不等式與線性規畫：練習題

求 \(2x+3 < 11\) 及 \(5x-10 > 0\) 的解。

若 \(x - \frac{x-5}{3} > 3\) 或 \(2 < x-8\) 的解爲

下圖所示為由下列不等式組定義的區域：
\( \begin{cases} x + y \le 8 \\ 2x + 3y \le 18 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases} \)
求目標函數 \( P = 4x + 5y \) 在該區域內的最大值。

以下哪項是 \(7-3x < 1\) 及 \(2x+4 > 0\) 的解？

\(5x > x - 12\) 或 \(4 - x < x + 8\) 的解為

某人聲稱點 \((3, 2)\) 滿足不等式 \(2x - 5y + 1 > 0\)。你是否同意？試解釋你的答案。

(a) 求同時滿足 \(\frac{2x+8}{5} > x-2\) 及 \(5x - 30 \le 0\) 的 \(x\) 值的範圍。
(b) 有多少個正整數同時滿足 (a) 的不等式？

圖中所示為不等式組 \( \begin{cases} 3x + y \le 24 \\ x + y \le 10 \\ x + 2y \le 16 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases} \) 所定義的受解區域 \( R \)。若目標函數 \( P = ax + 2y \)（其中 \( a \) 為一正常數）在 \( R \) 中的唯一最大值於點 \( (7, 3) \) 取得，求 \( a \) 的取值範圍。

在直角坐標平面上，某三角形區域 \( S \) 由下列聯立不等式所定義：
\( \begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ 3x + 4y \le 24 \end{cases} \)

(a) 找出區域 \( S \) 的三個頂點坐標。
(b) 求區域 \( S \) 的面積。

直線 \(L_1\) 與直線 \(L_2\) 互相垂直。 \(L_1\) 的 \(y\) 截距為 2。已知 \(L_1\) 與 \(L_2\) 相交於點 \((2, 6)\)。設 \(R\) 為 \(L_1\)、\(L_2\) 與 \(x\) 軸圍成的區域（包括邊界在內）。

(a) 已知 \(R\) 表示某不等式組的解。求該不等式組。 (3 分)

(b) 求 \(5x - 4y\) 的最小值，其中 \((x, y)\) 為 \(R\) 中的一點。 (2 分)