離散隨機變量 ：練習題

設離散隨機變量 \(X\) 的概率分佈為 \(P(X=x) = \frac{x}{10}\)，其中 \(x = 1, 2, 3, 4\)。求 \(P(1 < X \le 3)\) 的值。

下表顯示離散隨機變量 \(X\) 的概率分佈：

求 \(X\) 的期望值 \(E[X]\)。

一個盒子中有 5 張卡片，分別標有數字 1, 1, 2, 2, 3。從中隨機抽取兩張卡片（不設放回）。設 \(X\) 為這兩張卡片上數字之和。求 \(E[X]\)。

設 \(X\) 為一個均勻分佈於集合 \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) 的離散隨機變量，即對每個 \(x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}\)，\(P(X=x) = \frac{1}{5}\)。求 \(Var(X)\)。

設離散隨機變量 \(X\) 的概率分佈為 \(P(X=x) = \frac{(x-1)^2}{6}\)，其中 \(x = 0, 1, 2, 3\)。求 \(E[2^X]\)。

隨機變量 \(X\) 只有兩個可能值 10 及 20。若 \(P(X=10) = 0.6\)，求 \(X\) 的期望值 \(E(X)\)。

若隨機變量 \(X\) 的方差為 \(Var(X) = 2.5\)，計算 \(Var(3 - 4X)\) 的值。

設隨機變量 \(X\) 的概率質量函數為 \(P(X=x) = k \cdot 2^x\)，其中 \(x=1, 2, 3\)。求 \(X\) 的方差 \(Var(X)\)。

某離散隨機變量 \(X\) 的概率分佈如下：
\(P(X=x) = \frac{k}{x+1}\)，其中 \(x = 0, 1, 2, 3\)。
(a) 求常數 \(k\) 的值。
(b) 計算 \(X\) 的期望值 \(E[X]\)。
(c) 若定義一個新的隨機變量 \(Y = 4X - 3\)，求 \(E[Y]\) 及 \(Var(Y)\)。（答案須準確至三位有效數字）

袋子 \(P\) 中有 3 個紅球和 2 個白球，袋子 \(Q\) 中有 2 個紅球和 4 個白球。現擲一枚均勻的硬幣：若得正面，則從袋子 \(P\) 中隨機取出 2 個球；若得反面，則從袋子 \(Q\) 中隨機取出 2 個球（取出不放回）。設隨機變量 \(X\) 表示取出紅球的數目。
(a) 列出 \(X\) 的概率分佈表。
(b) 求 \(E[X]\) 及 \(Var(X)\)。
(c) 若已知取出的兩個球中恰好有一個是紅球，求該兩球是來自袋子 \(P\) 的概率。