M1 統計學：條件概率與貝葉斯定理

大家好！歡迎來到香港中學文憑考試（HKDSE）M1 統計學中最核心課題之一——條件概率與貝葉斯定理的學習筆記。如果這些名稱聽起來有點嚇人，請不用擔心！背後的概念其實非常合乎邏輯，而且在甲部和乙部的傳統題中都經常出現。

在本章中，我們將學習如何計算條件概率、檢驗獨立事件、應用乘法定律，以及使用全概率定律和貝葉斯定理來反轉條件事件。讓我們馬上開始吧！


1. 什麼是條件概率？

條件概率的核心概念是：在另一個事件已經發生的前提下，某事件發生的概率。我們基本上是根據新資訊來更新概率。

快速回顧：基本概率

還記得事件 \(A\) 的基本概率是：

\(P(A) = \frac{\text{Number of favourable outcomes for } A}{\text{Total number of possible outcomes}}aggedright\)

例子：擲一枚勻稱的六面骰子擲出「4」的概率是 \(P(\text{rolling a 4}) = \frac{1}{6}\)，因為只有一個「4」，而總共有六個可能結果。

核心思想：縮小了的樣本空間

條件概率縮小了我們的樣本空間。當我們知道事件 \(B\) 已經發生時，我們可以忽略 \(B\) 以外的所有結果。

類比：在學校裡尋找特定學生。
想像一下，你的學校有 1000 名學生。隨機選出一名中六女生的概率是 \(P(\text{Form 6 Girl})\)。
現在，假設你得到新資訊：「選出的學生是中六學生。」
你的樣本空間立即從 1000 名學生縮小到只剩下中六學生。在該學生是中六學生的前提下選到女生的概率，只會在全體中六學生中評估。

符號表示與公式

我們將「在事件 \(B\) 已發生的前提下，事件 \(A\) 發生」的條件概率寫作 \(P(A|B)\)。

垂直線 \(|\) 代表「在……前提下」或「給定」。因此，\(P(A|B)\) 讀作「在 \(B\) 的前提下 \(A\) 的概率」。

基本公式是：

\(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\quad \text{其中 } P(B) > 0\)

讓我們分解每個部分：

• \(P(A|B)\)：在 \(B\) 條件發生的情況下，\(A\) 發生的概率。

• \(P(A \cap B)\)：\(A\) 和 \(B\) 同時發生的概率（\(A\) 與 \(B\) 的交集）。

• \(P(B)\)：給定條件 \(B\) 的概率（縮小了的樣本空間）。

逐步例子：雙向列聯表

一項對 100 名中學生的調查按他們參與的運動進行分類：

踢足球 (\(F\)) | 不踢足球 (\(F'\)) | 總計
打籃球 (\(B\))：20 | 25 | 45
不打籃球 (\(B'\))：30 | 25 | 55
總計：50 | 50 | 100


問題：在隨機選出的學生有踢足球的前提下，求該學生有打籃球的概率。

步驟 1：確定所需的概率。
我們想找出 \(P(B|F)\)。

步驟 2：從表格提取概率。
\(P(B \cap F) = \frac{20}{100} = 0.2\)
\(P(F) = \frac{50}{100} = 0.5\)

步驟 3：應用條件概率公式。
\(P(B|F) = \frac{P(B \cap F)}{P(F)} = \frac{0.2}{0.5} = 0.4\)

或者，直接觀察踢足球學生的那一行：在 50 名踢足球的學生中，有 20 人打籃球，得出 \(\frac{20}{50} = 0.4\)。

應避免的常見錯誤：

• 一般而言 \(P(A|B) \neq P(B|A)\)。例如，\(P(B|F) = \frac{20}{50} = 0.4\)，但 \(P(F|B) = \frac{20}{45} \approx 0.444\)。
• 分母永遠必須是給定條件事件的概率：對於 \(P(A|B)\)，除以 \(P(B)\)。


2. 獨立事件

如果一個事件的發生不會影響另一個事件發生的概率，則事件 \(A\) 和 \(B\) 為獨立事件。

獨立性的正式條件

事件 \(A\) 和 \(B\) 獨立當且僅當以下任何一個等價語句成立：

• \(P(A|B) = P(A)\)（其中 \(P(B) > 0\)）

• \(P(B|A) = P(B)\)（其中 \(P(A) > 0\)）

• 獨立事件的乘法定律：\(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)

HKDSE M1 提示：若要證明兩個事件是否獨立，請計算 \(P(A \cap B)\) 並將其與積 \(P(A) \times P(B)\) 進行比較。如果 \(P(A \cap B) = P(A)P(B)\)，則它們是獨立的；否則，它們是相依（不獨立）的。


3. 一般乘法定律與樹形圖

一般乘法定律

重新整理條件概率公式可得出一般乘法定律，對任何兩個事件 \(A\) 和 \(B\) 均適用：

\(P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = P(B) \times P(A|B)\)

順序試驗（不放回）

例子：一個袋子裡有 5 個紅球和 3 個藍球（共 8 個球）。從袋中隨機連續抽取兩個球，不放回。抽出的兩個球都是紅色的概率是多少？

步驟 1：第一次抽取。
第一次抽出紅球的概率：\(P(R_1) = \frac{5}{8}\)。

步驟 2：第二次抽取（在第一次抽取的條件下）。
抽出 1 個紅球後，剩下 4 紅 3 藍（共 7 個球）。
\(P(R_2 | R_1) = \frac{4}{7}\)。

步驟 3：應用乘法定律。
\(P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2|R_1) = \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}\)


4. 全概率定律與貝葉斯定理

全概率定律

設事件 \(A_1, A_2, \dots, A_k\) 構成樣本空間的一個分割（即它們互斥，當 \(i \neq j\) 時 \(A_i \cap A_j = \emptyset\)，且完備，\(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_k = S\)）。

對任何事件 \(B\)：

\(P(B) = \sum_{i=1}^k P(B \cap A_i) = \sum_{i=1}^k P(A_i)P(B|A_i)\)

對於兩個對立事件 \(A\) 和 \(A'\)，這簡化為：

\(P(B) = P(A)P(B|A) + P(A')P(B|A')\)

貝葉斯定理

貝葉斯定理允許我們反轉條件概率（當我們知道條件似然 \(P(B|A_i)\) 時求 \(P(A_j|B)\)）：

\(P(A_j|B) = \frac{P(A_j \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A_j)P(B|A_j)}{\sum_{i=1}^k P(A_i)P(B|A_i)}\)

對於兩個分割 \(A\) 和 \(A'\)：

\(P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(A)P(B|A) + P(A')P(B|A')}\)

逐步解題範例

工廠內的兩條生產線 \(A\) 和 \(B\) 生產燈泡。生產線 \(A\) 生產所有燈泡的 60%，生產線 \(B\) 生產 40%。已知來自生產線 \(A\) 的燈泡有 2% 是次品，而來自生產線 \(B\) 的燈泡有 5% 是次品。

問題：如果隨機選出的燈泡是次品，求它來自生產線 \(A\) 的概率。

步驟 1：定義事件並確定已知數值。
設 \(A\) = 燈泡來自生產線 \(A\)，\(B\) = 燈泡來自生產線 \(B\)，\(D\) = 燈泡是次品。
\(P(A) = 0.60\)，\(P(B) = 0.40\)
\(P(D|A) = 0.02\)，\(P(D|B) = 0.05\)

步驟 2：求燈泡是次品的總概率 \(P(D)\)。
應用全概率定律：
\(P(D) = P(A)P(D|A) + P(B)P(D|B)\)
\(P(D) = (0.60)(0.02) + (0.40)(0.05) = 0.012 + 0.020 = 0.032\)

步驟 3：應用貝葉斯定理。
\(P(A|D) = \frac{P(A \cap D)}{P(D)} = \frac{P(A)P(D|A)}{P(D)} = \frac{0.012}{0.032} = 0.375 = \frac{3}{8}\)


章節總結：快速回顧

• 條件概率：\(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)，其中 \(P(B) > 0\)。

• 乘法定律：\(P(A \cap B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)\)。

• 獨立事件：\(A\) 和 \(B\) 獨立當且僅當 \(P(A \cap B) = P(A)P(B)\)（或 \(P(A|B) = P(A)\)）。

• 全概率定律：\(P(B) = \sum_{i=1}^k P(A_i)P(B|A_i)\)。

• 貝葉斯定理：\(P(A_j|B) = \frac{P(A_j)P(B|A_j)}{\sum_{i=1}^k P(A_i)P(B|A_i)}\)。