概率

歡迎來到概率的世界！

你有沒有想過，玩遊戲贏錢的機會有多大？擲硬幣擲出「正面」的機會是多少？又或者，天氣預報說「有八成機會下雨」到底是什麼意思？這些都跟概率有關！概率是數學的一個分支，它告訴我們某件事情發生的可能性有多大。這是一項超級有用的技能，可以幫助我們在遊戲、科學和日常生活中做出更明智的決定。別擔心這聽起來很複雜，我們會把它拆解成簡單又有趣的步驟。我們開始吧！

1. 必然事件、不可能事件和隨機事件

首先，讓我們學習概率中三種主要的事件類型，或者說「可能發生的事情」。

必然事件

必然事件是指肯定會發生的事情。毫無疑問！

例子：

- 如果你把一本書掉到地上，它會往下掉（感謝地心引力！）。
- 星期一之後的一天永遠是星期二。
- 如果一個袋子裡只有紅球，你肯定會抽到一個紅球。

不可能事件

不可能事件是指永遠、永遠不會發生的事情。機會是零！

例子：

- 一條魚會開始唱歌劇。
- 你在一個正常的六面骰子上擲出「7」。
- 如果一個袋子裡只有紅球，不可能抽到一個藍球。

隨機事件

隨機事件是指結果在發生前不能確定的事件。它可能會發生，也可能不會發生。這正是概率變得真正有趣的地方！

例子：

- 擲硬幣並擲出「反面」。
- 贏得幸運抽獎。
- 你最喜歡的足球隊贏得下一場比賽。

重點回顧

事件可以是必然的（肯定會發生），不可能的（永遠不會發生），或者是隨機的（可能發生）。我們在概率中研究的大多數事情都是隨機事件。

2. 什麼是概率？（可能性測量器！）

把概率想像成一個「可能性測量器」，它測量某事件發生的可能性。這個測量器範圍從0到1。

• 概率是0表示事件是不可能的。
• 概率是1表示事件是必然的。
• 概率是0.5（或1/2或50%）表示事件發生與不發生的機會均等，例如擲一枚均勻硬幣擲出「正面」。

我們可以將概率寫成分數、小數或百分比。

神奇的公式（理論概率）

當所有結果出現的機會均等時，我們使用以下公式計算事件的理論概率：

\(P(\text{event}) = \frac{\text{Number of favourable outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}}\)

讓我們來拆解一下這個公式：

• 有利結果（Favourable Outcomes）：這是一種較為學術的說法，意思是你「感興趣的結果」或「可以贏的方式」。
• 所有可能結果（Total Possible Outcomes）：這是所有可能發生的單一事件的總和。

例子：擲骰子

想像一下，你想找出在一個標準六面骰子上擲出「4」的概率。
- 有利結果的數目是1（因為只有一個面是「4」）。
- 所有可能結果的總數是6（因為骰子可以落在1、2、3、4、5或6）。

\(P(\text{rolling a 4}) = \frac{1}{6}\)

所以，概率是六分之一。簡單吧？

3. 理論概率 vs. 經驗（實驗）概率

到目前為止，我們探討了理論概率，它是基於數學推理並假設所有結果出現的機會均等。

然而，我們也可以透過實際進行實驗或收集數據來找出概率。這稱為經驗（或實驗）概率。

\(\text{Empirical Probability} = \text{Relative Frequency} = \frac{\text{Frequency of the event occurred}}{\text{Total number of trials}}\)

例子：擲硬幣100次

理論上，擲出正面的機會是 \(P(\text{Heads}) = \frac{1}{2} = 0.5\)。
假設你擲一枚真實的硬幣100次，並擲出正面53次。經驗概率就是：

\(\text{Empirical } P(\text{Heads}) = \frac{53}{100} = 0.53\)

重要特性：

當試驗的總次數變得非常大時，經驗概率會越來越接近理論概率！

4. 列出所有結果：樣本空間

在我們計算概率之前，我們需要知道所有可能的結果。一個實驗所有可能結果的完整列表或集合稱為樣本空間。

例如，擲骰子的樣本空間是 {1, 2, 3, 4, 5, 6}。

當實驗包含多個階段或部分時，我們可以使用有組織的工具，例如表格（網格）、樹形圖或溫氏圖來找出樣本空間。

方法1：使用表格（或網格）

當你同時有兩件獨立的事情發生時（例如擲兩個骰子），表格是完美的選擇。

例子：擲兩個骰子

讓我們找出擲兩個骰子時，數字之和的樣本空間。

步驟1：設置一個表格。一個骰子的結果放在頂部，另一個骰子的結果放在側面。
步驟2：通過將相應行和列的數字相加來填寫中間的格。

骰子2

      + | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6
    ---|---|---|---|---|---|---
    1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7
骰 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8
子 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
1 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10
    5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10| 11
    6 | 7 | 8 | 9 | 10| 11| 12
    

所有可能結果的總數是 6 × 6 = 36。現在我們可以輕鬆回答諸如「數字之和是7的概率是多少？」等問題。
只要數數表格裡有多少個7就行了！總共有6個。所以，概率是：

\(P(\text{sum is 7}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\)

方法2：使用樹形圖

樹形圖非常適合分階段或步驟進行的實驗（例如多次擲硬幣）。

例子：擲硬幣兩次

讓我們找出擲硬幣兩次的樣本空間。

步驟1：畫出第一次擲硬幣的「分支」（正面或反面）。
步驟2：從每個分支的末端，畫出第二次擲硬幣的分支。
步驟3：通過沿著每條路徑從頭到尾，列出最終結果。

第一次擲       第二次擲       結果
      ,- - - 正面     ->   (正面, 正面) 或 HH
  正面
      `- - - 反面       ->   (正面, 反面) 或 HT

      ,- - - 正面     ->   (反面, 正面) 或 TH
  反面
      `- - - 反面       ->   (反面, 反面) 或 TT

樣本空間是 {HH, HT, TH, TT}。所有可能結果的總數是4。現在我們可以回答：「至少擲出一個『正面』的概率是多少？」
有三個結果至少有一個「正面」（HH、HT、TH）。所以概率是：

\(P(\text{at least one Head}) = \frac{3}{4}\)

5. 讓我們解決一些問題！

是時候運用我們的新技能了。我們將總是遵循這些步驟：
步驟1：找出所有可能結果的總數（即樣本空間）。
步驟2：計算有利結果的數目。
步驟3：將它們代入概率公式並化簡！

問題1：抽彈珠

一個袋子裡有5個紅彈珠、3個藍彈珠和2個綠彈珠。抽到藍彈珠的概率是多少？

步驟1：所有結果。彈珠總數是 5 + 3 + 2 = 10。
步驟2：有利結果。藍彈珠的數目是3。
步驟3：計算。

\(P(\text{blue marble}) = \frac{3}{10}\)

問題2：運用我們的骰子表格

你擲兩個骰子。數字之和大於9的概率是多少？

步驟1：所有結果。從我們的表格中，我們知道總共有36個結果。
步驟2：有利結果。讓我們看看表格，數數數字之和大於9（即10、11或12）的結果。我們找到：(4,6)、(5,5)、(6,4)、(5,6)、(6,5)、(6,6)。這總共有6個有利結果。
步驟3：計算。

\(P(\text{sum} > 9) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\)

常見錯誤提醒

• 忘記化簡分數。務必將答案化為最簡形式（例如，6/36應化簡為1/6）。
• 錯誤計算所有結果的數目。要小心並有系統地計算。使用表格或樹形圖有助於避免錯誤！

6. 延伸學習：期望（Expectation）

（這是一個拓展課題，讓你預先一睹高中概率的內容！）

期望（或期望值）是你重複進行一個實驗很多很多次之後，所預期的平均結果。它幫助我們判斷一個遊戲是否公平，或者預測長期的結果會是怎樣。

想像一個簡單的遊戲：你擲一個骰子。如果你擲出6，你贏得\$12。如果你擲出任何其他數字，你什麼也沒贏。那麼，花\$1玩這個遊戲值得嗎？

如何計算期望值

步驟1：列出每個可能結果（價值，例如\$12或\$0）。
步驟2：找出每個結果的概率。
步驟3：將每個結果的價值乘以其概率。
步驟4：將這些結果相加。

讓我們解決這個遊戲問題：

結果1：贏得\$12。這個結果的概率是 \(P(\text{rolling a 6}) = \frac{1}{6}\)。
結果2：贏得\$0。這個結果的概率是 \(P(\text{not rolling a 6}) = \frac{5}{6}\)。

步驟3：
對於結果1：\(12 \times \frac{1}{6} = \$2\)
對於結果2：\(0 \times \frac{5}{6} = \$0\)

步驟4：
期望值 = \$2 + \$0 = \$2。

這意味著如果你重複玩這個遊戲，你預計平均每局能贏得\$2。既然玩一局只花\$1，這是一個非常值得玩的遊戲！

章節總結

恭喜你！你已經學會了概率的基本知識。

• 事件可以是必然、不可能或隨機的。
• 概率的量度範圍從0（不可能）到1（必然）。
• 理論概率： \(P(\text{event}) = \frac{\text{Favourable Outcomes}}{\text{Total Outcomes}}\)。
• 經驗概率： \(\frac{\text{Frequency}}{\text{Total Trials}}\)，隨著試驗次數增加，它會越來越接近理論概率。
• 樣本空間透過表格、樹形圖或列舉法列出所有可能結果。

繼續練習，你很快就會成為概率高手了！