位置画一个空心圆，箭头指向左边。

不等式在现实世界中的应用

学习这部分的最好处，就是你可以将它应用到解决现实生活中的问题！

如何应对文字应用题

1. 阅读并理解：弄清楚问题在问什么。
2. 定义变量：选择一个字母（例如 'x'）来表示未知数。
3. 写出不等式：将问题中的文字和短语转换成数学不等式。
4. 求解：使用我们刚学过的规则来解不等式。
5. 回答问题：用一个在问题语境中有意义的句子来写出你的答案。

应用题例子一：演唱会门票

Leo 想买演唱会门票，每张 40 元。他总共有 250 元可以花费。他最多可以买多少张门票？

1. 变量：设 $$t$$ 为 Leo 可以购买的门票数量。
2. 不等式：总费用 ($$40t$$) 必须小于或等于他拥有的钱 ($$250$$)。
$$40t ≤ 250$$

3. 求解：两边都除以 40（一个正数，所以不等号不反转）。
$$\frac{40t}{40} ≤ \frac{250}{40}$$
$$t ≤ 6.25$$

4. 答案：由于 Leo 不能购买零碎的门票，所以他最多可以购买 6 张。“Leo 最多可以购买 6 张门票。”

应用题例子二：通过课程

为了通过她的数学课程，Maria 需要在两次考试中总共获得至少 160 分。她在第一次考试中得了 70 分。她在第二次考试中需要至少多少分？

1. 变量：设 $$s$$ 为她在第二次考试中的分数。
2. 不等式：她的第一次考试分数 (70) 加上她的第二次考试分数 ($$s$$) 必须“至少”是 160 分。这表示大于或等于。
$$70 + s ≥ 160$$

3. 求解：两边都减去 70。
$$70 - 70 + s ≥ 160 - 70$$
$$s ≥ 90$$

4. 答案：“Maria 在第二次考试中需要至少 90 分才能通过该课程。”