函數的導數

M1 微積分：函數導數研習筆記

各位同學好！歡迎來到 M1 微積分其中一個最重要課題的研習筆記：導數。即使名稱聽起來很深奧也不必擔心，我們會將它拆解成簡單易懂的部分。

那麼你會學到什麼呢？我們會從基礎概念「極限」開始講起。然後，我們會探索導數究竟是什麼（劇透：它全部都是關於變動率的！），還會學會強大的法則，讓我們可以輕輕鬆鬆地找到導數。你可以想像這是學會如何找到一輛汽車在某個瞬間的準確速度，或者是過山車在軌道上任何一點的精確斜率。這是一個超有用的工具！

第一部分：基礎 - 理解極限

學行先於學跑。在微積分中，「極限」就是我們的第一步。導數的整個概念都是奠基於此的。

那麼，什麼是極限？

想像你正走向一面牆。你每一步都走剩餘距離的一半。你越來越近，但永遠都碰不到那面牆。這面牆就是你的極限。它是一個函數當輸入值越來越接近某個數字時，「趨近」的數值。

我們會這樣寫函數 \(f(x)\) 當 \(x\) 趨近數字 \(c\) 的極限：

\( \lim_{x \to c} f(x) = L \)

這個意思就是：「當 \(x\) 變得非常非常接近 \(c\) 的時候，\(f(x)\) 的數值就會變得非常非常接近 \(L\)」。

如何找到極限（簡單方法）

對於你們會見到的大部分函數（例如多項式），找到極限最簡單的方法就是直接代入。將 \(x\) 趨近的數值直接代入函數就可以了！

例子：找到 \( \lim_{x \to 2} (x^2 + 3x) \)

步驟一： 將 \(x = 2\) 直接代入表達式。
步驟二： 計算結果。
\( (2)^2 + 3(2) = 4 + 6 = 10 \)

所以，\( \lim_{x \to 2} (x^2 + 3x) = 10 \)。很簡單，對嗎？

小心！0/0 問題

有時，直接代入會得到 \( \frac{0}{0} \)，這叫做不定型。這是紅燈！這不是說極限不存在；只是我們需要先做一些代數運算。

例子：找到 \( \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} \)

如果我們代入 \(x = 3\)，我們會得到 \( \frac{3^2 - 9}{3 - 3} = \frac{0}{0} \)。是時候做代數了！

步驟一：將表達式因式分解。留意分子是平方差。
\( \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} \)
步驟二：約去公因數。
\( \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3 \quad (\text{for } x \neq 3) \)
步驟三：現在，再試一次直接代入。
\( \lim_{x \to 3} (x+3) = 3 + 3 = 6 \)

所以，極限是 \(6\)！

極限：重點撮要

極限是函數趨近的數值。對於大部分問題，你可以用直接代入的方法找到它。如果你得到 \( \frac{0}{0} \)，就要用你的代數技巧（例如因式分解）來先將表達式化簡。

第二部分：導數簡介

現在來到重點了！到底這個「導數」是什麼呢？

導數就是斜率！

想像一條蜿蜒起伏的山路。它的陡峭程度處處不同。導數就好像一個魔法公式，它可以告訴你這條路在你所選擇的任何一個點的精確陡峭度（斜率）。

以數學術語來說，函數 \(f(x)\) 在某一點的導數給出圖像在該點的切線斜率。切線是一條只在某一點「接觸」曲線的直線。

導數衡量瞬時變動率。

• 如果 \(f(x)\) 是汽車的位置，它的導數 \(f'(x)\) 就是它的瞬時速度。
• 如果 \(C(x)\) 是生產物品的成本，它的導數 \(C'(x)\) 就是邊際成本（生產多一件物品的成本）。

正式概念：導數的基本定義

導數的官方定義是用極限來表達的。它看起來有些複雜，但概念很簡單。我們找到兩個超級接近的點之間的斜率，然後看看當它們之間的距離趨近零的時候會發生什麼。

定義是：

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)

別擔心！HKDSE 課程大綱說明你只需要「認識」這個概念。你不會被要求用這條公式來計算導數。我們有簡單很多的法則來做這件事，我們之後就會學到！

符號，符號，符號！

有幾種不同的方法來寫「函數的導數」。它們都是同一個意思，所以要熟習它們！

如果我們的函數是 \(y = f(x)\)，它的導數可以寫成：

• \(f'(x)\) (讀作「f prime of x」)
• \(y'\) (讀作「y prime」)
• \( \frac{dy}{dx} \) (讀作「d y d x」)

要表示在某個特定點的導數，例如 \(x = 2\)，我們會寫：

• \(f'(2)\)
• \( \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=2} \)

導數：重點撮要

導數提供你曲線上任何一點的切線斜率。它代表瞬時變動率。它有幾種不同的寫法，例如 \(f'(x)\) 和 \( \frac{dy}{dx} \)。

第三部分：你的微分工具箱（法則！）

這是真正有趣的部分開始了！這些法則是你找到導數的捷徑，而不需要用到複雜的極限定義。

基本法則（核心）

一、常數法則

任何常數的導數都是零。

\( \frac{d}{dx}(C) = 0 \)

類比：想像一下 \(y = 5\) 的圖像。它是一條水平直線。它的斜率是多少？零！
例子：如果 \(f(x) = 10\)，那麼 \(f'(x) = 0\)。

二、冪法則

這是你最常用的法則！要找到 \(x\) 的冪數的導數，你將指數「帶下來」前面，然後將原有的指數減一。

\( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)

助記口訣：「指數移前面，指數先減一。」

例子一：找到 \( y = x^4 \) 的導數
\( \frac{dy}{dx} = 4x^{4-1} = 4x^3 \)

例子二：找到 \( f(x) = \sqrt{x} \) 的導數
首先，將平方根寫成冪數形式：\( f(x) = x^{1/2} \)
現在，用冪法則：\( f'(x) = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)

三、常數倍數及和/差法則

這些法則很直觀。

• 常數倍數：你可以將常數抽到前面。\( \frac{d}{dx}(k \cdot f(x)) = k \cdot f'(x) \)
• 和/差：你可以逐項微分函數。\( \frac{d}{dx}(f(x) \pm g(x)) = f'(x) \pm g'(x) \)

例子：找到 \( y = 5x^3 - 2x^2 + 7 \) 的導數
逐項進行微分：
\( \frac{dy}{dx} = 5 \cdot (3x^2) - 2 \cdot (2x^1) + 0 \)
\( \frac{dy}{dx} = 15x^2 - 4x \)

「三大」進階法則

這些法則是用來處理更複雜的函數，例如它們是相乘、相除或者複合而成的。

一、乘法則

當你有兩個函數相乘的時候使用，例如 \( f(x) = u(x) \cdot v(x) \)。

\( \frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} \)

助記口訣：「第一個函數乘以第二個函數的導數，加上第二個函數乘以第一個函數的導數。」

例子：找到 \( y = x^2 \ln x \) 的導數
在這裡，\(u = x^2\) 和 \(v = \ln x\)。
所以，\( \frac{du}{dx} = 2x \) 和 \( \frac{dv}{dx} = \frac{1}{x} \)
代入公式：
\( \frac{dy}{dx} = (x^2) \cdot \left(\frac{1}{x}\right) + (\ln x) \cdot (2x) \)
\( \frac{dy}{dx} = x + 2x \ln x \)

常見錯誤警示！你不能就這樣將導數相乘：\( (uv)' \neq u'v' \)

二、商法則

當你有一個函數除以另一個函數的時候使用，例如 \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \)。

\( \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2} \)

助記口訣（唱出來吧！）： 「下乘上導減上乘下導，再除以以下的平方！」

例子：找到 \( y = \frac{e^x}{x^3} \) 的導數
在這裡，\(u = e^x\)（上）和 \(v = x^3\)（下）。
所以，\( \frac{du}{dx} = e^x \) 和 \( \frac{dv}{dx} = 3x^2 \)。
代入公式：
\( \frac{dy}{dx} = \frac{(x^3)(e^x) - (e^x)(3x^2)}{(x^3)^2} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{x^3e^x - 3x^2e^x}{x^6} = \frac{x^2e^x(x - 3)}{x^6} = \frac{e^x(x - 3)}{x^4} \)

三、鏈鎖法則

用於「函數裡面有函數」（複合函數）的情況。想像它就像俄羅斯套娃一樣。

如果 \( y = f(g(x)) \)，那麼它的導數就是：

\( \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)

步驟：「微分外層（內部保持不變），然後乘以內層的導數。」

例子：找到 \( y = (x^2 + 5)^4 \) 的導數
外層： \( (\text{某個嘢})^4 \)
內層： \( x^2 + 5 \)

步驟一：微分外層。用冪法則。將 4 帶下來，減 1，但內部保持不變。
\( 4(x^2 + 5)^3 \)
步驟二：微分內層。\( x^2 + 5 \) 的導數是 \( 2x \)。
步驟三：將它們相乘。
\( \frac{dy}{dx} = 4(x^2+5)^3 \cdot (2x) = 8x(x^2+5)^3 \)

特殊函數的導數

這些是你只需要背誦的公式。它們經常和鏈鎖法則一起出現！

• 自然指數函數： \( \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \) (它的導數就是它自己！)
• 自然對數函數： \( \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \)
• 一般指數函數： \( \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a \)
• 一般對數函數： \( \frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} \)

你知道嗎？數字 \(e\)（約 2.718）在微積分中這麼特別，正因為函數 \(e^x\) 在任何一點的斜率都等於它的數值！

微分法則：重點撮要

這些法則是你必需的工具箱。冪法則處理 \( x^n \)。乘法則處理相乘。商法則處理相除。鏈鎖法則處理函數裡面有函數。記住它們，還要多練習，多練習，多練習！

第四部分：更進一步 - 二階導數

如果我們對導數再取導數呢？這正就是二階導數！

什麼是二階導數？

二階導數衡量一階導數的變動率。如果一階導數告訴你斜率，那麼二階導數就告訴你斜率怎樣變化。

現實世界類比：

• 函數 \(f(x)\)：你的位置。
• 一階導數 \(f'(x)\)：你的速度（你位置變動有多快）。
• 二階導數 \(f''(x)\)：你的加速度（你速度變動有多快）。

二階導數亦幫助我們理解圖像的凹凸性（看看它是像杯狀裝水還是倒水一樣），這對於找到極大值和極小值很有用。

符號與計算

二階導數的符號只是多一個「prime」符號或者一個「2」。

• \(f''(x)\) (讀作「f double-prime of x」)
• \(y''\) (讀作「y double-prime」)
• \( \frac{d^2y}{dx^2} \) (讀作「d two y d x squared」)

要找到它，你只需要將你的函數微分兩次就可以了！

例子：找到 \( y = 2x^3 - 4x^2 + 10x \) 的二階導數

步驟一：找到一階導數（\( \frac{dy}{dx} \)）。
\( \frac{dy}{dx} = 2(3x^2) - 4(2x) + 10 = 6x^2 - 8x + 10 \)

步驟二：微分一階導數來得到二階導數（\( \frac{d^2y}{dx^2} \)）。
\( \frac{d^2y}{dx^2} = 6(2x) - 8 + 0 = 12x - 8 \)

就是這樣！你已經找到二階導數了。

好消息：M1 課程大綱中，你不需要擔心三階、四階或者任何更高階的導數！

二階導數：重點撮要

二階導數是「導數的導數」。它告訴你斜率怎樣變化（想像：加速度）。要找到它，只需要將你的微分法則應用兩次。