M1 溫習筆記：泊松分佈
大家好！歡迎大家來到M1統計學最有趣的課題之一：泊松分佈的溫習筆記！這個名稱聽起來可能有些陌生，但不用擔心。它是一個超級有用的工具，幫助我們理解在時間或空間上隨機發生的事件。
在這個章節，我們會學習如何預測以下這些事情的概率：
- 你一個小時內收到的電郵數量。
- 一本書裡面，一頁紙上的打字錯誤數量。
- 十分鐘內到達收銀處的顧客數量。
溫習完這份筆記之後，你就會明白什麼是泊松分佈、何時使用它、以及如何使用它來計算概率。我們一起開始吧！
1. 泊松分佈究竟是什麼？
想像一下你試圖計算某件事發生了多少次，但這些事件都是隨機且獨立的。二項分佈適用於有固定次數試驗的情況（例如擲硬幣10次）。但如果沒有固定的「試驗次數」呢？如果只是在固定的時間區間內，等待事件發生呢？
這個時候，泊松分佈就派上用場了！它是一種離散概率分佈，幫助我們找出在固定的時間、面積、體積或距離區間內，特定數量事件發生的概率。
關鍵參數：Lambda (\(\lambda\))
整個泊松分佈都圍繞著一個唯一而超級重要的參數：lambda，寫作\(\lambda\)。
\(\lambda\) (Lambda) = 在一個特定區間內，事件的平均發生數量。
可以將它視為「平均發生率」。例如：
- 如果一個客戶服務中心平均每個小時收到10個電話，那麼 \(\lambda = 10\)（對於一個小時的區間）。
- 如果一位生物學家在一片田野中，平均每平方米找到2朵稀有花朵，那麼 \(\lambda = 2\)（對於 \(1\text{ m}^2\) 的區間）。
何時可以使用泊松分佈？
泊松分佈並非萬能！一個情況要符合以下條件，才能使用泊松分佈來建立模型：
- 事件以恆定的平均發生率發生（即是 \(\lambda\) 的數值不會改變）。
- 事件之間互相獨立（即是一件事件的發生不會讓另一件事件變得更可能或更不可能發生）。
- 事件隨機發生。
- 兩個事件不能在同一瞬間發生。
重點提示：第一部分
泊松分佈用於計算在固定區間（例如時間或空間）內，隨機、獨立事件的數量。它唯一的參數是\(\lambda\) (lambda)，即是該區間內事件的平均發生率。
2. 泊松概率公式
好的，接下來是重頭戲了！如果隨機變量 \(X\) 遵循泊松分佈，平均發生率為 \(\lambda\)，我們會這樣寫：
\(X \sim Po(\lambda)\)
在該區間內觀察到剛好k個事件的概率，可以使用以下公式表示：
\(P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \quad \text{for } k = 0, 1, 2, \dots\)
不用被這條公式嚇到！我們來拆解一下：
- \(P(X=k)\) 是我們想找的：即是事件數量剛好是 \(k\) 的概率。
- \(k\) 是你感興趣的特定事件數量（例如，剛好有3個電話的概率）。
- \(\lambda\) 是該區間內事件的平均數量。
- \(e\) 是歐拉數（你的計算機認識它，它大約是 \(2.718\)）。
- \(k!\) 是「k階乘」，即是 \(k \times (k-1) \times \dots \times 2 \times 1\)（例如，\(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\)）。記住 \(0! = 1\)。
逐步範例
一個客戶服務熱線平均每個小時收到5個電話。在一個特定的小時內，他們剛好收到2個電話的概率是多少？
步驟1：確認分佈和參數。
- 事件（電話）在固定的區間（一個小時）內隨機發生。這聽起來就像泊松分佈！
- 平均發生率是每個小時5個電話，所以 \(\lambda = 5\)。
- 我們想找出剛好有2個電話的概率，所以 \(k = 2\)。
- 所以，我們有 \(X \sim Po(5)\) 並且需要找出 \(P(X=2)\)。
步驟2：將數值代入公式。
\(P(X=2) = \frac{e^{-5} \cdot 5^2}{2!}\)
步驟3：計算結果。
\(P(X=2) = \frac{e^{-5} \cdot 25}{2 \times 1} = \frac{(0.006738) \cdot 25}{2} \approx 0.0842\)
所以，在那個小時內剛好收到2個電話的機會大約是8.42%。
常見錯誤要避開
- 混淆 \(\lambda\) 和 \(k\)：記住，\(\lambda\) 是該區間的平均數，\(k\) 是你測試的特定數值。
- 忘記 \(0! = 1\)：零事件的概率是 \(P(X=0) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^0}{0!} = e^{-\lambda}\)，因為 \(\lambda^0=1\) 和 \(0!=1\)。
- 計算機錯誤：輸入階乘以及 \(e\) 的次方時要小心。記得用你的計算機上面的 \(e^x\) 按鈕。
3. 泊松分佈的特性
這個部分簡單又重要。課程要求你認識泊松分佈的均值和方差。不需要證明！
均值和方差
對於一個隨機變量 \(X \sim Po(\lambda)\)：
- 均值（或者期望值）是：\(E(X) = \lambda\)
- 方差是：\(Var(X) = \lambda\)
記憶技巧
這有一個簡單的記憶方法：「泊松分佈很簡單，均值方差都一樣！」
這是泊松分佈一個獨特的性質！如果題目告訴你一個離散分佈的均值和它的方差相等，那麼這就是一個很大的提示，表示你可能正在處理泊松分佈的問題了。
你知道嗎？
標準差是方差的平方根。所以對於泊松分佈來說，標準差就是 \(\sqrt{\lambda}\)。
快速回顧區
如果 \(X \sim Po(3)\)，那麼：
- 事件的平均數量是3。
- 均值 \(E(X)\) 是3。
- 方差 \(Var(X)\) 是3。
4. 獨立泊松變量的相加
HKDSE M1 中一個很重要的性質就是將獨立的泊松變量相加。
如果 \(X \sim Po(\lambda_1)\) 和 \(Y \sim Po(\lambda_2)\) 是獨立的隨機變量，那麼它們的總和也遵循泊松分佈：
\(X + Y \sim Po(\lambda_1 + \lambda_2)\)
範例
一間麵包店平均每個早上收到4個網上訂單（\(X \sim Po(4)\)），每個下午收到6個網上訂單（\(Y \sim Po(6)\)）。假設早上和下午的訂單互相獨立，求每天總訂單數量的分佈。
由於 \(X\) 和 \(Y\) 是獨立的泊松變量：
\(T = X + Y \sim Po(4 + 6) = Po(10)\)
你現在就可以使用 \(\lambda = 10\) 來計算全日總數的任何概率了！
5. 調整發生率 (\(\lambda\))
這是考試問題中很常見的「考法」，所以要特別留意！\(\lambda\) 的數值必須要與題目中的區間相符。
如果題目給你一個區間的平均發生率，但是問著另一個不同區間的概率，你必須要先調整 \(\lambda\)。
逐步範例
一個網站平均每個小時收到180次點擊。在1分鐘的時間內，剛好收到4次點擊的概率是多少？
步驟1：找出原始發生率。
- 發生率是每60分鐘180次點擊。
步驟2：將發生率 (\(\lambda\)) 調整到新的區間（1分鐘）。
- 平均每分鐘發生率 = \(\frac{180 \text{ 次點擊}}{60 \text{ 分鐘}} = 3\) 次點擊每分鐘。
- 我們新的、已調整的 \(\lambda = 3\)。
步驟3：在泊松公式中使用新的\(\lambda\)。
- 我們想找出在這個1分鐘區間內有4次點擊（\(k=4\)）的概率。
- 所以，我們需要為 \(X \sim Po(3)\) 計算 \(P(X=4)\)。
\(P(X=4) = \frac{e^{-3} \cdot 3^4}{4!} = \frac{e^{-3} \cdot 81}{24} \approx 0.168\)
6. 使用泊松分佈近似二項分佈
有時，使用二項分佈 \(X \sim B(n, p)\) 計算概率會很困難，尤其當 \(n\) 很大的時候。
近似的條件
如果你想使用泊松分佈近似一個二項分佈，需要滿足以下條件：
- \(n\) 很大（通常 \(n > 50\)）。
- \(p\) 很小（通常 \(p < 0.1\)）。
如何進行近似
如果 \(X \sim B(n, p)\) 並且符合上面的條件，你可以用以下方法來近似：
\(Y \sim Po(\lambda) \quad \text{where} \quad \lambda = np\)
逐步範例
一間工廠生產大量電腦晶片。晶片有缺陷的概率是0.005。晶片每400塊裝一盒。找出一個盒子裡面剛好有3塊有缺陷晶片的近似概率。
- 這裡 \(n = 400\)（很大）而 \(p = 0.005\)（很小）。
- 設定 \(\lambda = np = 400 \times 0.005 = 2\)。
- 設 \(Y \sim Po(2)\)，因此：
\(P(Y=3) = \frac{e^{-2} \cdot 2^3}{3!} = \frac{e^{-2} \cdot 8}{6} \approx 0.180\)
7. 使用正態分佈近似泊松分佈
當發生率參數 \(\lambda\) 很大時，計算泊松概率可能會變得相當繁瑣。在這種情況下，我們可以使用連續的正態分佈來近似泊松分佈。
正態近似的條件
- \(\lambda > 15\)（或 \(\lambda\) 足夠大）。
如何進行近似
如果 \(X \sim Po(\lambda)\) 且 \(\lambda > 15\)，我們可以使用以下分佈來近似 \(X\)：
\(Y \sim N(\mu, \sigma^2) \quad \text{where } \mu = \lambda \text{ and } \sigma^2 = \lambda\)
連續性修正（關鍵步驟！）
因為我們是用連續分佈來近似離散分佈，所以必須進行連續性修正（\(\pm 0.5\)）：
- \(P(X = k) \approx P(k - 0.5 < Y < k + 0.5)\)
- \(P(X \le k) \approx P(Y < k + 0.5)\)
- \(P(X \ge k) \approx P(Y > k - 0.5)\)
- \(P(a \le X \le b) \approx P(a - 0.5 < Y < b + 0.5)\)
