離散隨機變量

M1 溫習筆記：離散隨機變數

您好！歡迎來到 M1 統計學中最有趣的主題之一：離散隨機變數的溫習筆記。這個名字聽起來有點複雜，但別擔心，我們會將所有概念逐一拆解，變得簡單易明。

在本章中，我們會學習如何將數字賦予隨機事件的結果（例如擲骰子或擲硬幣），然後探索我們可以對這些數字做出什麼預測。這是一個非常重要的概念，廣泛應用於玩遊戲、保險以至工廠的品質控制等各個領域。我們現在就開始！

1. 什麼是離散隨機變數？

先從基礎開始：什麼是隨機變數？

想像你擲一個標準的六面骰子。結果是隨機的，對吧？一個隨機變數，我們通常會用 X 來表示，它其實就是一種將數值賦予每個可能結果的方法。

例子：如果我們擲一個骰子，我們可以將隨機變數 \(X\) 定義為擲出的點數。那麼，\(X\) 的可能值就是 1、2、3、4、5 和 6。

你可以把 X 想成是一個代表數值結果的「替身」，在事件實際發生之前就存在。

關鍵概念：「離散」

「離散」這個詞的意思是，變數只能取特定的、分開且可數的值。這些數值之間有空隙，你可以列出所有可能的結果。

實例（離散）：課室裡的學生人數。你可以有 30 個學生或 31 個學生，但你不可能有 30.5 個學生。你可以數清他們。

實例（離散）：你擲兩個骰子得到的總和。可能的值是 2、3、4、...、12。這些數值之間存在空隙。

反例（連續）：學生的身高。某人可能是 175 厘米、175.1 厘米，甚至是 175.11 厘米高。你無法列出所有可能的身高，因為這些數值在一個連續的尺度上。（連續變數會在之後的章節中講解！）

重點提示

一個離散隨機變數是指其數值由隨機實驗結果決定，並且其可能值是可數的變數。

2. 概率分佈：隨機變數的規則手冊

什麼是概率分佈？

一個概率分佈是一個表格、圖表或公式，它告訴我們離散隨機變數 X 每個可能值的概率。它就像是隨機變數行為的完整摘要。

比喻：你可以想像它像一份菜單。X 的可能值是菜式，而概率就是它們的價錢。概率分佈列出了每道菜式及其價錢。

離散概率分佈的兩大黃金定律

對於任何有效的概率分佈，有兩條規則必須成立：

1. 每個值 x 的概率必須介乎於 0 和 1 之間（包括兩端）。
\(0 \leq P(X=x) \leq 1\)

2. 所有可能值的概率總和必須剛好是 1。
\(\sum P(X=x) = 1\)
這很合理，對吧？這意味著所有可能的結果中，必然有一個會發生！

如何展示概率分佈

有幾種方式，但對我們來說最常見的是表格。

逐步示例

我們來為一枚不均勻硬幣建立一個概率分佈，其中擲出正面的概率是 0.6。讓隨機變數 X 為單次擲硬幣中正面的次數。

步驟 1：識別 X 的可能值。
如果你擲一次硬幣，你可能會得到 0 次正面（即反面）或 1 次正面。所以，X 的值是 0 和 1。

步驟 2：找出每個值的概率。

\(P(X=1) = P(\text{Head}) = 0.6\)

\(P(X=0) = P(\text{Tail}) = 1 - P(\text{Head}) = 1 - 0.6 = 0.4\)

步驟 3：將其放入表格。

x: 0, 1
\(P(X=x)\): 0.4, 0.6

步驟 4：檢查兩大黃金定律！
所有概率都介乎於 0 和 1 之間嗎？是的。它們的總和是 1 嗎？是的，\(0.4 + 0.6 = 1\)。所以這是一個有效的概率分佈！

重點提示

一個概率分佈將隨機事件的每個可能數值結果與其發生的概率聯繫起來。所有概率的總和必須總是 1。

3. 期望值：平均來說會期待什麼

什麼是期望值，E(X)？

一個隨機變數的期望值，寫作 \(E(X)\)，是你重複實驗很多很多次後，預期會得到的長期平均值。它是概率分佈的平均數。

比喻：想像一個遊戲：你擲骰子，擲到多少點就贏多少錢。有時候你會贏 $1，有時候會贏 $6。如果你玩這個遊戲數千次，你每局平均贏多少錢？那正是期望值。

重要：期望值不一定是 X 實際可以取到的值！對於一個均勻骰子，\(E(X) = 3.5\)，但你永遠不可能擲出 3.5。

期望值的公式

要計算 \(E(X)\)，你需要將每個可能的值 x 乘以其概率 \(P(X=x)\)，然後將它們全部加起來。

\(E(X) = \sum x \cdot P(X=x)\)

逐步示例

假設一個遊戲的贏取金額 (X) 有以下概率分佈。

x ($): 0, 10, 50
\(P(X=x)\): 0.7, 0.2, 0.1

計算：
\(E(X) = (0 \times 0.7) + (10 \times 0.2) + (50 \times 0.1)\)
\(E(X) = 0 + 2 + 5\)
\(E(X) = 7\)

所以，如果你玩很多次，平均來說，你每局遊戲預期會贏得 $7。

期望值的特性

這些是非常實用的捷徑！

對於任何常數 a 和 b：\(E(aX + b) = aE(X) + b\)

簡單來說：如果你將隨機結果 X 乘以 a，然後加上 b，新的期望值就只是舊的期望值乘以 a，再加上 b。

例子：在上述遊戲中，\(E(X) = 7\)。如果遊戲主持人決定將你的贏取金額加倍，再額外給你 $5 獎金，新的贏取金額是 \(Y = 2X + 5\)。新的預期贏取金額是 \(E(Y) = 2E(X) + 5 = 2(7) + 5 = 19\)。

函數的期望值，E[g(X)]

有時我們需要計算 X 某個函數的期望值，例如 \(E(X^2)\)。規則是相似的：將函數應用於每個 x 值，然後乘以其概率並加起來。

\(E[g(X)] = \sum g(x) \cdot P(X=x)\)

對於 \(E(X^2)\)，這就變成：\(E(X^2) = \sum x^2 \cdot P(X=x)\)

使用我們的遊戲例子：
\(E(X^2) = (0^2 \times 0.7) + (10^2 \times 0.2) + (50^2 \times 0.1)\)
\(E(X^2) = (0 \times 0.7) + (100 \times 0.2) + (2500 \times 0.1)\)
\(E(X^2) = 0 + 20 + 250 = 270\)。（我們在計算方差時會用到這個！）

重點提示

期望值 \(E(X)\) 是隨機變數結果的加權平均數。它告訴你長期平均值。使用 \(E(X) = \sum x \cdot P(X=x)\) 來計算它。

4. 方差：衡量分散程度

什麼是方差，Var(X)？

方差，寫作 \(Var(X)\)，衡量隨機變數的數值與其期望值（即平均數）之間的分散程度。

小方差意味著結果通常非常接近期望值。（一致、可預測）

大方差意味著結果非常分散。（不一致、風險高）

比喻：兩位籃球員每場比賽的預期得分可能都是 20 分。球員 A 的得分是 19、20、21、20（低方差）。球員 B 的得分是 40、0、30、10（高方差）。他們的平均分相同，但球員 B 的表現遠遠更難預測。

方差的最佳公式（捷徑！）

雖然方差的定義是 \(Var(X) = E[(X - E(X))^2]\)，但我們在計算時會使用一個簡單得多的公式：

\(Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\)

請小心！注意 \(E(X^2)\)（平方值的平均數）和 \([E(X)]^2\)（平均數的平方）之間的區別。這是個常見的錯誤點！

逐步示例（使用我們之前的遊戲）

我們之前已經找到 \(E(X) = 7\) 和 \(E(X^2) = 270\)。

步驟 1：將數值代入公式。
\(Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\)
\(Var(X) = 270 - (7)^2\)
\(Var(X) = 270 - 49\)
\(Var(X) = 221\)

這個數字告訴我們數據的分散程度相當大。

那麼標準差呢？

標準差就是方差的正平方根。它的符號是 \(\sigma\) (sigma) 或 \(\text{SD}(X)\)。

\(\text{SD}(X) = \sqrt{Var(X)}\)

主要優點是它的單位與隨機變數 X 相同，這使得理解分散程度變得更容易。

方差的特性

就像期望值一樣，我們也有一些方便的捷徑！

對於任何常數 a 和 b：\(Var(aX + b) = a^2 Var(X)\)

簡單來說：

加上一個常數 b 只會使整個分佈平移；它並不會改變它的分散程度。這就是為什麼 b 會從公式中消失。

乘以一個常數 a 會拉伸分佈，使分散程度增加 \(a^2\) 倍。

例子：對於我們的遊戲，\(Var(X) = 221\)。如果主持人將贏取金額加倍並額外給 $5 獎金 (\(Y = 2X + 5\))，新的方差是 \(Var(Y) = 2^2 Var(X) = 4 \times 221 = 884\)。

重點提示

方差 \(Var(X)\) 衡量數據圍繞平均數的分散程度。使用捷徑公式 \(Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\) 來計算它。

5. 二項分佈

在 HKDSE M1 課程中，我們會學習三種特定的離散分佈：二項分佈、幾何分佈和泊松分佈。

何時使用二項分佈

當實驗包含固定數量的獨立試驗，且每次試驗都只有兩種可能的結果時，二項分佈就是你的工具。

首先，一個快速定義：伯努利試驗是只有兩種結果（通常稱為「成功」和「失敗」）的單次實驗。（例如：一次擲硬幣）。

如果一個實驗符合這四個條件，它就遵循二項分佈。一個好用的助記詞是 B.I.N.S.：

B - 二元 (Binary)：每次試驗只有兩種可能的結果（「成功」或「失敗」）。

I - 獨立 (Independent)：一次試驗的結果不影響另一次試驗的結果。

N - 次數 (Number)：試驗的次數是固定的，我們稱之為 n。

S - 成功 (Success)：每次試驗成功的概率，我們稱之為 p，是相同的。

如果符合這些條件，且 X 是成功次數的隨機變數，我們寫作：\(X \sim B(n, p)\) 這表示「X 遵循參數為 n（試驗次數）和 p（成功概率）的二項分佈。」

經典例子：擲一枚均勻硬幣 10 次，並計算正面的次數。這裡，\(n=10, p=0.5\)。

二項概率公式

在 n 次試驗中恰好得到 k 次成功的概率是：

\(P(X=k) = C_k^n p^k (1-p)^{n-k}\quad \text{for } k = 0, 1, 2, \dots, n\)

其中：

\(C_k^n\) 是組合公式（指從 n 次試驗中選出 k 次成功的方法數）。

\(p^k\) 是 k 次成功的概率。

\((1-p)^{n-k}\) 是其餘 \(n-k\) 次試驗失敗的概率。

逐步示例

一個學生參加一個 5 題的多項選擇題測驗。每題有 4 個選項，而且學生每題都靠猜。他恰好答對 3 題的概率是多少？

步驟 1：檢查是否為二項分佈 (B.I.N.S.)。

B 二元：是的，每題要麼「答對」（成功）要麼「答錯」（失敗）。

I 獨立：是的，猜一題的結果不影響另一題。

N 次數：是的，試驗的固定次數是 \(n = 5\)。

S 成功：是的，每題猜對的概率是 \(1/4\)，所以 \(p = 0.25\)。

它符合二項分佈！所以，\(X \sim B(5, 0.25)\)。我們想找出 \(P(X=3)\)。

步驟 2：使用公式，其中 \(n=5, p=0.25, k=3\)。

\(P(X=3) = C_3^5 (0.25)^3 (1-0.25)^{5-3}\)
\(P(X=3) = 10 \cdot (0.25)^3 (0.75)^2\)
\(P(X=3) = 10 \cdot (0.015625) \cdot (0.5625)\)
\(P(X=3) \approx 0.0879\)

所以他大約有 8.8% 的機會恰好猜對 3 題。

二項分佈的平均數與方差

對於二項分佈 \(X \sim B(n, p)\)：

平均數 (期望值)：\(E(X) = np\)

方差：\(Var(X) = np(1-p)\)

重點提示

當處理固定數量的獨立試驗且只有兩種結果時，使用二項分佈。記住 B.I.N.S. 和關鍵公式：\(P(X=k) = C_k^n p^k (1-p)^{n-k}\)、\(E(X) = np\) 和 \(Var(X) = np(1-p)\)。

6. 幾何分佈

何時使用幾何分佈

二項分佈計算在固定試驗次數中的成功次數，而幾何分佈則是計算獲得第一次成功所需的試驗次數。

幾何分佈的條件：

每次試驗相互獨立，且只有兩種結果：成功或失敗。

每次試驗成功的概率 \(p\) 保持不變。

重複試驗直到第一次成功出現為止。

若 \(X\) 表示第一次成功出現時的試驗次數，我們寫作：\(X \sim Geo(p)\)，其中 \(X\) 可以取值 \(1, 2, 3, \dots\)。

概率公式

要在第 \(k\) 次試驗才獲得第一次成功，你必須先經歷 \(k-1\) 次失敗，然後在第 \(k\) 次試驗成功：

\(P(X=k) = (1-p)^{k-1}p\quad \text{for } k = 1, 2, 3, \dots\)

累積特性：需要多於 \(k\) 次試驗

需要多於 \(k\) 次試驗才能獲得第一次成功的概率，意味著首 \(k\) 次試驗全為失敗：

\(P(X > k) = (1-p)^k\)

因此，在首 \(k\) 次試驗之內獲得第一次成功的概率為：

\(P(X \leq k) = 1 - P(X > k) = 1 - (1-p)^k\)

幾何分佈的平均數與方差

平均數 (期望值)：\(E(X) = \frac{1}{p}\)

方差：\(Var(X) = \frac{1-p}{p^2}\)

逐步示例

一名玩家擲一枚均勻的 6 面骰子，直至擲出「6」為止。設 \(X\) 為所需的擲骰次數。

這裡，\(p = \frac{1}{6}\)，所以 \(X \sim Geo\left(\frac{1}{6}\right)\)。

在第 4 次擲出第一個 6 的概率：
\(P(X=4) = \left(1 - \frac{1}{6}\right)^{4-1} \left(\frac{1}{6}\right) = \left(\frac{5}{6}\right)^3 \left(\frac{1}{6}\right) = \frac{125}{1296} \approx 0.0965\)

需要擲多於 3 次的概率：
\(P(X > 3) = \left(1 - \frac{1}{6}\right)^3 = \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216} \approx 0.5787\)

預期擲骰次數：
\(E(X) = \frac{1}{1/6} = 6\) 次。

重點提示

當計算直到第一次成功所需的試驗次數時，使用 \(X \sim Geo(p)\)。記住：\(P(X=k) = (1-p)^{k-1}p\)、\(P(X > k) = (1-p)^k\)、\(E(X) = \frac{1}{p}\) 以及 \(Var(X) = \frac{1-p}{p^2}\)。

7. 泊松分佈

何時使用泊松分佈

泊松分佈描述了在固定時間或空間區間內事件發生的次數，而你已知事件的平均發生率。

在以下情況下使用泊松分佈：

事件以恆定的平均發生率隨機且獨立地發生。

我們正在計算在一個連續區間（例如時間、面積、體積）內事件發生的次數。

平均發生率以 \(\lambda\) (lambda) 表示。

如果符合這些條件，且 X 是在該區間內事件發生次數的隨機變數，我們寫作：\(X \sim Po(\lambda)\)。

泊松概率公式

在一個區間內觀察到恰好 k 個事件的概率是：

\(P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\quad \text{for } k = 0, 1, 2, \dots\)

因應不同區間調整 \(\lambda\)

如果題目改變了區間的大小，在使用公式前，你必須按比例調整 \(\lambda\)。

例子：如果來電平均每小時 6 次，對於一個 20 分鐘的時段（\(\frac{1}{3}\) 小時），新的發生率為 \(\lambda = 6 \times \frac{20}{60} = 2\)。

逐步示例

醫院急症室每小時平均接收 3 名病人。在特定的一小時內，恰好有 4 名病人抵達的概率是多少？

這裡，\(X \sim Po(3)\)。使用 \(\lambda = 3\) 及 \(k = 4\)：

\(P(X=4) = \frac{e^{-3} \cdot 3^4}{4!} = \frac{e^{-3} \cdot 81}{24} \approx 0.168\)

泊松分佈的平均數與方差

對於泊松分佈，平均數和方差是相同的，並且都等於 \(\lambda\)：

平均數 (期望值)：\(E(X) = \lambda\)

方差：\(Var(X) = \lambda\)

8. 二項分佈的泊松近似

當試驗次數非常大時，計算二項分佈的階乘和組合可能會變得很困難。在特定條件下，我們可以使用泊松分佈來近似二項分佈。

近似條件

若 \(X \sim B(n, p)\)，我們可以在以下情況下以泊松分佈 \(Po(\lambda)\) 來近似 \(X\)：

\(n\) 很大：\(n \ge 50\)

\(p\) 很小：\(p \le 0.1\)

近似泊松分佈的參數設定為二項分佈的平均數：

\(\lambda = np\)

逐步示例

一間工廠生產燈泡，燈泡有缺陷的概率為 \(p = 0.005\)。在一批 600 個燈泡中，求恰好有 2 個缺陷燈泡的概率。

步驟 1：檢查泊松近似的條件。

\(n = 600 \ge 50\)（很大）

\(p = 0.005 \le 0.1\)（很小）

計算 \(\lambda = np = 600 \times 0.005 = 3\)。

步驟 2：使用 \(X \sim Po(3)\) 進行近似。

\(P(X=2) \approx \frac{e^{-3} \cdot 3^2}{2!} = \frac{e^{-3} \cdot 9}{2} \approx 0.224\)

重點提示

當 \(n \ge 50\) 且 \(p \le 0.1\) 時，使用參數為 \(\lambda = np\) 的 \(Po(\lambda)\) 來近似 \(B(n, p)\)。