物理學筆記：動量（一維與二維概念）
哈囉！歡迎來到動量的世界！你有沒有想過，一顆細小但高速的子彈為何會有巨大衝擊力，或者汽車安全氣囊如何救人一命呢？答案就來自動量這個概念了。在這份筆記中，我們會為你拆解有關動量、衝量、碰撞、力–時間圖以及二維向量變化的一切重要知識。快點一起來學習吧！
1. 什麼是動量？就是「運動中的質量」！
想像一下，一個保齡球和一個網球以相同的慢速度向你滾來。你會想停止哪一個？當然是網球了！為什麼？因為保齡球有更大的質量。現在，想像有兩個網球。一個是輕輕拋出的，另一個是由大炮射出的。哪一個比較難停止？當然是由大炮射出的那個了，因為它有高許多的速度。
這種「有多難停止一個物體」的想法，就是物理學家所說的線性動量。它是量度物體「運動量」的一種方法，結合了它的質量和速度。
線性動量 (p) 的定義
動量是物體質量和它速度的乘積。我們用字母 p 來代表動量。
公式很簡單：
\( p = mv \)
當中：
p = 動量（單位為 \(\text{kg m s}^{-1}\) 或 \(\text{N s}\)）
m = 質量（單位為 \(\text{kg}\)）
v = 速度（單位為 \(\text{m s}^{-1}\)）
動量是向量！
這點超級重要！因為速度有方向，所以動量亦有方向。在一維問題中，我們會用正 (+) 負 (-) 號來表示方向。
例如，如果我們將『向右』定為正方向：
- 一部向右行駛的汽車有正 (+) 動量。
- 一部向左行駛的汽車有負 (-) 動量。
常見錯誤警示： 學生在動量問題出錯的首要原因，就是忘記為速度加上正確的正負號。請記住，永遠要先定義你的正方向！
動量的單位
標準單位是公斤米每秒 (\(\text{kg m s}^{-1}\))。你亦可能會見到寫成牛頓秒 (\(\text{N s}\))。它們是等價的：\(1\text{ kg m s}^{-1} = 1\text{ N s}\)。
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什麼是動量？ 量度物體「運動中的質量」的方法。
公式： \(p = mv\)
主要特性： 它是向量！方向很重要。
重點摘要： 動量告訴你一個運動中的物體有多大『衝勁』。質量越大或者速度越快，動量就越大。
2. 動量的變化與衝量
要改變物體的速度（即是加速它），你需要施加一個淨力。既然動量取決於速度，那麼需要淨力才可以改變物體的動量。這就是牛頓第二定律的核心！
牛頓第二定律（動量版本）
你可能已經知道牛頓第二定律是 \(F = ma\)。但其實還有一個更基本的表達方式：
施加在物體上的淨力，等於物體動量的變化率。
用公式來說就是：
\( F_{\text{net}} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{p_{\text{final}} - p_{\text{initial}}}{\Delta t} = \frac{mv - mu}{\Delta t} \)
當中：
\(F_{\text{net}}\)： 淨力 (\(\text{N}\))
\(\Delta p\)： 動量的變化 (\(\text{kg m s}^{-1}\))
\(\Delta t\)： 力作用的時間間隔 (\(\text{s}\))
衝量登場！
如果我們將公式重新排列，就會得到：
\( \text{衝量} = F_{\text{net}} \Delta t = \Delta p = mv - mu \)
衝量定義為淨力與撞擊持續時間的乘積，而且在數值上等於動量的變化。
力–時間 (\(F\)–\(t\)) 圖
在大多數現實生活的碰撞中，力並非恆定的；它會增加至峰值然後回落到零。在力–時間 (\(F\)–\(t\)) 圖中：
- \(F\)–\(t\) 圖下方的面積 = 衝量 = 動量變化 (\(\Delta p\))。
- 若力並非恆定，平均淨力為 \(F_{\text{avg}} = \frac{\text{面積}}{\Delta t} = \frac{\Delta p}{\Delta t}\)。
現實應用：
- 安全氣囊與緩衝區：當汽車發生碰撞時，動量變化 (\(\Delta p\)) 是固定的。安全氣囊和緩衝區會增加碰撞時間 (\(\Delta t\))。由於 \(F_{\text{avg}} = \frac{\Delta p}{\Delta t}\)，增加 \(\Delta t\) 會大幅減少乘客所承受的平均撞擊力。
- 著地時屈膝：增加停止的時間，從而減少施加在關節上的撞擊力。
- 運動中的隨揮：延長球拍/球桿與球之間的接觸時間 (\(\Delta t\))，施加更大的衝量 (\(F\Delta t\))，從而產生更高的離析速度 (\(v\))。
3. 動量守恆定律
線性動量守恆定律指出，在一個封閉系統（即沒有外來淨力作用的系統）中，相互作用前的總線性動量等於相互作用後的總線性動量。
對於兩個物體（1 和 2）之間的碰撞：
\( m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2 \)
與牛頓第三定律的關係
- 接觸期間，物體 2 施加在物體 1 的力 (\(F_{12}\)) 與物體 1 施加在物體 2 的力 (\(F_{21}\)) 構成一對作用力與反作用力：\(F_{12} = -F_{21}\)。
- 兩者的接觸時間 \(\Delta t\) 完全相同。
- 因此，物體 1 所承受的衝量等於物體 2 所承受的負衝量：\(F_{12}\Delta t = -F_{21}\Delta t \implies \Delta p_1 = -\Delta p_2\)。
- 重新排列後得出 \(\Delta p_1 + \Delta p_2 = 0\)，代表系統的總動量沒有改變。
實驗驗證
在實驗室中，通常會使用以下方法來驗證動量守恆：
- 補償摩擦力的斜軌：將軌道輕微傾斜，使沿斜面向下的重力分力剛好抵消摩擦力。
- 氣墊導軌：利用氣墊將滑行器與導軌之間的摩擦力減至最低。
- 光閘與數據記錄儀：已知寬度的擋光卡穿過光閘以量度初速度 (\(u_1, u_2\)) 和末速度 (\(v_1, v_2\))。計算 \(m_1 u_1 + m_2 u_2\) 並與 \(m_1 v_1 + m_2 v_2\) 進行比較，以驗證動量守恆。
4. 碰撞的類型
雖然在封閉系統中總線性動量永遠守恆，但動能 (\(E_k = \frac{1}{2}mv^2\)) 則不一定守恆。
彈性碰撞
- 動量守恆。
- 動能守恆： \(\frac{1}{2}m_1 u_1^2 + \frac{1}{2}m_2 u_2^2 = \frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2\)。
沒有動能會轉化成內能、熱能或聲音。
非彈性碰撞
- 動量守恆。
- 動能不守恆（動能減少）：部分 \(E_k\) 會轉化成內能（形變）、熱能或聲音。
完全非彈性碰撞
- 碰撞後物體會黏在一起，並以單一的共同最終速度 \(v_{\text{final}}\) 移動。
- 損失最多的動能。
- 方程式：\( m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2) v_{\text{final}} \)
5. 二維動量（向量本質）
動量在二維空間中同樣是向量。當分解二維相互作用時（例如一個球以角度 \(\theta\) 撞向平滑垂直牆壁並反彈）：
- 將動量分解為互相垂直的分量： \(x\) 分量（垂直於牆壁）和 \(y\) 分量（平行於牆壁）。
- 逐一計算各分量的動量變化： \(\Delta p_x = m(v_x - u_x)\) 及 \(\Delta p_y = m(v_y - u_y)\)。
- 對於平滑牆壁，平行於牆壁的方向沒有力作用 (\(\Delta p_y = 0\))，而法向力則產生衝量 \(\Delta p_x = F_N \Delta t\)。
- 向量減法 / 加法： 總衝量為 \(\vec{J} = \Delta \vec{p} = \vec{p}_{\text{final}} - \vec{p}_{\text{initial}}\)。
6. 例題：一維碰撞
一部 3 kg 的手推車（手推車 A）以 \(2\text{ m s}^{-1}\) 的速度向右移動，撞向一部靜止的 1 kg 手推車（手推車 B）。碰撞後它們黏在一起。求它們的最終速度。
步驟 1：定義方向
設向右為正 (+)。
步驟 2：列出變數
\(m_A = 3\text{ kg}\)，\(u_A = +2\text{ m s}^{-1}\)
\(m_B = 1\text{ kg}\)，\(u_B = 0\text{ m s}^{-1}\)
步驟 3：應用動量守恆定律
\( m_A u_A + m_B u_B = (m_A + m_B) v_{\text{final}} \)
\( (3)(+2) + (1)(0) = (3 + 1) v_{\text{final}} \)
\( 6 = 4 v_{\text{final}} \)
\( v_{\text{final}} = +1.5\text{ m s}^{-1} \)
結論： 兩部手推車黏在一起以 \(1.5\text{ m s}^{-1}\) 的速度向右移動。
