M2 复习笔记：第七章 - 微分
大家好！欢迎来到微分的复习笔记。这是微积分中最有力、最引人入胜的课题之一。把它想象成一个特殊的透镜，能让你瞬间看清事物是如何变化的。
为什么这很重要？微分能帮助我们找出物体在特定时刻的速度、找出以最高利润出售产品的最佳定价，甚至模拟疾病的传播。它的一切都围绕着理解“变率”。
如果一开始觉得有点难，别担心！我们会将所有概念拆解成简单易懂的步骤。我们开始吧！
1. 核心概念：导数
那么，什么是导数？
想象一下你在驾车。你两小时旅程的平均速率是总距离除以两小时。但你瞬时速率却是你在任何给定秒数下，从速度计上看到的数值。
导数就像汽车的速度计。它告诉我们函数在特定点的瞬时变率。
从图像的角度来看，导数给出了曲线在某一点的切线斜率。记住，切线是一条只“触碰”曲线上一点而不穿过它的直线。
从基本原理求导数
这是根据导数定义来求导数的基本方法。虽然这是“笨方法”，但对于理解其真正原理至关重要。我们找出曲线两个非常非常接近的点之间的直线斜率。
这条公式看起来有点吓人，但其背后概念却很简单。
函数 $$f(x)$$ 的导数，记作 $$f'(x)$$，是： $$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$ 逐步分析：
- $$h$$ 代表 x 值中极微小的变化。
- $$f(x+h) - f(x)$$ 代表 y 值中极微小的变化。
- 整个分数其实就是纵移/横移，即连接这两个点的直线斜率。
- $$ \lim_{h \to 0} $$ 意思是要求让 x 的变化量（h 的值）变得极其微小，趋近于零，从而找出单一点的斜率。
逐步例子：从基本原理求 $$f(x) = x^2$$ 的导数。
- 写下公式：
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$ - 将你的函数代入公式：
由于 $$f(x) = x^2$$，所以 $$f(x+h) = (x+h)^2$$。
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} $$ - 展开并简化分子：
$$ (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2 $$
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x^2 + 2xh + h^2) - x^2}{h} $$
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} $$ - 从分子中提取 h 并约简：
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h(2x + h)}{h} $$
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h) $$ - 现在，让 h 趋近于 0：
$$ f'(x) = 2x + 0 $$
$$ f'(x) = 2x $$
因此，$$x^2$$ 的导数是 $$2x$$。你可能会被要求为像 $$C$$（一个常数）、$$x^n$$（其中 n 是正整数）、$$\sqrt{x}$$、$$\sin x$$、$$\cos x$$、$$e^x$$ 和 $$\ln x$$ 这样的函数执行此操作。所有步骤都是一样的！
导数的各种表示法！
你会看到导数以几种不同的方式表示。它们都代表同一个意思！如果 $$y = f(x)$$：
- 拉格朗日记法： $$f'(x)$$ 或 $$y'$$ （读作“f prime of x”或“y prime”）。这种方式简洁易懂。
- 莱布尼茨记法： $$\frac{dy}{dx}$$ （读作“dee y by dee x”）。这种方式描述性非常强。它字面上就像“y 的变化量除以 x 的变化量”。其中的 $$\frac{d}{dx}$$ 部分表示“对…关于 x 微分”。
第一部分重点：
导数是函数的瞬时变率，或者说是其切线的斜率。我们可以利用基本原理，从根源（定义）开始求出它。
2. 微分工具箱：基本规则
每次都使用基本原理会非常耗时。幸运的是，我们有一套规则可以充当捷径。让我们来建立自己的工具箱吧！
基本法则
这些都是你必须掌握的基础知识。你会一直使用它们。
- 常数法则：任何常数的导数都是零。
$$ \frac{d}{dx}(C) = 0 $$ 类比：如果一辆车停泊不动（位置恒定），那么它的速度（变率）就是 0。 - 幂法则：这是一个超级重要的法则！对于任何实数 n：
$$ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} $$ 记忆小贴士：“把指数放下来，然后指数减一。”
例子：$$\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^{5-1} = 5x^4$$
例子：$$\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$ - 常数倍数法则：函数前的常数会保留不变。
$$ \frac{d}{dx}(c \cdot f(x)) = c \cdot f'(x) $$ 例子：$$\frac{d}{dx}(7x^3) = 7 \cdot \frac{d}{dx}(x^3) = 7 \cdot (3x^2) = 21x^2$$ - 和／差法则：你可以逐项对函数进行微分。
$$ \frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) $$ 例子：$$\frac{d}{dx}(x^2 + 5x - 3) = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(5x) - \frac{d}{dx}(3) = 2x + 5 - 0 = 2x+5$$
积法则
当你需要对两个相乘的函数进行微分时，就使用这个法则。设这两个函数为 $$u$$ 和 $$v$$。
$$ \frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} \quad \text{or} \quad (uv)' = u'v + uv' $$ 记忆小贴士：“第一个乘以第二个的导数，加上第二个乘以第一个的导数。”
常见错误：你不能直接将导数相乘。$$(uv)' \neq u'v'$$. 这是一个非常常见的错误，所以要小心！
例子：求 $$y = x^2 \sin x$$ 的导数。
设 $$u = x^2$$ 和 $$v = \sin x$$。
那么 $$u' = 2x$$ 和 $$v' = \cos x$$。
使用法则：$$\frac{dy}{dx} = (x^2)(\cos x) + (\sin x)(2x) = x^2\cos x + 2x\sin x$$
商法则
当你需要对一个函数除以另一个函数的形式进行微分时，就使用这个法则。设分子函数为 $$u$$，分母函数为 $$v$$。
$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2} \quad \text{or} \quad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$ 助记技巧：这是个救命绝招！记住这个口诀：
“分母乘以分子导数，减去分子乘以分母导数，再除以分母的平方，即可完成！”
（这里，“下”是 $$v$$，“上”是 $$u$$，“微”代表“对…求导数”）。
常见错误：分子中的顺序很重要，因为有个负号！必须是 $$v u'$$ 在前面。
例子：求 $$y = \frac{e^x}{x^3}$$ 的导数。
设 $$u = e^x$$（分子）和 $$v = x^3$$（分母）。
那么 $$u' = e^x$$ 和 $$v' = 3x^2$$。
使用法则：$$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^3)(e^x) - (e^x)(3x^2)}{(x^3)^2} = \frac{x^3e^x - 3x^2e^x}{x^6} = \frac{x^2e^x(x-3)}{x^6} = \frac{e^x(x-3)}{x^4}$$
链式法则（最重要的法则！）
当函数是复合函数（即“函数包住函数”）时，请使用此法则。
类比：想象一下俄罗斯套娃。要拿到最里面的娃娃，你必须先打开外面的。链式法则也是如此运作。
法则如下：
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $$ 简单来说，步骤如下：
- 辨识“外函数”和“内函数”（即 $$u$$）。
- 对外函数进行微分，同时保持内函数不变。
- 将你的结果乘以内函数的导数。
例子 1：求 $$y = (x^2 + 5)^4$$ 的导数。
外函数：$$u^4$$。内函数：$$u = x^2 + 5$$。
1. 微分外函数：$$4( \quad )^3$$ 变成 $$4(x^2+5)^3$$
2. 内函数 ($$x^2+5$$) 的导数是 $$2x$$。
3. 将它们相乘：$$\frac{dy}{dx} = 4(x^2+5)^3 \cdot (2x) = 8x(x^2+5)^3$$
例子 2：求 $$y = \cos(3x+1)$$ 的导数。
外函数：$$\cos(u)$$。内函数：$$u = 3x+1$$。
1. 微分外函数：$$-\sin(u)$$ 变成 $$-\sin(3x+1)$$
2. 内函数 ($$3x+1$$) 的导数是 $$3$$。
3. 将它们相乘：$$\frac{dy}{dx} = -\sin(3x+1) \cdot (3) = -3\sin(3x+1)$$
第二部分重点：
记住这些法则！用于 $$x^n$$ 的幂法则、用于 $$u \cdot v$$ 的积法则、用于 $$u/v$$ 的商法则，以及用于“函数包住函数”情况的链式法则。多加练习，这些法则就会变得驾轻就熟。
3. 标准函数的导数
这里有一个你需要知道的标准函数导数速查表。结合第二部分的法则，你几乎可以对任何东西进行微分！
三角函数
- $$ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x $$
- $$ \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x $$ (记忆小贴士：“余”开头的函数（例如余弦、余切、余割）的导数通常带有负号)。
- $$ \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x $$
指数函数和对数函数
- $$ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x $$ (你知道吗？函数 $$e^x$$ 的导数就是它本身！这就是数字 $$e \approx 2.718$$ 在微积分中如此特别的原因。)
- $$ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} $$
快速回顾框
函数 ($$f(x)$$) 导数 ($$f'(x)$$)
--------------------------------------------------
$$C$$ (常数) $$0$$
$$x^n$$ $$nx^{n-1}$$
$$\sin x$$ $$\cos x$$
$$\cos x$$ $$-\sin x$$
$$\tan x$$ $$\sec^2 x$$
$$e^x$$ $$e^x$$
$$\ln x$$ $$\frac{1}{x}$$
4. 进阶技巧
隐函数微分法
有时，方程不会以 $$y = ...$$ 这种简洁形式给出。例如，圆的方程：$$x^2 + y^2 = 25$$。这很难甚至不可能解出 y。这就是隐函数微分法派上用场的时候了。
核心思想：我们对方程两边同时关于 $$x$$ 进行微分。当我们需要对包含 $$y$$ 的项进行微分时，我们就使用链式法则，并乘以 $$\frac{dy}{dx}$$。
逐步例子：求 $$x^2 + y^2 = 25$$ 的 $$\frac{dy}{dx}$$。
- 1. 对两边关于 x 微分：
$$ \frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(25) $$ - 2. 逐项微分。记住 $$y^2$$ 的链式法则！
$$ \frac{d}{dx}(x^2) \rightarrow 2x $$
$$ \frac{d}{dx}(y^2) \rightarrow 2y \cdot \frac{dy}{dx} \quad \text{(外函数：} u^2 \rightarrow 2u, \text{ 内函数：} y \rightarrow \frac{dy}{dx}\text{)} $$
$$ \frac{d}{dx}(25) \rightarrow 0 $$
所以，我们的方程变成：$$ 2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 $$ - 3. 现在，解出 $$\frac{dy}{dx}$$：
$$ 2y\frac{dy}{dx} = -2x $$
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{2y} = -\frac{x}{y} $$
对数微分法
这是一个巧妙的技巧，用于微分非常复杂的函数，特别是那些包含大量乘法、除法和幂的组合函数。
逐步例子：求 $$y = \frac{(x+1)^3 \sqrt{x}}{ (2x-1)^5 }$$ 的 $$\frac{dy}{dx}$$。
- 1. 对两边取自然对数（ln）：
$$ \ln(y) = \ln\left( \frac{(x+1)^3 \sqrt{x}}{ (2x-1)^5 } \right) $$ - 2. 利用对数法则展开并简化右边。
记住：$$\ln(ab) = \ln a + \ln b$$、$$\ln(a/b) = \ln a - \ln b$$，以及 $$\ln(a^n) = n \ln a$$。
$$ \ln(y) = \ln((x+1)^3) + \ln(\sqrt{x}) - \ln((2x-1)^5) $$
$$ \ln(y) = 3\ln(x+1) + \frac{1}{2}\ln(x) - 5\ln(2x-1) $$ 看看这简化了多少！ - 3. 现在，对两边关于 x 进行隐函数微分：
$$ \frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{d}{dx}\left(3\ln(x+1) + \frac{1}{2}\ln(x) - 5\ln(2x-1)\right) $$
左边变成 $$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}$$。逐项微分右边。
$$ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 3\left(\frac{1}{x+1}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}\right) - 5\left(\frac{1}{2x-1} \cdot 2\right) \quad \text{(别忘了对最后一项使用链式法则！)} $$
$$ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{3}{x+1} + \frac{1}{2x} - \frac{10}{2x-1} $$ - 4. 将两边乘以 $$y$$，解出 $$\frac{dy}{dx}$$：
$$ \frac{dy}{dx} = y \left( \frac{3}{x+1} + \frac{1}{2x} - \frac{10}{2x-1} \right) $$
最后，将 y 的原始表达式代回。
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^3 \sqrt{x}}{ (2x-1)^5 } \left( \frac{3}{x+1} + \frac{1}{2x} - \frac{10}{2x-1} \right) $$
是的，最终答案看起来很庞大，但得出它的过程比重复使用积法则和商法则要容易得多！
5. 二阶导数
什么是二阶导数？
二阶导数简而言之就是一阶导数的导数。你只需微分两次！
类比：如果原始函数代表你的位置，那么一阶导数 ($$f'(x)$$) 就是你的速度，而二阶导数 ($$f''(x)$$) 则是你的加速度（速度的变率）。
符号表达：
- $$f''(x)$$ （读作“f double prime of x”）
- $$y''$$ （读作“y double prime”）
- $$\frac{d^2y}{dx^2}$$ （读作“d squared y by d x squared”。它表示 $$\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)$$）。
如何求得它
这是一个两步骤的过程。先求出第一阶导数，然后再次对结果进行微分。
例子：求 $$f(x) = x^4 - 5x^2 + 8$$ 的二阶导数。
第一步：求一阶导数。
$$ f'(x) = 4x^3 - 10x $$
第二步：对一阶导数进行微分。
$$ f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 10x) = 12x^2 - 10 $$ 就是这么简单！
有何作用？（应用抢先看）
二阶导数为我们提供了关于图像形状的重要信息。
- 凹凸性：它告诉我们图像是否向上或向下弯曲。
- 如果 $$f''(x) > 0$$，图像呈上凹（像一张笑脸）。
- 如果 $$f''(x) < 0$$，图像呈下凹（像一张愁眉苦脸的脸）。
- 二阶导数判别法：这是一种判断斜率为零 ($$f'(x)=0$$) 的点是局部极大值还是局部极小值的方法。
- 如果 $$f'(c)=0$$ 且 $$f''(c) < 0$$（下凹），那么在 $$x=c$$ 处有局部极大值。
- 如果 $$f'(c)=0$$ 且 $$f''(c) > 0$$（上凹），那么在 $$x=c$$ 处有局部极小值。
第五部分重点：
二阶导数是一阶导数的导数 ($$f''(x)$$)。它衡量的是斜率的变率。我们用它来判断图像的凹凸性，并测试局部极大值和极小值。
能学完这些，你真是太棒了！微分是一个庞大的课题，但它建立在几个关键概念和法则之上。你练习得越多，就会变得越容易。继续保持佳绩！