圓周運動與重力：練習題

一輛汽車以恆定速率通過一個水平圓形轉盤。若要使汽車在轉盤上不發生側滑，且已知輪胎與路面之間的靜摩擦係數為 \( \mu \)，轉盤半徑為 \( r \)。求汽車能安全通過轉盤的最大速率 \( v \)。
（取重力加速度為 \( g \)）

一架無人機以恆定速率 \( v \) 在半徑為 \( R \) 的水平圓周上飛行。若無人機完成半個圓周飛行，其平均速度的大小是多少？

一個質量為 \(m\) 的小球繫於長度為 \(L\) 的輕繩，並在鉛垂平面內作圓周運動。設小球在最低點與最高點時，繩子對小球的張力分別為 \(T_L\) 和 \(T_H\)。忽略空氣阻力，求 \(T_L - T_H\) 的值。

兩個球體之間的萬有引力大小為 \( F \)。若將其中一個球體的質量增加至原來的 2 倍，而另一個球體的質量及兩者間的距離維持不變，則它們之間的萬有引力會變為多少？

關於圓周運動與重力，一個衛星在半徑為 \( r \) 的圓形軌道上繞地球運行。若要使該衛星在相同軌道半徑下，其向心加速度增加至原來的 4 倍，則其軌道速率 \( v \) 必須如何調整？

根據牛頓萬有引力定律，萬有引力的大小與兩個物體的質量和它們之間距離的關係為何？

一個質量為 $$2\,\text{kg}$$ 的物體以恆定速率 $$5\,\text{m\,s}^{-1}$$ 沿半徑為 $$2.5\,\text{m}$$ 的圓周路徑運動。試計算其所受的向心加速度大小。

一顆人造衛星在繞地球的圓形軌道上運行。若其軌道半徑因不明原因逐漸減小，請分析衛星的軌道速率、引力勢能以及總機械能如何變化。同時，請解釋為何此過程不完全符合機械能守恆定律。

一輛質量為 $$m$$ 的汽車以恆定速率 $$v$$ 駛過一個半徑為 $$R$$ 的凸形拱橋（視為垂直圓弧）。

(a) 試推導當汽車到達拱橋最高點時，拱橋施加於汽車的法向力（又稱正向力）$$N$$ 的表達式。

(b) 假設汽車的質量為 $$1500\text{ kg}$$，拱橋的半徑為 $$40\text{ m}$$。如果汽車以 $$10\text{ m/s}$$ 的速率行駛，計算汽車在拱橋最高點時所受的法向力。汽車此時是否仍與橋面接觸？（取重力加速度 $$g = 9.8\text{ m/s}^2$$）

(c) 試計算汽車在拱橋最高點時，能維持與橋面接觸的最大速率是多少？

假設地球是一個質量為 $$M_E$$、半徑為 $$R_E$$ 且密度均勻的球體。現沿地球的其中一條直徑鑽鑿一條貫通地球中心的長圓柱形隧道。一個質量為 $$m$$ 的小物件從隧道的一端（地球表面）自由落下。

(a) 證明當小物件在隧道內距離地心 $$r$$ 處時，它所受的萬有引力大小為 $$F = \frac{GM_E m}{R_E^3} r$$。（提示：假設只有半徑為 $$r$$ 的球體內的質量對小物件施加引力。）

(b) 根據 (a) 部的結果，試描述小物件被釋放後的運動性質。

(c) 試計算小物件從隧道的一端移動到另一端所需的時間。將答案以 $$G$$、$$M_E$$ 和 $$R_E$$ 表示。

(d) 如果一個衛星在地球表面上方極低的高度（軌道半徑近似為 $$R_E$$）作圓形軌道運動，其軌道週期是多少？比較這個軌道週期與 (c) 部所計算的時間，並加以評論。