續三角函數：練習題

已知 $$\tan \theta = 2$$，求 $$\frac{1+\sin 2\theta}{1+\cos 2\theta}$$ 的值。

化簡三角函數表達式 $$\sin \theta \sin(60^\circ - \theta) \sin(60^\circ + \theta)$$。

在區間 $$0 \le x < 2\pi$$ 內，解方程 $$4 \sin x \cos x + 1 = 2(\sin x + \cos x)$$。

眑化三角數式 \( \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{2 \cos^2 \theta - 1} \)。

證明恆等式

$$ \frac{\sin x + \sin 3x + \sin 5x + \sin 7x}{\cos x + \cos 3x + \cos 5x + \cos 7x} = \tan 4x $$

簡化三角數式 \( \frac{\sin 2\theta}{2\cos^2 \theta - 1} \)。

(a) 證明恆等式 \(\cos(A - B) - \cos(A + B) = 2 \sin A \sin B\)。 (2分)

(b) 利用 (a) 部的結果，求 \(2 \sin 75^\circ \sin 15^\circ\) 的準確值。 (2分)

(a) 藉考慮 \(\tan(A+B)\) 的展開式，證明 \(\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}\)。 (2分)

(b) 令 \(t = \tan 22.5^\circ\)。利用 (a) 部的結果，證明 \(t^2 + 2t - 1 = 0\)。 (2分)

(c) 由此，求 \(\tan 22.5^\circ\) 的準確值。 (1分)