定積分法及其應用

定積分及其應用

各位同學好！歡迎來到精彩的定積分世界。如果你曾經好奇如何找出彎曲圖形的準確面積，或者如何計算變化的總累積量，那麼你來對了地方。我們會一步步為你拆解。

在這個章節裡，我們會學習如何計算準確的面積，了解定積分如何透過微積分基本定理與微分聯繫起來，探討用於估算的梯形法則，並用它來解決現實世界的問題。

1. 什麼是定積分？核心概念

面積問題

找出長方形（長度 × 闊度）或三角形（½ × 底 × 高）的面積很容易。但如果是曲線下方的面積呢？這可沒有單一的初等幾何公式！

切割法：矩形概念

核心思想很簡單：讓我們用熟悉的圖形——矩形來估算面積！我們可以把曲線下方的面積切成許多薄薄的垂直矩形，然後把它們的面積加起來。

我們使用的矩形越多，它們越薄，我們的估算就越接近真實面積。定積分就代表當矩形數量趨近無限大，且闊度趨近零時，這個總和的極限。

定積分的符號

這整個過程由一個特殊符號表示：

\(\int_{a}^{b} f(x) \,dx\)

• 積分符號 (\(\int\))：一個拉長的「S」字，代表「總和」（Sum）。
• 積分上下限 (\(a\) 和 \(b\))：\(a\) 是在 \(x\) 軸上的下限，而 \(b\) 是上限。
• 被積函數 (\(f(x)\))：曲線在每個 \(x\) 點的高度。
• \(dx\)：每個矩形微小的闊度。

重點：當 \(f(x) \ge 0\) 時，定積分 \(\int_{a}^{b} f(x) \,dx\) 代表由曲線 \(y = f(x)\)、\(x\) 軸以及垂直線 \(x = a\) 和 \(x = b\) 所圍成的準確面積。

2. 神奇工具：微積分基本定理 (FTC)

微積分基本定理 (FTC) 將積分與微分聯繫起來。它提供了一種利用代數計算定積分的簡單方法：

\(\int_{a}^{b} f(x) \,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\)

其中 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的反導函數，意思是 \(F'(x) = f(x)\)。

逐步計算指南

讓我們計算 \(\int_{1}^{3} 2x \,dx\)：

1. 找出反導函數：\(2x\) 的反導函數是 \(x^2\)（常數 \(+ C\) 在定積分中會被抵消：\((b^2+C) - (a^2+C) = b^2 - a^2\)）。
2. 代入上限 (\(b = 3\))：\(F(3) = 3^2 = 9\)。
3. 代入下限 (\(a = 1\))：\(F(1) = 1^2 = 1\)。
4. 相減：\(F(3) - F(1) = 9 - 1 = 8\)。

常見錯誤提醒

永遠記住是「上限結果減下限結果」：\(F(b) - F(a)\)，絕不能寫成 \(F(a) - F(b)\)。

3. 定積分的性質

• 1. 交換上下限
\(\int_{b}^{a} f(x) \,dx = - \int_{a}^{b} f(x) \,dx\)

• 2. 相同上下限
\(\int_{a}^{a} f(x) \,dx = 0\)

• 3. 分割區間
\(\int_{a}^{c} f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx + \int_{b}^{c} f(x) \,dx\)

• 4. 常數倍
\(\int_{a}^{b} k f(x) \,dx = k \int_{a}^{b} f(x) \,dx\)

• 5. 和與差
\(\int_{a}^{b} [f(x) \pm g(x)] \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx \pm \int_{a}^{b} g(x) \,dx\)

啞變量

積分變量只是一個啞變量（佔位符）：\(\int_{a}^{b} f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(t) \,dt = \int_{a}^{b} f(u) \,du\)。

4. 積分方法：連同上下限的換元法

對定積分使用換元積分法時，務必將積分上下限由 \(x\) 轉換為 \(u\)。

例子：計算 \(\int_{0}^{2} 2x(x^2 + 1)^3 \,dx\)

1. 設 \(u = x^2 + 1\)，則 \(du = 2x \,dx\)。
2. 改變上下限：當 \(x = 0\) 時，\(u = 0^2 + 1 = 1\)。當 \(x = 2\) 時，\(u = 2^2 + 1 = 5\)。
3. 改寫並積分：\(\int_{1}^{5} u^3 \,du = \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{1}^{5} = \frac{5^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{625 - 1}{4} = 156\)。

5. 定積分的應用

求平面圖形的面積

1. 曲線與 \(x\) 軸之間的面積：

• 若在 \([a, b]\) 上 \(f(x) \ge 0\)：\(\text{面積} = \int_{a}^{b} f(x) \,dx\)。
• 若在 \([a, b]\) 上 \(f(x) \le 0\)：\(\text{面積} = -\int_{a}^{b} f(x) \,dx = \left| \int_{a}^{b} f(x) \,dx \right|\)。
• 若曲線在 \(x = c\) 處穿越 \(x\) 軸，則需分割積分：\(\text{面積} = \int_{a}^{c} |f(x)| \,dx + \int_{c}^{b} |f(x)| \,dx\)。

2. 兩條曲線之間的面積：

如果在區間 \([a, b]\) 上 \(f(x) \ge g(x)\)，那麼在 \(x = a\) 到 \(x = b\) 之間，由 \(y = f(x)\) 和 \(y = g(x)\) 所圍成的面積為：

\(\text{面積} = \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \,dx = \int_{a}^{b} (\text{上方曲線} - \text{下方曲線}) \,dx\)

例子：找出 \(y = 4 - x^2\) 與 \(y = x + 2\) 所圍成的面積。

設 \(4 - x^2 = x + 2 \implies x^2 + x - 2 = 0 \implies (x + 2)(x - 1) = 0\)，找出交點為 \(x = -2\) 及 \(x = 1\)。
在 \([-2, 1]\) 上，\(4 - x^2 \ge x + 2\)。
\(\text{面積} = \int_{-2}^{1} [(4 - x^2) - (x + 2)] \,dx = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \,dx = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{1} = \left( 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - \left( -4 - 2 + \frac{8}{3} \right) = \frac{7}{6} - \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{9}{2} = 4.5\)。

變率與總累積量

若 \(R(t) = \frac{dQ}{dt}\) 是某量 \(Q\) 隨時間 \(t\) 的變化率，則從 \(t = t_1\) 到 \(t = t_2\) 期間 \(Q\) 的總變化量可由定積分求得：

\(\Delta Q = Q(t_2) - Q(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} R(t) \,dt\)

6. 數值積分：梯形法則

當一個函數難以或無法透過代數方法進行積分時，我們可以使用梯形法則來估算定積分的值。

公式

將區間 \([a, b]\) 分割成 \(n\) 個闊度相等（\(h = \frac{b - a}{n}\)）的子區間，分點為 \(x_0 = a, x_1, x_2, \dots, x_n = b\)，相應的值為 \(y_0, y_1, y_2, \dots, y_n\)（其中 \(y_i = f(x_i)\)）：

\(\int_{a}^{b} f(x) \,dx \approx \frac{h}{2} \left[ y_0 + 2(y_1 + y_2 + \dots + y_{n-1}) + y_n \right] = \frac{h}{2} \left[ (\text{首項} + \text{尾項}) + 2(\text{中間各項之和}) \right]\)

高估與低估

• 若曲線在 \([a, b]\) 上向上凹（凹向上）（\(f''(x) > 0\)），梯形的弦線位於曲線上方，因此梯形法則會得出高估（過大估計）的值。
• 若曲線在 \([a, b]\) 上向下凹（凹向下）（\(f''(x) < 0\)），梯形的弦線位於曲線下方，因此梯形法則會得出低估（過小估計）的值。

7. 章節摘要與快速回顧

• 微積分基本定理：\(\int_{a}^{b} f(x) \,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\)。
• 換元法：務必將積分上下限轉換為新變量 \(u\)。
• 兩曲線之間的面積：\(\text{面積} = \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \,dx\)，其中 \(f(x) \ge g(x)\)。
• 總變化量：\(\int_{t_1}^{t_2} R(t) \,dt = Q(t_2) - Q(t_1)\)。
• 梯形法則：\(\int_{a}^{b} f(x) \,dx \approx \frac{h}{2}[y_0 + 2(y_1 + \dots + y_{n-1}) + y_n]\)，其中 \(h = \frac{b-a}{n}\)。