不等式和線性規劃：你的終極溫習指南

大家好！歡迎來到不等式和線性規劃的溫習筆記。不要被這個冗長的名字嚇倒！這一章的重點，是教你如何運用數學來作出明智的決策。我們會從簡單的比較（例如「x 是否大於 5？」）開始，然後學習繪畫區域，最後會學會如何找出實際問題的最佳解決方案，例如公司如何賺取最大利潤。這絕對是一個非常實用的技能，我們現在就開始吧！


第一部分：一元不等式（數線上的運算）

預備知識速測：簡單線性不等式

還記得這些符號嗎？它們是這個課題的核心！

  • > : 大於
  • < : 小於
  • ≥ : 大於或等於
  • ≤ : 小於或等於

最重要的規則是不等式黃金法則：
當你用負數乘或除不等式兩邊時，你必須將不等號反轉。

例子：求解 \(-2x > 6\)
要解出 x，我們將兩邊除以 -2。由於我們除以負數，所以必須將不等號反轉！
\(x < -3\)

8.1：複合線性不等式

這就是我們需要同時處理多於一個不等式的情況。主要有兩種：「且」 (AND) 和「或」 (OR)。

「且」類型（交集）

這表示解必須同時滿足所有條件。你可以想像成在數線上尋找重疊部分。

例子：求解 \(x > 3\) 且 \(x \le 7\)
我們需要找出大於 3 且小於或等於 7 的數字。 在數線上看，重疊部分就在 3 和 7 之間。
解為 \(3 < x \le 7\)。

「或」類型（聯集）

這表示解可以滿足其中一個條件（或兩者都滿足）。你只需要將所有可能的解區域合併起來。

例子：求解 \(x < -1\) 或 \(x \ge 4\)
我們需要找出小於 -1 或大於或等於 4 的數字。由於沒有重疊部分，我們只需將兩個條件都寫出來作為最終答案。
解為 \(x < -1 \text{ 或 } x \ge 4\)。

一個實際應用：三角形不等式

你知道嗎？對於任何邊長為 a、b、c 的三角形，任意兩邊之和必須大於第三邊。 這為我們提供了三個複合不等式：\(a+b > c\)、\(a+c > b\) 和 \(b+c > a\)。你可以利用這些不等式來找出缺失邊長的可行範圍！

常犯錯誤提示：不要將「且」和「或」混淆！像「\(x > 5 \text{ 且 } x < 2\)」這樣的解是不可能存在的，因為沒有一個數字可以同時大於 5 又小於 2。重疊部分是空的！

8.2 和 8.3：處理二次不等式

現在，讓我們看看包含 \(x^2\) 項的不等式，例如 \(x^2 - 5x + 4 > 0\)。不用擔心，這裡有一個清晰的解題步驟。關鍵是首先找出表達式等於零的位置。

快速重溫：二次函數圖像（拋物線）

\(y = ax^2 + bx + c\) 的圖像是一條拋物線。

  • 求解 \(ax^2 + bx + c > 0\) 等於問：「拋物線在 x 軸上方哪裡？」
  • 求解 \(ax^2 + bx + c < 0\) 等於問：「拋物線在 x 軸下方哪裡？」
方法一：圖像法（學習目標 8.2）

這個方法非常適合視覺型學習者。

例子：求解 \(x^2 - x - 6 > 0\)

  1. 找出根：首先，解方程 \(x^2 - x - 6 = 0\)。
    \((x-3)(x+2) = 0\)
    所以，根是 \(x = 3\) 和 \(x = -2\)。這些是 x 軸截距。
  2. 繪畫草圖：由於 \(x^2\) 的係數是正數（它是 1），所以拋物線向上開口。繪畫一條在 -2 和 3 穿過 x 軸的 U 形曲線。
  3. 找出解：題目要求 \(x^2 - x - 6 > 0\)，即是「圖像在 x 軸上方哪裡？」。根據你的草圖，當 x 位於 -2 的左方或 3 的右方時，圖像位於 x 軸上方。
  4. 寫出答案：\(x < -2 \text{ 或 } x > 3\)
方法二：代數法（學習目標 8.3）

這個方法利用數線，非常可靠。

例子：再次求解 \(x^2 - x - 6 > 0\)。

  1. 找出臨界值：這些就是我們之前找到的根。將 \(x^2 - x - 6 = 0\) 設為零，得到 \(x = 3\) 和 \(x = -2\)。
  2. 劃分數線：利用這些臨界值將數線分成三個區域：\(x < -2\)、\(-2 < x < 3\) 和 \(x > 3\)。
  3. 測試每個區域：從每個區域中選取一個簡單的測試數字，並將其代入原不等式（\(x^2 - x - 6 > 0\)），看看它是真還是假。
    • 區域一：\(x < -2\)。讓我們測試 \(x=-3\)。
      \((-3)^2 - (-3) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6\)。\(6 > 0\) 嗎？是（真）。
    • 區域二：\(-2 < x < 3\)。讓我們測試 \(x=0\)。
      \((0)^2 - (0) - 6 = -6\)。\(-6 > 0\) 嗎？否（假）。
    • 區域三：\(x > 3\)。讓我們測試 \(x=4\)。
      \((4)^2 - (4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6\)。\(6 > 0\) 嗎？是（真）。
  4. 寫出答案：不等式在第一個和第三個區域中為真。因此解為 \(x < -2 \text{ 或 } x > 3\)。
第一部分重點摘要
  • 當用負數乘或除時，永遠要反轉不等號。
  • 「且」代表重疊／交集。「或」代表合併／聯集。
  • 對於二次不等式，首先找出根。然後可以繪畫草圖，或者在數線上測試區域。

第二部分：進入二維平面與線性規劃

8.4：繪畫二元線性不等式

現在我們在 x-y 坐標平面上操作。像 \(y = 2x + 1\) 這樣的方程是一條直線。而像 \(y > 2x + 1\) 這樣的不等式則代表了直線一側的整個區域。

繪畫圖像逐步指南

例子：以圖像方式表示不等式 \(2x + y \le 4\)。

  1. 繪畫邊界線：首先，將它當作一個方程，繪畫直線 \(2x + y = 4\)。一個好方法是找出截距：
    • 當 \(x=0\) 時，\(y=4\)。點是 (0, 4)。
    • 當 \(y=0\) 時，\(2x=4\)，所以 \(x=2\)。點是 (2, 0)。
    標示這些點，然後畫線連接它們。
  2. 實線還是虛線？這點很重要！
    • 對於 ≤ 和 ≥，使用實線（因為直線本身包含在解中）。
    • 對於 < 和 >，使用虛線（因為直線是邊界，但不屬於解的一部分）。
    對於我們的例子 \(2x + y \le 4\)，我們使用實線。
  3. 繪畫正確的區域：選擇一個不在直線上的簡單測試點。點 (0, 0) 通常是最佳選擇。
    將 (0, 0) 代入原不等式：\(2(0) + (0) \le 4\)，得到 \(0 \le 4\)。
    這個陳述是真嗎？是的！
    記憶小貼士：如果測試點為真，你就要向著該點繪畫陰影。如果為假，你則會繪畫另一側的陰影。
    由於 (0, 0) 為真，我們繪畫包含原點的區域。

8.5：線性不等式組

這聽起來很複雜，但它只是指在同一組坐標軸上繪畫多個不等式。解就是所有陰影區域重疊的地方。這個重疊區域有一個特別的名稱：可行域。

例子：找出以下不等式組的可行域：

  • \(x \ge 0\)
  • \(y \ge 0\)
  • \(x + y \le 5\)

你會繪畫所有三個不等式。

  1. \(x \ge 0\) 是一條在 y 軸上的實垂直線，向右繪畫陰影。
  2. \(y \ge 0\) 是一條在 x 軸上的實水平線，向上繪畫陰影。
  3. \(x + y \le 5\) 是一條穿過 (5,0) 和 (0,5) 的實線，向原點繪畫陰影。

可行域就是由點 (0,0)、(5,0) 和 (0,5) 在第一象限所形成的三角形。

注意：課程大綱要求你在坐標平面上用圖像法解這些不等式組。

8.6：解線性規劃問題

這是本章的「終極挑戰」，也是所有知識匯合的地方。線性規劃是一種在給定一系列限制或規則下，找出某事物最大值或最小值的方法。

現實生活比喻：麵包師傅

想像你是一個麵包師傅，製作蛋糕 (x) 和曲奇 (y)。

  • 約束條件：你的麵粉和糖是有限的。這些就是你的不等式（例如：麵粉 \(2x + y \le 10\) 公斤）。你也不能製作負數數量的產品，所以 \(x \ge 0, y \ge 0\)。
  • 目標函數：你希望利潤最大化。如果每個蛋糕賺 $30 利潤，每塊曲奇賺 $10 利潤，你的目標就是將利潤 \(P = 30x + 10y\) 最大化。
最優化方法

在 HKDSE 中，在有界可行域內找出最優解主要有兩種方法：

  • 頂點測試法：對於一個有界的凸可行域，最大值或最小值必然會在可行域的其中一個（或多個）頂點（角點）出現。你只需計算目標函數在每個頂點的值並進行比較。
  • 平行線移動法：畫出目標函數 \(ax + by = k\) 的初始直線。將直尺平行於該直線在可行域上移動。直尺在離開可行域前最後接觸到的點（或邊界線段），就會得出最大值（或最小值）。
離散／整數約束條件注意事項

在許多 HKDSE 的生活應用試題中，物品（例如蛋糕、桌子或人數）必須為非負整數（\(x, y \in \mathbb{Z}_{\ge 0}\)）。如果頂點不是整數坐標，你必須測試位於可行域內部或邊界上最接近的整數格點。

求解逐步指南
  1. 定義變量：清晰說明 x 和 y 代表什麼。（例如：設 x 為蛋糕的數量...）注意 \(x\) 和 \(y\) 是否必須為整數。
  2. 寫出約束條件：將問題的限制條件轉化為線性不等式組。
  3. 寫出目標函數：寫出你想最大化或最小化量的方程（例如利潤 P 或成本 C）。
  4. 繪畫圖像並找出可行域：繪畫你的約束條件，並將重疊區域畫上陰影。
  5. 找出頂點／臨界點：透過找出直線的交點，確定你的可行域所有角點的坐標。
  6. 計算目標函數的值：將頂點（或適用的整數點）坐標代入你的目標函數，或使用平行線移動法。
  7. 得出結論：確定哪個點產生最大值或最小值，並用完整句子回答問題。（例如：「當製作 5 個蛋糕和 0 塊曲奇時，最大利潤是 $150。」）
你知不知道？

線性規劃在第二次世界大戰期間被開發出來，用來解決物流問題，例如如何最有效地部署軍隊和物資。今天，它到處都在被使用，從航空公司的班次編排到財務規劃和製造業！

第二部分重點摘要
  • 對於二元不等式，繪畫邊界線（實線／虛線），並測試一個點來找出陰影區域。
  • 可行域是所有不等式解的重疊部分。
  • 在線性規劃中，計算目標函數在各頂點的值，或使用平行線移動法。
  • 在實際情境問題中，務必檢查變量是否受限為整數。
  • 跟著七個步驟來系統性地解決線性規劃問題。

以上就是全部內容了！掌握這些概念的最佳方法就是多練習。多做練習，細心畫好你的圖像，很快你就能像專業人士一樣解決這些問題了。祝你好運！