三角函數進階：你的M2學習指南
大家好！歡迎來到進階三角函數這個奇妙的世界。你可能曾以為三角函數只與三角形有關，但它遠不止於此！它是波浪、循環和振動的語言，從音樂工程到橋樑建造，再到電玩遊戲開發，無處不在。
在本章中，我們將提升我們的技巧。我們會學習一種新的角度量度方式，認識三個新的三角函數，並掌握一套對微積分至關重要的新公式。即使一開始看起來內容很多，也請不用擔心——我們會將所有內容拆解成簡單易懂、循序漸進的步驟。現在就讓我們開始吧！
1. 角度的新量度方式：弧度
你習慣了用度來量度角度，其中一個圓周是\(360^\circ\)。現在，讓我們認識弧度，這是數學家和科學家（特別是在微積分中）喜愛的角度量度方式。
到底什麼是弧度？
想像一個半徑為 \(r\) 的圓。一個弧度是指，當你將半徑的長度沿著圓的邊緣（弧）鋪開時所形成的角。
類比：想像一下薄餅（Pizza）。如果你的薄餅片上，餅皮的長度與從尖端到餅皮的長度（半徑）完全相同，那麼你這片薄餅的角度就是1弧度！
正式定義為：\( \theta (\text{以弧度表示}) = \frac{\text{弧長 }(s)}{\text{半徑 }(r)} \)
由於整個圓的圓周長是 \(2\pi r\)，所以整個圓的弧度角是 \( \frac{2\pi r}{r} = 2\pi \)。這給了我們轉換的黃金法則：
關鍵換算： \( \pi \text{ 弧度} = 180^\circ \)
度與弧度之間的轉換
這是你必須掌握的技巧。只需記住關鍵的換算公式！
將度轉換為弧度：將角度乘以 \( \frac{\pi}{180^\circ} \)
例子：將\(60^\circ\)轉換為弧度。
\( 60^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \text{ 弧度} \)
將弧度轉換為度：將角度乘以 \( \frac{180^\circ}{\pi} \)
例子：將 \( \frac{3\pi}{4} \) 弧度轉換為度。
\( \frac{3\pi}{4} \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{3 \times 180^\circ}{4} = 3 \times 45^\circ = 135^\circ \)
快速溫習：常用角
- \( 30^\circ = \frac{\pi}{6} \)
- \( 45^\circ = \frac{\pi}{4} \)
- \( 60^\circ = \frac{\pi}{3} \)
- \( 90^\circ = \frac{\pi}{2} \)
- \( 180^\circ = \pi \)
- \( 360^\circ = 2\pi \)
你知道嗎？
在微積分中，所有三角函數的微分和積分公式（例如 \((\sin x)' = \cos x\)）只有當角度\(x\)以弧度表示時才成立！這就是為什麼弧度在高等數學中如此重要。
弧度的重點總結
弧度是另一種量度角度的方式，基於圓的半徑。最重要的是要記住換算因子：\( \pi \text{ 弧度} = 180^\circ \)。熟練掌握這兩種單位之間的轉換！
2. 倒數函數：餘割、正割和餘切
你已經認識「三大」基本三角函數：正弦、餘弦和正切。現在，讓我們認識它們的倒數函數。它們聽起來可能很花俏，但只是你已知函數的「1除以」版本。
定義
餘割 (\(\csc\))：正弦的倒數。\( \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} \)
正割 (\(\sec\))：餘弦的倒數。\( \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} \)
餘切 (\(\cot\))：正切的倒數。\( \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \)
記憶小貼士！
哪個函數與哪個配對，很容易混淆。這裡有個小技巧：
看看新函數名稱的第三個字母。
- cosecant (\(\csc\)) 與 sine (\(\sin\)) 配對。
- secant (\(\sec\)) 與 cosine (\(\cos\)) 配對。
- cotangent (\(\cot\)) 與 tangent (\(\tan\)) 配對。
新的畢氏恆等式
你應該會記得基本恆等式：\( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \)。我們可以用它來推導兩個課程大綱要求你掌握的新恆等式。
1. 推導正割-正切恆等式：
從 \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \) 開始。現在，將每一項除以 \( \cos^2\theta \)。\( \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + \frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta} \) 這簡化為：\( \tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta \)
2. 推導餘割-餘切恆等式：
從 \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \) 開始。這次，將每一項除以 \( \sin^2\theta \)。\( \frac{\sin^2\theta}{\sin^2\theta} + \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \frac{1}{\sin^2\theta} \) 這簡化為：\( 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta \)
快速溫習：三個畢氏恆等式
- \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \)
- \( 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta \)
- \( 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta \)
這些對於簡化複雜的三角函數算式非常有用！
倒數函數的重點總結
餘割、正割和餘切分別是正弦、餘弦和正切的倒數。記住它們的定義和兩個新的畢氏恆等式。它們是簡化算式的重要工具。
3. 角度相加和相減：複角公式
\( \sin(A+B) \) 的值是多少？一個常見的錯誤是認為它只是 \( \sin A + \sin B \)。讓我們證明這是錯的：
設 \(A = 30^\circ\) 和 \(B = 60^\circ\)。
\( \sin(30^\circ+60^\circ) = \sin(90^\circ) = 1 \)。
但 \( \sin(30^\circ) + \sin(60^\circ) = 0.5 + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 1.366 \)。
它們不相等！
要找到正確答案，我們需要複角公式。請注意，在HKDSE M2考試中，這些公式都會貼心地提供在試卷開頭的參考公式表內。
公式列表：複角公式
- \( \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B \) (中間的符號保持不變。)
- \( \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B \) (中間的符號是相反的！)
- \( \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} \) (上面的符號相同，下面的符號相反。)
如何使用它們：逐步教學
例子：不用計算機求 \( \sin(75^\circ) \) 的準確值。
步驟1：將角分解為兩個你知道三角函數值的「特殊角」（例如\(30^\circ\)、\(45^\circ\)、\(60^\circ\)）。
我們可以寫 \( 75^\circ = 45^\circ + 30^\circ \)。
步驟2：選擇正確的複角公式。
我們需要 \( \sin(A+B) \)，所以我們使用 \( \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \)。
步驟3：代入你的角度和它們的已知值。
\( \sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) \)
\( = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) \)
步驟4：簡化算式。
\( = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \)
複角公式的重點總結
這些公式讓你能夠求出和角或差角的三角函數值。請密切注意符號（\(\pm\) 和 \(\mp\)）的變化。
4. 倍增技巧：倍角公式
倍角公式只是複角公式的一個特殊情況，即\(A = B\)。它們非常實用，因此有了自己的專屬名稱！
公式推導
讓我們求 \( \sin(2A) \)。我們使用 \( \sin(A+B) \) 並設定 \(B = A\)。
\( \sin(2A) = \sin(A+A) = \sin A \cos A + \cos A \sin A = 2\sin A \cos A \)
很簡單，對吧？讓我們對餘弦和正切也這樣做。
公式列表：倍角公式
- \( \sin(2A) = 2\sin A \cos A \)
- \( \cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A \) 這個還有兩個非常有用的形式！通過代入 \( \cos^2 A = 1 - \sin^2 A \) 或 \( \sin^2 A = 1 - \cos^2 A \)，我們得到：
- \( \cos(2A) = 1 - 2\sin^2 A \)
- \( \cos(2A) = 2\cos^2 A - 1 \)
- \( \tan(2A) = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A} \)
從倍角公式到降冪公式
通過重新整理 \( \cos(2A) \) 的公式，我們可以得到 \( \sin^2 A \) 和 \( \cos^2 A \) 的算式。這些對於微積分（特別是積分！）非常重要。課程大綱要求你掌握它們。
公式列表：降冪公式
- 從 \( \cos(2A) = 1 - 2\sin^2 A \implies \sin^2 A = \frac{1}{2}(1 - \cos(2A)) \)
- 從 \( \cos(2A) = 2\cos^2 A - 1 \implies \cos^2 A = \frac{1}{2}(1 + \cos(2A)) \)
倍角公式的重點總結
這些是求倍增角度（例如 \( \theta \to 2\theta \)）三角函數值的捷徑。掌握 \( \cos(2A) \) 的三種形式以及推導出的降冪公式，因為它們是重要的解題工具。
5. 算式變換：積化和差與和差化積
最後這兩組公式可能看起來有些望而生畏，但它們只是用於改變三角函數算式「形式」的工具。有時候用和（或差）來處理比較容易，有時候用積來處理則更佳。在HKDSE M2中，這些變換公式同樣會提供在考試的參考公式表內。
積化和差公式
使用這些公式將正弦/餘弦函數的積轉換為和或差。
- \( 2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B) \)
- \( 2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B) \)
- \( 2\sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B) \) (小心這一個！順序是\(A-B\)，然後是\(A+B\))。
例子：將 \( 2\sin(4x)\cos(2x) \) 表達為和的形式。
使用第一個公式，其中\(A = 4x\)和\(B = 2x\)：
\( 2\sin(4x)\cos(2x) = \sin(4x+2x) + \sin(4x-2x) = \sin(6x) + \sin(2x) \)
和差化積公式
使用這些公式將和或差轉換為積的形式。
- \( \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \)
- \( \sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) \)
- \( \cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \)
- \( \cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) \) (注意最後一個公式的負號！)
例子：將 \( \cos(7\theta) + \cos(\theta) \) 表達為積的形式。
使用第三個公式，其中\(A = 7\theta\)和\(B = \theta\)：
\( \cos(7\theta) + \cos(\theta) = 2\cos\left(\frac{7\theta+\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{7\theta-\theta}{2}\right) = 2\cos(4\theta)\cos(3\theta) \)
變換公式的重點總結
這些公式都是關於改變算式的形式。由於它們會出現在HKDSE M2的公式表上，你不需要死記硬背，但你必須清楚知道何時以及如何靈活運用它們。
