條件概率和貝葉斯定理 ：練習題

設 \(A\) 與 \(B\) 為兩個獨立事件，其中 \(P(A) = 0.4\)，\(P(B) = 0.5\)。求條件概率 \(P(A \mid A \cup B)\)。

設事件 \(A\) 和 \(B\) 滿足 \(P(A) = 0.4\)、\(P(B) = 0.5\) 以及 \(P(A \cup B) = 0.7\)。求 \(P(A \mid A \cup B)\)。

某種疾病在人群中的發病率為 \( 1\% \)。患者接受測試 A 呈陽性的概率為 \( 0.9 \)，非患者呈陽性的概率為 \( 0.05 \)。若測試 A 結果呈陽性，該人需接受測試 B。已知患者在測試 B 呈陽性的概率為 \( 0.8 \)，非患者呈陽性的概率為 \( 0.02 \)。若某人的兩次測試結果均呈陽性，求該人確實患病的概率。

某工廠有兩條生產線，甲線和乙線。甲線生產的產品佔總產量的 \(60\%\)，乙線佔 \(40\%\)。甲線的次品率為 \(2\%\)，乙線的次品率為 \(5\%\)。現隨機抽取一件產品，發現它是次品，求該次品是由乙線生產的概率。

某圖書館的藏書中，\( 30\% \) 是小說，其餘是學術書。已知有 \( 20\% \) 的小說已被借出，而學術書中則有 \( 10\% \) 已被借出。現隨機發現一本已被借出的書，求這本書是小說的概率。

設 \(A\) 與 \(B\) 為兩事件。已知 \(P(B) = 0.4\) 且 \(P(A \cap B) = 0.12\)。求 \(P(A|B)\) 的值。

從一副 52 張標準撲克牌中不放回地連續抽取兩張。已知第二張牌是黑色（梅花或派克），求第一張牌也是黑色的概率。

某工廠產品由三條生產線 \(L_1\)、\(L_2\) 及 \(L_3\) 生產，比例分別為 \(20\%\)、\(30\%\) 及 \(50\%\)。這三條生產線的次品率分別為 \(1\%\)、\(2\%\) 及 \(4\%\)。現從成品中隨機抽取兩件產品，已知兩件均為次品，求這兩件產品均來自同一條生產線的概率。（答案須準確至三位有效數字）

某圖書館的圖書中，有 \(95\%\) 已經貼上感應標籤。當貼有標籤的圖書經過安全門時，觸發警報的概率為 \(0.98\)；而未貼有標籤的圖書（例如系統更新延誤）經過時，因系統誤差而觸發警報的概率為 \(0.01\)。
(a) 求一本隨機選取的圖書經過安全門時觸發警報的概率。
(b) 若安全門警報響起，求該圖書是未貼有標籤的概率。（答案須準確至三位有效數字）

某工廠有三條生產線 \(A\)、\(B\) 及 \(C\)，分別負責總產量的 \(40\%\)、\(35\%\) 及 \(25\%\)。已知這些生產線的產品次品率分別為 \(1\%\)、\(2\%\) 及 \(4\%\)。
(a) 隨機抽取一件產品，求該產品是次品的概率。
(b) 若隨機抽取的一件產品經檢驗後發現是次品，求它是由生產線 \(B\) 生產的概率。
(c) 假設該工廠對所有產品進行一次初步篩選。若一件產品是次品，它被判定為次品的概率為 \(0.95\)；若一件產品是合格品，它被誤判為次品的概率為 \(0.02\)。求隨機抽取一件產品被判定為次品的概率。