溫習筆記：勻速圓周運動及萬有引力
各位同學好！歡迎來到物理學中最引人入勝的課題之一。你有沒有想過，行星是如何圍繞太陽運行、過山車如何完成垂直迴圈，又或者太空人為甚麼會在太空站中漂浮呢？答案就在於理解勻速圓周運動和萬有引力。在這些筆記中，我們會把這些 HKDSE 核心概念拆解成清晰、有系統的各個部分。讓我們開始吧！
1. 繞圈圈的學問：勻速圓周運動 (UCM)
想像一輛汽車在圓形賽道上以每小時 50 公里的穩定速度（速率）行駛。它正在作圓周運動，而且速率保持不變。這就是勻速圓周運動的精髓。
甚麼是 UCM？基本概念
勻速圓周運動 (UCM) 指物體以恆定速率沿圓形路徑運動。
記住，速度是一個向量，同時具有大小（速率）和方向。在 UCM 中：
• 速率是恆定的。
• 運動的方向持續改變（在每一點均沿著圓周的切線方向）。
由於方向不斷改變，所以速度也在持續改變，這意味著物體一直在加速。
打個比方：想像你在一個迴旋處以穩定的步速繞圈步行。你的速率保持不變，但你仍不斷向內轉向以沿著彎道前進。你的速度正在改變，因為你的方向正在改變。角物理量：\(\omega\)、\(T\) 和 \(f\)
為了描述旋轉運動，我們定義了以下圓周運動物理量：
• 角位移 (\(\theta\))：半徑向量轉過的角度（單位為弧度，rad）。
• 角速度 (\(\omega\))：角位移的變化率：\(\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}\)（單位為 rad s⁻¹）。
• 週期 (\(T\))：完成一次完整旋轉所需的時間（單位為 s）：\(T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi r}{v}\)。
• 頻率 (\(f\))：每秒旋轉的次數（單位為 Hz）：\(f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}\)。
線速率 \(v\) 與角速度 \(\omega\) 之間的關係如下：
\(v = \omega r\)
方向的改變者：向心加速度
作 UCM 的物體會受到指向圓心的加速度，稱為向心加速度 (\(a\))。
• 方向：永遠指向圓周路徑的圓心（垂直於線速度）。
• 作用：它負責改變速度的方向，而不是其大小（速率）。
向心加速度可以用線速度或角速度形式表示：
\(a = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r = v\omega\)
「指向圓心」的力：向心力
根據牛頓第二定律 (\(F = ma\))，維持物體作圓周運動所需的淨合力稱為向心力 (\(F\))：
\(F = \frac{mv^2}{r} = m\omega^2 r\)
重要概念：向心力並不是一種新的基本力。它只是指向圓心的真實淨力（或合力分量）。
向心力的常見 HKDSE 應用：
• 水平圓周運動（繩上的球）：張力提供向心力：\(T = \frac{mv^2}{r}\)。
• 汽車在平路轉彎：靜摩擦力提供向心力：\(f_s = \frac{mv^2}{r}\)。打滑前的最高安全速率為 \(v_{\max} = \sqrt{\mu g r}\)。
• 傾斜路面（與水平面夾角為 \(\theta\)，不計摩擦力）：法向反作用力的水平分量提供向心力：\(N \sin\theta = \frac{mv^2}{r}\) 及 \(N \cos\theta = mg\)，得出 \(\tan\theta = \frac{v^2}{rg}\)。
• 圓錐擺：張力的水平分量提供向心力：\(T \sin\theta = m\omega^2 r\) 及 \(T \cos\theta = mg\)。
• 垂直圓周運動（變速）：在迴圈最高點，\(T_{\text{top}} + mg = \frac{mv^2}{r}\)；在最低點，\(T_{\text{bottom}} - mg = \frac{mv^2}{r}\)。
常見錯誤提醒：虛假的「離心力」
在慣性參考系中，離心力並不是作用於物體上的真實力。乘客在轉彎時感受到的，其實是自己的慣性——即當車輛把他們推向內側時，身體傾向保持直線運動的自然傾向。
2. 萬物相吸：萬有引力
艾薩克·牛頓確立了引力是一種普遍存在的相互作用，能同時解釋地球上物體的下墜以及行星的軌道運動。
牛頓萬有引力定律
宇宙中的每個質點都以一種力吸引著其他所有質點，該力與它們質量的乘積成正比，並與它們中心之間距離的平方成反比：
\(F = \frac{GMm}{r^2}\)
其中：
• \(F\) 是兩個質量之間的萬有引力（單位為 N）。
• \(G\) 是萬有引力常數（\(G \approx 6.67 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}\)）。
• \(M\) 和 \(m\) 是相互作用物體的質量（單位為 kg）。
• \(r\) 是中心到中心之間的距離（單位為 m）。
常見錯誤提醒：'r' 是指中心到中心的距離！
對於距離半徑為 \(R\) 的行星表面高度為 \(h\) 的物體，總距離為 \(r = R + h\)。切勿在牛頓公式中只代入高度 \(h\)！
引力場強度 (\(g\))
空間中某點的引力場強度 (\(g\)) 定義為放置在該點的微小測試質量每單位質量所受的引力：
\(g = \frac{F}{m} = \frac{GM}{r^2}\)
在地球表面 (\(r = R\))，\(g \approx 9.81 \text{ N kg}^{-1}\)（或 \(9.81 \text{ m s}^{-2}\)）。當遠離地球中心時，場強會隨著距離的平方反比而減小。
3. 軌道上的衛星與失重狀態
圍繞行星作穩定圓形軌道運行的衛星，其所需的向心力完全由引力提供。
軌道速率公式
將向心力設為等於萬有引力：
\(\frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2}\)
約去衛星的質量 \(m\) 並解出軌道速率 \(v\)：
\(v = \sqrt{\frac{GM}{r}}\)
請注意，軌道速率只取決於中心天體的質量 \(M\) 和軌道半徑 \(r\)，與衛星本身的質量 \(m\) 完全無關。
軌道週期與克卜勒第三定律
將 \(v = \frac{2\pi r}{T}\) 代入軌道速率方程中：
\(\frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{GM}{r} \implies T^2 = \left(\frac{4\pi^2}{GM}\right) r^3\)
這證明了克卜勒第三定律：軌道週期的平方與軌道半徑的立方成正比（\(T^2 \propto r^3\)）。
視失重
為甚麼在軌道太空船內的太空人會漂浮？他們並非處於零重力狀態（在常見的近地軌道高度，\(g\) 仍然約為 \(8.7 \text{ m s}^{-2}\)）。
• 太空人和太空船都承受著相同朝向地球中心的重力加速度（\(a = g\)）。
• 他們正一起處於持續的自由下墜狀態。
• 由於他們之間沒有相對加速度，地板或磅秤施加在太空人身上的法向接觸力 \(R\) 為零（\(R = 0\)）。這種狀態稱為視失重。
