歡迎來到方程式的世界！
在這一章，我們將學習如何找出「隱藏」的數值。你可以把方程式想像成一個平衡的天平。無論我們對其中一邊做了什麼，我們都必須對另一邊做同樣的事，以保持天平平衡。解方程式就像當偵探一樣——我們要找出能讓算式成立的未知數（通常是 \(x\)）的值。無論你是對代數駕輕就熟，還是覺得它有點令人頭痛，這些筆記都會帶領你一步步掌握解題過程。
1. 解線性方程式
線性方程式是指其中的未知數（如 \(x\)）沒有被平方或立方——它只是一個單純的 \(x\)。我們的目標是「隔離」\(x\)，也就是讓它孤單地出現在等號的一側。
處理括號與分數
有時候方程式因為括號或分數而顯得很混亂。別擔心！我們只需要先整理一下即可。
• 括號：將括號外的項乘以括號內的所有項。
• 分數：處理分數最簡單的方法是將方程式中的每一項都乘以分母的數字。這能將分數「清除」。
範例：未知數在等號兩側
求解：\(3(x + 2) = 10 - x\)
第一步（展開）：\(3x + 6 = 10 - x\)
第二步（合併 \(x\) 項）：在兩邊加上 \(x\)：\(4x + 6 = 10\)
第三步（隔離）：在兩邊減去 6：\(4x = 4\)
第四步（求解）：除以 4：\(x = 1\)
常見錯誤：當透過乘法來清除分數時，學生常會忘記乘以那些不是分數的項。請務必確保你乘以了每一項！
重點提示：務必先展開括號並清除分數。然後，將所有的 \(x\) 項移到一側，將常數移到另一側。
2. 變換公式（變換主項）
變換公式與解方程式完全相同，但得到的不是一個數字，而是一個新的公式。我們將想要隔離的變數稱為主項。
「因式分解」技巧
一個常見的挑戰是當你想要的變數（新的主項）出現在兩個不同的地方。為了解決這個問題，你需要將這兩項移到同一側並進行因式分解。
範例：將 \(x\) 設為 \(y = \frac{x+a}{x-b}\) 的主項
1. 乘以 \((x-b)\)：\(y(x-b) = x + a\)
2. 展開：\(yx - yb = x + a\)
3. 將所有 \(x\) 項移到同一側：\(yx - x = a + yb\)
4. 提取 \(x\) 進行因式分解：\(x(y - 1) = a + yb\)
5. 除法：\(x = \frac{a + yb}{y - 1}\)
快速回顧：要「抵消」平方 (\(x^2\))，請使用平方根 (\(\sqrt{x}\))。要「抵消」倒數 (\(\frac{1}{x}\))，請乘以 \(x\)。
重點提示：如果新的主項出現了兩次，請將這些項移到一側並將該變數提取出來。
3. 解二次方程式
二次方程式包含 \(x^2\) 項。它通常的形式為 \(ax^2 + bx + c = 0\)。與線性方程式不同，二次方程式可能有兩個解！
解法：
• 因式分解：將方程式拆解成兩個括號，例如 \((x + 2)(x - 3) = 0\)。當數字簡單時，這種方法最有效。
• 二次公式：這是適用於所有二次方程式的「安全網」。
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
• 配方法：將方程式改寫成 \((x + p)^2 + q = 0\) 的形式。這對於找出圖形的轉折點（頂點）非常有用！
未知數函數的二次方程式（偽裝的二次方程式）
有些方程式起初看起來不像標準的二次方程式，但因為變數是以未知數的函數形式出現（例如 \(x^2\)、\(\sqrt{x}\) 或 \(e^x\)），所以可以改寫成二次方程式。
範例：求解 \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\)
1. 注意到 \(x^4 = (x^2)^2\)。設 \(u = x^2\)。
2. 代入 \(u\) 以形成二次方程式：\(u^2 - 5u + 4 = 0\)。
3. 因式分解：\((u - 1)(u - 4) = 0\)，得出 \(u = 1\) 或 \(u = 4\)。
4. 代回以求得 \(x\)：\(x^2 = 1 \implies x = \pm 1\)，以及 \(x^2 = 4 \implies x = \pm 2\)。
你知道嗎？公式中的 \(\pm\) 符號正是你會得到兩個不同答案的原因——一個是加上平方根，另一個則是減去它。
重點提示：如果你在 30 秒內看不出如何對二次方程式進行因式分解，為了節省時間，直接使用二次公式吧！對於偽裝的二次方程式，代入 \(u = f(x)\) 即可將方程式化簡為標準的二次方程式。
4. 判別式：根的探測器
判別式是二次公式中根號內的部分：\(b^2 - 4ac\)。它能讓我們在不用解方程式的情況下，得知二次方程式有多少個解（或稱「根」）。
規則：
• 若 \(b^2 - 4ac > 0\)：有 2 個相異實根（圖形與 x 軸交於兩點）。
• 若 \(b^2 - 4ac = 0\)：有 1 個重根（圖形剛好切於 x 軸）。
• 若 \(b^2 - 4ac < 0\)：沒有實根（圖形從不觸碰 x 軸）。
比喻：把判別式想像成金屬探測器。在你開始挖掘之前，它能告訴你軸線下是否埋有「寶藏」（根）！
重點提示：當題目問及根的數量，或提到「相異」、「重複」或「無實根」時，請務必使用判別式。
5. 聯立方程式
這是指你同時擁有兩個方程式和兩個未知數。你要找出同時適用於這兩個方程式的數值對（\(x\) 和 \(y\)）。
方法 A：代入法（「替換」）
將其中一個方程式變換為 "\(x = ...\)" 或 "\(y = ...\)"，然後將其代入另一個方程式。當其中一個方程式是二次方程式時，這是最好的方法。
方法 B：消元法（「消除」）
將方程式乘以某個倍數，使得 \(x\)（或 \(y\)）的係數相同，然後將兩個方程式相加或相減，以「消除」該變數。這通常是解決兩個線性方程式最快的方法。
如果覺得這很難也不要擔心：當同時解一個線性方程式和一個二次方程式時，你通常會得到一個新的二次方程式。只要按照步驟進行，並在需要時使用你的「安全網」公式即可！
重點提示：代入法是你的「萬能」工具——它幾乎適用於任何一對方程式。
6. 圖形的力量
有時候我們會忘記方程式只是圖形上線條的描述。方程式（或一組聯立方程式）的解，其實就是交點——即線條相交的確切位置。
• 如果你繪製 \(y = f(x)\) 和 \(y = g(x)\)，它們相交處的 \(x\) 值就是 \(f(x) = g(x)\) 的解。
• 如果一條線和一條曲線沒有交點，則它們結合後的方程式之判別式將會是負數！
快速回顧箱：
- 線性：僅有 \(x\)。保持天平平衡。
- 二次：含有 \(x^2\)。使用因式分解、公式，或若為未知數函數的二次式則使用代換法。
- 判別式：\(b^2 - 4ac\)。告訴你根的數量。
- 聯立：兩個方程式。使用代入法或消元法。
- 交點：圖形相交處 = 解。