歡迎來到債券數學的世界！

你好！歡迎來到 FRM Part I 學習旅程中最基礎的章節之一：定價慣例、折現與套利 (Pricing Conventions, Discounting, and Arbitrage)。你可以把這一章想像成固定收益（Fixed Income）領域的「語言」。在建立複雜的風險模型之前，你需要先了解專業交易員如何報價、時間如何影響資金的價值，以及當「免費午餐」（套利機會）出現時如何精準捕捉。別擔心公式乍看之下很嚇人——我們會將它們拆解，直到你運用起來像呼吸一樣自然！

1. 天數計算慣例 (Day Count Conventions)：衡量時間

在現實世界中，「一個月」或「一年」的定義其實並不簡單。一年是 365 天還是 366 天？一個月是 30 天還是 31 天？為了讓大家有一致的標準，金融界使用了天數計算慣例 (Day Count Conventions)。這是一套用來計算一段期間內應計利息 (Accrued Interest) 的規則。

標準格式為 X/Y，其中 X 定義了日期之間的計算方式，而 Y 定義了一年中的天數。

三大主流慣例：

• Actual/Actual (in period)： 用於美國國庫券 (U.S. Treasury Bonds)。計算兩個日期之間的實際天數，並除以該付息期內的實際天數。這是最「公平」的方法，但你需要隨時準備好日曆！

• 30/360： 用於美國公司債與市政債。假設每個月固定為 30 天，每年固定為 360 天。這是一種傳統方法，讓手工計算變得容易許多。

• Actual/360： 用於貨幣市場工具 (Money Market instruments)（如國庫貼現票據 T-bills）。計算實際經過的天數，但假設一年為 360 天。你知道嗎？ 由於每日利率稍微大一點點，這種慣例實際上會比 Actual/365 產生略高的利息支出！

重點速記：
國庫債 (Treasury Bonds) = Actual/Actual
公司債 (Corporate Bonds) = 30/360
貨幣市場 (Money Market) = Actual/360

2. 債券定價：淨價與髒價 (Clean vs. Dirty)

如果你在兩個付息日之間買入債券，這段期間產生的利息該歸誰？答案是賣方！這就引申出兩種不同的價格類型。

淨價 (Clean Price / Quoted Price)： 這是在電視螢幕或報紙上看到的報價。它不包含自上次付息以來所累積的利息。

髒價 (Dirty Price / Cash Price)： 這是你實際支付的價格。它等於淨價加上應計利息 (Accrued Interest)。

邏輯： 如果你在付息期中途買入債券，賣方已經「賺取」了那一期利息的一半。由於你（買方）之後會從發行機構收到完整的利息，因此你今天必須補償賣方屬於他們的那一部分。

公式：
\( \text{Dirty Price} = \text{Clean Price} + \text{Accrued Interest} \)
\( \text{Accrued Interest} = \frac{\text{Days since last coupon}}{\text{Days in coupon period}} \times \text{Coupon Amount} \)

常見錯誤： 學員常忘記「報價」通常是指淨價。一定要記住：「髒價才是你錢包實際付出的代價！」

3. 折現與複利 (Discounting and Compounding)

折現的過程，簡單來說就是算出未來的款項在今天值多少錢。要做到這一點，我們需要知道利息是如何複利的。

複利頻率：
利息可以按年、半年、每季甚至連續複利 (continuously) 來計算。在 FRM 考試中，連續複利非常常見，因為它讓風險模型的微積分運算更為流暢。

核心公式：
離散複利： \( PV = FV \times (1 + \frac{r}{m})^{-mn} \)
連續複利： \( PV = FV \times e^{-rt} \)
(其中 r = 利率, t = 時間（年）, m = 每年複利次數, e 是自然對數底數，約為 2.718)

記憶小撇步： 把連續複利想像成一顆滾下山的雪球，它不是每個月才變大一次，而是每一毫秒都在不斷變大。

關鍵結論： 複利頻率越高，有效年利率 (EAR) 就越高。如果有人給你兩種選擇：10% 按年複利 vs. 10% 按日複利，選按日複利的那個——你會拿到更多的錢！

4. 國庫貼現票據定價 (T-Bill Pricing)

T-bills 比較特別，因為它們不支付利息。它們是零息債券，以折價發行。不過，它們的價格是使用折現率 (Discount Rate) 而非收益率來報價的。

T-Bill 定價公式：
\( P = 100 \times [1 - \frac{n}{360} \times Y_d] \)
(其中 \( Y_d \) 是報價折現率，n 為到期天數)

注意！ 這個折現率有點「狡猾」，因為它是基於面值 (Face Value) 計算回報，而不是你實際支付的價格。若要將 T-bill 與其他債券比較，你需要計算債券等值收益率 (Bond Equivalent Yield, BEY)，它會使用你的購買價格以及 365 天來計算。

5. 套利與一價定律 (Arbitrage and the Law of One Price)

套利 (Arbitrage) 是金融學中的聖杯。它是一種保證能獲取正利潤、零風險且無需淨投資的投資策略。

一價定律 (Law of One Price)： 在運作良好的市場中，兩個完全相同的資產（或現金流組合）必須具備相同的價格。如果價格不一致，套利者就會進場操作。

例子：
如果「一塊金磚」在紐約賣 \$1,000，而在倫敦賣 \$1,010，且運輸成本為零，你會：
1. 借錢。
2. 在紐約以 \$1,000 買入黃金。
\n3. 同時在倫敦以 \$1,010 賣出。
4. 輕鬆裝進 \$10 的無風險利潤！
當每個人都這樣做時，紐約的價格會上升（買家增加），倫敦的價格會下降（賣家增加），直到兩地價格相等為止。

總結： 我們大多數的債券定價模型都是「無套利」模型。這意味著我們假設付息債券的價格必須等於其組成部分（即以零息利率折現後的各個獨立現金流）的總和。

6. 拔靴法 (Bootstrapping)：建立零息曲線

我們該如何找出不同時間段的「正確」折現率？我們使用一種稱為拔靴法 (Bootstrapping) 的過程。我們從最短期的工具（如 T-bills）開始，找出 3 個月或 6 個月的零息利率。接著，利用這些利率作為已知數，去計算長天期付息債券所對應的下一個利率。

步驟邏輯：
1. 取一個 6 個月的 T-bill，其收益率即為 6 個月的零息利率。
2. 取一個在 6 個月後支付利息的一年期債券。
3. 你已經知道了 6 個月利息的「折現因子」。
4. 利用該債券目前的市場價格，計算出缺失的環節：1 年期的零息利率。
5. 依此類推，計算 1.5 年、2 年等等。

別擔心，一開始這看起來有點複雜！ 拔靴法就像解拼圖一樣，你只需要用剛剛解開的那一塊，去找出下一塊的位置。

重點總結

• 天數計算： 國庫債 (ACT/ACT)、公司債 (30/360)、貨幣市場 (ACT/360)。
• 現金價格： 你實際支付的金額 (淨價 + 應計利息)。
• 複利： 連續複利 \( e^{rt} \) 是 FRM 的標準。
• 套利： 「天下沒有白吃的午餐」。價格必須趨於一致，以消除無風險套利空間。
• 零息利率： 所有估值的基石。使用拔靴法從付息債券中導出它們。

繼續練習這些計算！一旦你掌握了這些慣例，固定收益估值的其他部分就會變得清晰許多。你可以做到的！