第三及第四章：函数的微分
欢迎来到微分的世界！
您好！准备好深入学习数学中最有力的概念之一了吗？这一章节会完全讲解微分。请不要被这个大名词吓到！归根结底，微分其实就是找出“变化率”的过程。
有没有想过...
- 如何找出汽车在某一瞬间的确切速度，而不仅仅是平均速度？
- 公司如何找到利润达到最大值的点？
- 过山车轨道上最陡峭的地方在哪里？
微分能帮助我们解答所有这些问题，甚至更多！它是一个工具，让我们能分析事物如何在瞬间变化。让我们先从微分的基石——极限的概念——开始说起。
第一部分：极限的概念——无限趋近
什么是极限？
想象一下你正在走向一面墙。每次你都走剩下距离的一半。你越来越接近，无限地接近，但你永远不会真正碰到它。墙壁的位置就是你的极限。
在数学中，极限是当输入（通常是 x）越来越接近某个数时，函数“趋近”的值。
我们这样写：$$ \lim_{x \to c} f(x) = L $$ 这读作：“当 x 趋近于 c 时，函数 f(x) 的极限是 L。”
求极限（简单方法）
对于你在 M1 会看到的大多数函数，求极限都非常简单：只需将 x 趋近的值代入函数即可。
例子一：求 $$ \lim_{x \to 3} (2x^2 - 5) $$
直接代入 x = 3：$$ 2(3)^2 - 5 = 2(9) - 5 = 18 - 5 = 13 $$ 所以，极限是 13。很简单！
例子二：那么分数函数该怎么办？求 $$ \lim_{x \to 1} \frac{x+1}{x+3} $$
同样地，直接代入 x = 1：$$ \frac{1+1}{1+3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$
小心！有时候，直接代入会得到 $$ \frac{0}{0} $$，这是不确定的。这可能代表你需要先简化算式！
例子三：求 $$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} $$
如果我们代入 x = 2，我们会得到 $$ \frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0} $$。这是不行的！
让我们试试把分子因式分解：$$ x^2 - 4 = (x-2)(x+2) $$
那么，我们的极限就变成：$$ \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x - 2} $$
我们可以消去 $$ (x-2) $$ 项：$$ \lim_{x \to 2} (x+2) $$
现在，我们可以代入 x = 2：$$ 2 + 2 = 4 $$。极限就是 4！
极限的重点摘要
极限是函数所趋近的值。要找出它，首先尝试代入 x 的值。如果你得到 $$ \frac{0}{0} $$，就尝试简化表达式（例如，透过因式分解），然后再代入。
第二部分：导数——揭示斜率
什么是导数？（核心概念）
函数在某一点的导数，给出了该点的切线斜率。切线是一条只“触碰”曲线上一点的直线。
这样想吧：
- 平均速度是你旅程中连接时间上两点的直线斜率。
- 瞬时速度（你在某一精确时刻的速度）是该单一时间点上切线的斜率。
导数给予我们这种瞬时变化率。
导数的记法——不同的称呼
求导数的过程称为“微分”。要写出“函数 y = f(x) 的导数”，有几种常见的写法：
- $$ f'(x) $$ （读作“f prime x”）
- $$ \frac{dy}{dx} $$ （读作“dy dx”或“dee y by dee x”）
- $$ y' $$ （读作“y prime”）
它们的意思完全一样！
导数就是切线的斜率
这是最重要的概念。如果你有一条曲线 $$ y = f(x) $$，它的导数 $$ f'(x) $$ 是一个新函数，它会告诉你在任何 x 值下的斜率。
要找出特定点（例如 $$ x = x_0 $$）的斜率，我们计算导数，然后把 $$ x_0 $$ 代入。我们这样写： $$ f'(x_0) \quad \text{或} \quad \frac{dy}{dx} \bigg|_{x=x_0} $$
例如，如果我们发现 $$ f(x) = x^2 $$ 的导数是 $$ f'(x) = 2x $$，那么在 x=3 处曲线的切线斜率就是 $$ f'(3) = 2(3) = 6 $$。
香港文凭试重要提示：导数的严格定义用到极限，称为“从基本原理求导”。你可能会看到这个公式：$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$。你需要认出这个公式代表导数。但是，考试不会要求你用这个公式来计算导数。我们有更简单的法则，接下来就会讲到！
导数概念的重点摘要
导数是一个函数，它给你曲线上任何一点的切线斜率。它代表了瞬时变化率。
第三部分：微分法则——你的微积分工具箱
别担心，你不需要用到那个可怕的极限公式！我们有一套简单的法则来找出导数。让我们来建立我们的工具箱吧。
法则一：常数法则
任何常数的导数都是零。
$$ \frac{d}{dx}(C) = 0 \quad (\text{where C is any constant}) $$ 类比：y = 5 的图像是一条平坦的水平线。它的斜率是多少？零！永远都是。
例子：$$ \frac{d}{dx}(7) = 0 $$，$$ \frac{d}{dx}(-100) = 0 $$
法则二：幂次法则（你最好的朋友！）
这是你最常用的法则。要微分 $$ x^n $$：
$$ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} $$记忆方法：“将指数提到前面，然后指数减一。”
例子一：$$ f(x) = x^4 $$
$$ f'(x) = 4x^{4-1} = 4x^3 $$
例子二（涉及根号和分数）：微分 $$ y = \sqrt{x} $$
首先，把根号改写成次方：$$ y = x^{1/2} $$
现在使用幂次法则：$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$
法则三：和／差法则
要微分相加或相减的函数，只需分别微分每个部分。
$$ \frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) $$ 例子：找出 $$ y = x^3 + 5x^2 - 7x + 2 $$ 的导数
逐项微分：
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(5x^2) - \frac{d}{dx}(7x) + \frac{d}{dx}(2) $$ $$ \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 5(2x) - 7(1) + 0 $$ $$ \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 10x - 7 $$
法则四：积法则（请小心！）
当你有两个函数相乘时使用，例如 $$ f(x) \cdot g(x) $$。我们称它们为 u 和 v。
$$ \frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} \quad \text{或} \quad (uv)' = u'v + uv' $$记忆方法：“第一个乘以第二个的导数，加上第二个乘以第一个的导数。”
常见错误提示！积的导数不等于导数的积！$$ (uv)' \neq u'v' $$。
例子：找出 $$ y = x^2(x+1) $$ 的导数
设 $$ u = x^2 $$ 及 $$ v = x+1 $$。
那么 $$ u' = 2x $$ 及 $$ v' = 1 $$。
使用法则 $$ (uv)' = u v' + v u' $$：
$$ \frac{dy}{dx} = (x^2)(1) + (x+1)(2x) = x^2 + 2x^2 + 2x = 3x^2 + 2x $$
法则五：商法则（较为复杂的一个）
当你有一个函数除以另一个函数时使用。我们称它们为 u（分子）和 v（分母）。
$$ \frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2} \quad \text{或} \quad \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$记忆方法：一个流行的口诀是“分母乘以分子之导数，减去分子乘以分母之导数，再除以分母的平方”。（此处“下”指分母函数，“上”指分子函数，“导”指导数。）
常见错误提示！分子中的顺序很重要，因为有减号！确保是 $$ v u' $$ 在前面。
例子：找出 $$ y = \frac{x}{x^2+1} $$ 的导数
设 $$ u = x $$（分子）及 $$ v = x^2+1 $$（分母）。
那么 $$ u' = 1 $$ 及 $$ v' = 2x $$。
使用法则 $$ \frac{v u' - u v'}{v^2} $$：
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{(x^2+1)(1) - (x)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} $$
法则六：链式法则（函数中的函数）
用于复合函数，就像一个函数嵌套在另一个函数里面。想象一下俄罗斯套娃。
如果 $$ y = f(g(x)) $$，它的导数是：$$ \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
逐步方法：
- 微分外层函数，内层函数保持不变。
- 将你的结果乘以内层函数的导数。
例子：找出 $$ y = (x^2+5)^3 $$ 的导数
外层函数是某物的三次方：$$ (\text{...})^3 $$。
内层函数是 $$ x^2+5 $$。
1. 微分外层部分（使用幂次法则）：$$ 3(\text{...})^2 $$ 变成 $$ 3(x^2+5)^2 $$。
2. 内层部分（$$ x^2+5 $$）的导数是 $$ 2x $$。
3. 将它们相乘：$$ \frac{dy}{dx} = 3(x^2+5)^2 \cdot (2x) = 6x(x^2+5)^2 $$
微分法则的重点摘要
这个工具箱是你成功的关键。
- 幂次法则： $$ (x^n)' = nx^{n-1} $$
- 积法则： $$ (uv)' = u'v + uv' $$
- 商法则： $$ (u/v)' = (u'v - uv')/v^2 $$
- 链式法则： 微分外层，然后乘以内层的导数。
第四部分：指数函数与对数函数的微分
一些特殊函数有非常简洁的导数。你需要把这些记住！
最简单的导数：$$ e^x $$
函数 $$ e^x $$ 的导数就是它自己。就是这么简单！
$$ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x $$你知道吗？数字 e（约等于 2.718）之所以特别，是因为函数 $$ y = e^x $$ 在每一个点的斜率都等于它的 y 值！这就是为什么它在增长和衰退模型中是如此基础和重要。
自然对数：$$ \ln x $$
自然对数的导数是 $$ 1/x $$。
$$ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} $$其他底数：$$ a^x $$ 和 $$ \log_a x $$
如果底数不是 e，该怎么办？它们只是轻微的变体。
$$ \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a $$ （注意，如果 a=e，$$ \ln(e)=1 $$，所以你只是得到了 $$ e^x $$）
$$ \frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} $$ （注意，如果 a=e，$$ \ln(e)=1 $$，所以你只是得到了 $$ 1/x $$）
结合链式法则
很多时候，你需要将链式法则与这些函数结合使用。
例子一：微分 $$ y = e^{5x} $$
外层函数：$$ e^{(\text{...})} $$。内层函数：$$ 5x $$。
外层导数：$$ e^{5x} $$。
内层导数：5。
结果：$$ \frac{dy}{dx} = e^{5x} \cdot 5 = 5e^{5x} $$
例子二：微分 $$ y = \ln(x^2+1) $$
外层函数：$$ \ln(\text{...}) $$。内层函数：$$ x^2+1 $$。
外层导数：$$ \frac{1}{\text{...}} $$，即是 $$ \frac{1}{x^2+1} $$。
内层导数：$$ 2x $$。
结果：$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1} $$
特殊函数的重点摘要
记住这四个重要的公式：
1. $$ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x $$
2. $$ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} $$
3. $$ \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a $$
4. $$ \frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} $$
第五部分：再次微分——二阶导数
什么是二阶导数？
二阶导数顾名思义：它是第一阶导数的导数。你只需要微分两次！
类比：
- 如果 $$ f(x) $$ 是你的位置...
- 那么 $$ f'(x) $$ 就是你的速度（位置的变化率）。
- 而 $$ f''(x) $$ 就是你的加速度（速度的变化率）。
在 M1 中，我们使用二阶导数来了解更多关于图形形状（例如凹凸性），这将后续的应用中讲到。
二阶导数的记法
就像第一阶导数一样，二阶导数也有几种写法：
- $$ f''(x) $$ （读作“f double-prime x”）
- $$ y'' $$ （读作“y double-prime”）
- $$ \frac{d^2y}{dx^2} $$ （读作“d square y by dx square”）
如何找出它
这是一个简单的两步过程：
- 找出第一阶导数 $$ f'(x) $$。
- 现在，将你的结果 $$ f'(x) $$ 再次微分，以得到第二阶导数 $$ f''(x) $$。
例子：找出 $$ f(x) = x^4 - 3x^2 + 8 $$ 的二阶导数
第一步：找出第一阶导数。
$$ f'(x) = 4x^3 - 6x $$
第二步：微分第一阶导数。
$$ f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 6x) = 12x^2 - 6 $$
就这么简单！二阶导数是 $$ 12x^2 - 6 $$。
香港文凭试重点：你只需要懂得找出第一阶和第二阶导数。第三阶及更高阶的导数不属于课程范围。因此，只需求到二阶导数即可！
二阶导数的重点摘要
二阶导数是“导数的导数”。要找出它，只需将你的微分法则应用两次。它能给我们关于函数的更深层次信息，例如它的加速度或弯曲程度。