常態變數的標準化及標準常態分佈表的使用
大家好！歡迎來到 M1 統計學中最實用課題之一的筆記。就算「常態分佈」或「標準化」這些詞語聽起來有點嚇人，也別擔心。看完這些筆記後，你會發現它們只是幫助我們理解周遭世界的簡單工具。
我們會學到什麼？ 我們將會學習一個巧妙的技巧，叫做標準化。想像一下，這就像把不同的貨幣兌換成一種通用貨幣（例如港幣），以便輕鬆比較它們。我們會用這個方法來處理數據，並利用一個強大的工具——標準常態分佈表——來找出概率。
為什麼它很重要？ 從你的考試分數、身高到一包薯片的重量，生活中很多事物都符合常態分佈。這個課題會給你一把鑰匙，解開所有這些情況的概率！我們開始吧。
重溫：到底什麼是常態分佈？
還記得鐘形曲線嗎？那就是常態分佈的標誌性外觀。它描述了許多現實生活中數據的分佈情況。
常態分佈由兩個關鍵資訊定義：
- 平均值 (\(\mu\))：平均數值，位於鐘形曲線的正中央和峰頂。
- 標準差 (\(\sigma\))：衡量數據分散程度的指標。較小的 \(\sigma\) 表示數據緊密地集中在平均值周圍（形成一個高而窄的鐘形）；較大的 \(\sigma\) 表示數據非常分散（形成一個矮而寬的鐘形）。
我們會寫成 \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)，讀作「變數 X 服從平均值為 \(\mu\)、方差為 \(\sigma^2\) 的常態分佈」。（記住，方差就是標準差的平方！）
重大難題
想像一下，我們有香港中學文憑試數學 M1 的考試分數，其平均值可能是 65，標準差是 10。然後我們有香港中學文憑試物理科的分數，其平均值是 60，標準差是 15。這兩個是不同的常態分佈。\(\mu\) 和 \(\sigma\) 有無限多種可能的組合！我們怎麼可能為所有這些分佈計算概率呢？我們不可能為每一個分佈都準備一份單獨的概率表。我們需要一個「一勞永逸」的解決方案。
快速回顧：常態分佈的關鍵性質
- 它呈鐘形，並圍繞平均值 (\(\mu\)) 完美對稱。
- 平均值、中位數和眾數都相等，且位於中心。
- 曲線下的總面積正好是 1（或 100%）。這一點非常重要，因為面積代表概率！
主角登場：標準常態分佈
為了解決我們「分佈太多」的問題，數學家們創造了一個特殊的參考分佈，稱為標準常態分佈。它是可以與所有其他常態分佈進行比較的「超級明星」。
標準常態分佈具有固定性質：
- 平均值 (\(\mu\)) 永遠是 0。
- 標準差 (\(\sigma\)) 永遠是 1。
我們用字母 Z 來表示標準常態變數。所以，我們寫作：\(\bf{Z \sim N(0, 1)}\)
因為這個分佈是「標準」的，我們為它準備了一份特殊的數值表——標準常態分佈表。這張表讓我們能夠找到任何 Z 值所對應的面積（概率）。
重點歸納
與其處理無數個不同的常態分佈 (\(N(\mu, \sigma^2)\))，我們的目標是將其中任何一個轉換成唯一的標準常態分佈 (\(N(0, 1)\))。這個轉換過程稱為標準化。
魔法公式：如何標準化（Z 值）
要將常態分佈中的任何值 (X) 轉換為標準常態分佈中等效的值 (Z)，我們使用 Z 值公式。這是你本章最重要的公式！
\(\bf{Z = \frac{X - \mu}{\sigma}}\)公式拆解：
- Z：這是你正在計算的Z 值。它告訴你原始值 (X) 距離平均值 (\(\mu\)) 有多少個標準差 (\(\sigma\))。
- X：你的原始數據點或感興趣的值（例如：考試分數 75 分）。
- \(\mu\)：原始分佈的平均值（例如：班級平均分為 65 分）。
- \(\sigma\)：原始分佈的標準差（例如：分數的離散程度是 5）。
日常生活類比：比較考試分數
想像你和朋友考了不同的 M1 模擬試。
- 你的考試：你得了 80 分。班級平均值 (\(\mu\)) 是 70，標準差 (\(\sigma\)) 是 10。
- 朋友的考試：你朋友得了 85 分。他們班級平均值 (\(\mu\)) 是 75，標準差 (\(\sigma\)) 是 5。
相對於各自的班級，誰的表現更好？讓我們計算你和朋友的 Z 值，將分數標準化。
你的 Z 值： \(Z = \frac{80 - 70}{10} = \frac{10}{10} = \bf{+1.0}\)這表示你的分數剛好比班級平均高出 1 個標準差。
朋友的 Z 值： \(Z = \frac{85 - 75}{5} = \frac{10}{5} = \bf{+2.0}\)這表示你朋友的分數竟然比他們班級平均高出 2 個標準差。
結論：儘管你朋友的 85 分只比你的 80 分高 5 分，但他們的 Z 值卻高得多。相對於他們的同學，他們表現得明顯更好。Z 值為我們提供了一個公平的比較方式！
Z 值有什麼意義？
- 正 Z 值 表示該值 (X) 高於平均值 (\(\mu\))。
- 負 Z 值 表示該值 (X) 低於平均值 (\(\mu\))。
- Z 值為 0 表示該值 (X) 正好是平均值 (\(\mu\))。
使用標準常態分佈表
有了 Z 值之後，就可以使用試卷附印的標準常態分佈表來求概率。
重要——請讀兩次！HKDSE M1 試卷所附的表提供的是 0 與 z 之間的面積，記作 \( \bf{A(z) = P(0 < Z < z)} \)，而不是 z 左方的累積面積。表由 \( A(0) = 0 \) 開始，隨 z 增大趨向 0.5，而且只列出正數 z 值——負數要靠對稱性質處理。
由於曲線對稱、總面積為 1，每半邊曲線的面積都是 0.5。這個「0.5 基準」是以下所有計算的關鍵。
如何查表（求 \(A(1.34)\)）
- 拆開 Z 值：把 1.34 拆成「1.3」和「0.04」。
- 找行：在最左欄找到 1.3 的一行。
- 找列：在頂行找到 .04 的一列。
- 找交點：行列交點的數值就是 0 至 1.34 的面積：\( A(1.34) = 0.4099 \)。
所以 \( P(0 < Z < 1.34) = 0.4099 \)。若要 1.34 左方的面積，須加上左半邊曲線：\( P(Z < 1.34) = 0.5 + A(1.34) = 0.5 + 0.4099 = 0.9099 \)。
處理不同類型的概率
每條題目都是一幅面積圖。先畫曲線、把要求的區域塗上陰影，再用 0.5 和 \(A(z)\) 砌出答案。
1. 小於某值：\( P(Z < z) \)（z 為正）
公式：\( \bf{P(Z < z) = 0.5 + A(z)} \)
例：\( P(Z < 1.34) = 0.5 + 0.4099 = \bf{0.9099} \)
2. 大於某值：\( P(Z > z) \)（z 為正）
右半邊面積是 0.5，\(A(z)\) 是其中 0 至 z 的部分，剩下的就是尾部。
公式：\( \bf{P(Z > z) = 0.5 - A(z)} \)
例：\( P(Z > 1.34) = 0.5 - 0.4099 = \bf{0.0901} \)
3. 負數值：\( P(Z < -z) \)
曲線是對稱的！\(-z\) 左方的面積等於 \(+z\) 右方的面積。
公式：\( \bf{P(Z < -z) = P(Z > z) = 0.5 - A(z)} \)
例：\( P(Z < -1.34) = 0.5 - 0.4099 = \bf{0.0901} \)
4. 介乎兩值之間：\( P(a < Z < b) \)
- 同在一側（0 < a < b）：\( \bf{P(a < Z < b) = A(b) - A(a)} \)
- 橫跨零點（a < 0 < b）：區域由兩塊組成，各在 0 的一側：\( \bf{P(a < Z < b) = A(|a|) + A(b)} \)
例：求 \(P(-1.0 < Z < 1.5)\)
區域橫跨零點，把兩塊面積相加：
\( A(1.0) = 0.3413 \)，\( A(1.5) = 0.4332 \)
\( P(-1.0 < Z < 1.5) = 0.3413 + 0.4332 = \bf{0.7745} \)
常見錯誤避免
- 把表值直接當成 \(P(Z < z)\)：DSE 表上印的數字只是 0 至 z 的面積；求「小於」必須加 0.5。這是 M1 查表最常見的錯誤！
- 忘記 0.5 基準：求尾部時，是用 0.5 減去 \(A(z)\)，不是用 1 直接減。
- 對稱性錯誤：快手畫一條鐘形曲線，處理負 Z 值就容易得多。
綜合應用：一個完整例子
果園蘋果的重量呈常態分佈，平均值為 150 克（\(\mu\)），標準差為 12 克（\(\sigma\)）。求隨機抽出一個蘋果的重量介乎 140 克至 165 克的概率。
步驟 1：寫下已知資訊和目標。
常態分佈：\(X \sim N(150, 12^2)\)。
目標是 \( \bf{P(140 < X < 165)} \)。
步驟 2：將兩個 X 值都標準化為 Z 值。
X = 140：\( Z_1 = \frac{140 - 150}{12} = \frac{-10}{12} \approx -0.83 \)
X = 165：\( Z_2 = \frac{165 - 150}{12} = \frac{15}{12} = 1.25 \)
步驟 3：用 Z 重新表達問題。
\( P(140 < X < 165) \) 等於 \( \bf{P(-0.83 < Z < 1.25)} \)
步驟 4：區域橫跨零點——把兩塊面積相加。
查表：\( A(0.83) = 0.2967 \)，\( A(1.25) = 0.3944 \)
\( P(-0.83 < Z < 1.25) = A(0.83) + A(1.25) \)
步驟 5：計算最終答案。
\( 0.2967 + 0.3944 = \bf{0.6911} \)
結論：隨機抽出的蘋果重量介乎 140 克至 165 克的概率約為 0.6911（即 69.11%）。
總結與重點歸納
恭喜你完成了！快速重溫重點：
- 為什麼：標準化把任何常態分佈 \(N(\mu, \sigma^2)\) 轉為唯一的標準常態分佈 \(N(0, 1)\)，讓我們只用一張表就能求概率。
- 怎樣做（Z 值公式）：\( \bf{Z = \frac{X - \mu}{\sigma}} \) 這是一切的鑰匙。
- 工具（HKDSE 的表）：試卷的表提供 \( \bf{A(z) = P(0 < Z < z)} \)——0 與 z 之間的面積。一切都由它和 0.5 半邊基準砌出來：
- \( \bf{P(Z < z) = 0.5 + A(z)} \)
- \( \bf{P(Z > z) = 0.5 - A(z)} \)
- \( \bf{P(Z < -z) = 0.5 - A(z)} \)（對稱）
- \( \bf{P(a < Z < b) = A(b) - A(a)} \)（同側）或 \( \bf{A(|a|) + A(b)} \)（橫跨零點）
作答時務必清楚展示步驟：寫公式、代入數值、求 Z 值、畫曲線，再由表砌出概率。你一定做得到！
