歡迎來到精算價值的世界！

你好！在本章中，我們將學習如何計算預期現值 (Expected Present Value, EPV)——也就是所謂的「平均」成本，以及各類保險與退休金合約的方差 (Variance)（即風險或「離散度」）。

你可以把這看作是概率與金融之間的橋樑。我們知道某人可能會身故或生存（概率），也知道貨幣具有時間價值（利率）。將兩者結合，我們就能精確計算出保險公司今天需要準備多少資金，以支付未來的利益。如果一開始覺得很複雜也別擔心，我們會一步一步為你拆解！

1. 核心概念：隨機變量

在 CM1 中，我們不僅僅看固定的支付。由於我們無法確定某人何時身故，因此支付的現值是一個隨機變量 (Random Variable)。

  • 對於壽險 (Life Assurances)，我們通常稱現值隨機變量為 \(Z\)。
  • 對於年金 (Life Annuities)，我們通常稱現值隨機變量為 \(Y\)。

我們的目標是求出其期望值 (Mean)（即期望值 \(E[Z]\) 或 \(E[Y]\)）以及方差 (Variance) (\(Var(Z)\) 或 \(Var(Y)\))。

快速回顧：先修知識

在深入探討之前，請記住這兩個重要工具：

\(v\)：折現因子 (Discount factor)，\(v = (1+i)^{-1}\)。
\(d\)：折現率 (Discount rate)，\(d = i / (1+i) = 1 - v\)。
\(\delta\)：利息力 (Force of interest)，\(\delta = \ln(1+i)\)。

2. 壽險：期望值與方差

壽險會在受保人身故時支付一筆總金額。這可能發生在明年、十年後或五十年後！

期望值（預期現值）

EPV 是（在特定年份身故的概率）乘以（若於該年身故時支付款項的現值）的總和。

常用符號：
- \(A_x\)：終身壽險 (Whole Life Assurance)（於身故年度末支付）。
- \(\bar{A}_x\)：終身壽險（於身故瞬間立即支付）。
- \(A_{x:\bar{n}|}^1\)：定期壽險 (Term Assurance)（僅於 \(n\) 年內身故時支付）。

方差（「二次方規則」）

要計算壽險的方差，我們使用標準公式：\(Var(Z) = E[Z^2] - (E[Z])^2\)。
那麼，我們該如何求出 \(E[Z^2]\) 呢？

精算技巧： 要計算二階矩 (Second moment, \(E[Z^2]\))，你只需取標準的 EPV 公式，並將利息力加倍（或使用平方後的折現因子 \(v^2\)）。在精算記號中，我們寫作 \({}^2A_x\)。

公式：
\(Var(Z) = {}^2A_x - (A_x)^2\)

類比： 想像一場彩票遊戲，獎金不變，但你運氣的「利率」加倍了。這就是我們計算二階矩的方法！

重點總結：

對於任何壽險合約，方差永遠等於「以兩倍利息力計算的 EPV」減去「EPV 的平方」。

3. 年金：期望值與方差

年金是在某人存活期間支付的定期款項（如退休金）。它們與壽險非常不同，因為當受保人身故時，支付就會停止。

期望值 (EPV)

我們使用符號 \(a_x\)（對於期末支付）或 \(\ddot{a}_x\)（對於期初支付）。

黃金關係式：
年金與壽險之間有一個你必須背誦的著名聯繫：
\(\ddot{a}_x = \frac{1 - A_x}{d}\) (離散情況)
\(\bar{a}_x = \frac{1 - \bar{A}_x}{\delta}\) (連續情況)

年金的方差

直接計算年金的方差很困難。因此，我們利用上述關係。由於年金中唯一「隨機」的部分是身故時間（這正是 \(A_x\) 所衡量的），我們可以將壽險的方差轉換為年金的方差。

公式：
\(Var(Y) = \frac{1}{d^2} [^2A_x - (A_x)^2]\) (離散)
\(Var(Y) = \frac{1}{\delta^2} [^2\bar{A}_x - (\bar{A}_x)^2]\) (連續)

你知道嗎？ 年金的方差其實就是相應壽險的方差除以折現率的平方！這能省去你從頭開始進行複雜計算的麻煩。

4. 一步步解決方差問題

如果你被要求找出 \( (x) \) 的終身壽險方差：

第一步： 在給定利率 \(i\) 下計算 EPV。這就是你的 \(A_x\)。
第二步： 觀察利息力 \(\delta\)（或折現因子 \(v\)）。將 \(\delta\) 加倍（或將 \(v\) 平方）以找到「新」利率。
第三步： 使用這個新利率再次計算 EPV。這就是你的 \({}^2A_x\)。
第四步： 代入公式：\(Var(Z) = {}^2A_x - (A_x)^2\)。

5. 避免常見錯誤

1. 忘記將 EPV 平方： 學生經常算成 \({}^2A_x - A_x\)。請記住，公式要求的是一階矩的平方：\((A_x)^2\)。
2. 使用錯誤的 "d"： 計算年金方差時，請確保使用的是原始的 \(d\)（基於 \(i\)），而不是「加倍後」的版本。
3. 混淆連續與離散： 務必檢查支付是「立即」的 (\(\bar{A}\)) 還是「期末」的 (\(A\))。

6. 快速複習總結表

終身壽險：
期望值：\(A_x\)
方差：\({}^2A_x - (A_x)^2\)

期初付終身年金：
期望值：\(\frac{1 - A_x}{d}\)
方差：\(\frac{1}{d^2} [^2A_x - (A_x)^2]\)

生存保險 (Pure Endowment, \(n\) 年)：
期望值：\(A_{x:\bar{n}|}^{\:\:\:1} = v^n \cdot {}_np_x\)
方差：\(v^{2n} \cdot {}_np_x \cdot (1 - {}_np_x)\)
註：這其實就是二項式方差 \(npq\) 的一個版本，因為這是一種「有/無」的支付！

重點總結：

不要被符號嚇倒。這些問題大多只需要你找出兩個數值：標準 EPV 和「加倍利息」後的 EPV。一旦有了這兩個數，剩下的就只是簡單的減法！

繼續加油！ 你做得很好。掌握這些公式是解鎖 CM1 其餘教學大綱的關鍵。